ARTICLES PHILOSOPHIQUES

J’ai écrit dans diverses Revues quelques articles sur diverses questions philosophiques ou pédagogiques ( ' ).

Ceux que j’ai écrits dans la Revue scientifique remontent à l’époque où j’étais agrégé-préparateur à l’École Normale. Aucun n’est signé. Je mentionnerai deux Lettres au Directeur de la Revue, sur la Psychophysique (=). Elles ont fait quelque bruit, dans un petit cercle, pendant quinze jours, probablement parce qu’elles étaient anonymes et quelque peu impertinentes. Elles m’ont procuré le plaisir d’entrer en relations avec Delbœuf, qui.les a reproduites, avec mon nom, dans ses Eléments de Psycho-physique. Je ne connaissais d’ailleurs le sujet que par les excellents articles que M. Ribot venait de publier dans la Revue. J’expliquais les raisons qui me faisaient douter de la loi logarithmique par laquelle Fechner a prétendu rattacher la sensation et l’excitation, en insistant sur l’absence d’une définition de la « sensation » et de 1’ « excitation » en tant que grandeurs numériques; sur le caractère peu mesurable de la « sensation »; sur ce que, en particulier, le zéro n’était pas défini; sur la possibilité de substituer un mode de mesure à un autre, par conséquent de faire un changement de variable dans la formule hypothétique qui relierait la « sensation » et 1’ « excitation » ; sur l’invraisemblance, dans ces conditions, d’une loi générale telle que celle que proposait Fechner. J’accordais que la formule de Fechner, considérée comme définition de la « sensation »,

pouvait peut-être rendre quelques services. Ces Lettres ont été rappelées récemment, dans une Thèse de doctorat, soutenue, cette année même, devant la Faculté des Lettres, par M. Foucault. J’ai consacré, dans le numéro de juillet 1901 du Bulletin des Sciences mathématiques, un article étendu au Travail de M. Foucault, Travail qui constitue un exposé critique très complet des diverses recherches faites sur la Psycho-physique. Sur le fond de la question, je suis resté du même avis qu’il y a vingt-six ans; tout au plus atténuerais-je volontiers quelques plaisanteries, que ma jeunesse, l’ignorance du sujet et des hommes qui l’avaient traité expliquent suffisamment.

J’ai écrit trois articles dans la Berne générale des Sciences, l’un sur la Correspondance de Lagrange, qui venait de paraître dans l’édition de ses (JEucres, un autre « A propos des Leçons de Géométrie de M. Darboux », le troisième Sur l’Infini mathématique.

Le second de ces articles (t. II, p. 65 ) contient une brève analyse des deux premiers Volumes du Livre de M. Darboux, précédée de quelques réflexions sur les difficultés qu’apportent à ceux qui étudient les Mathématiques le développement même de la science et la multiplicité des Mémoires qu’il leur faut étudier, et sur le caractère des Livres qui peuvent remédier à ces difficultés.

L’article De VInfini mathématique {l. VIII, p. 129) a été écrit à propos de la Thèse de M. Couturat, qui porte le même titre. En dehors des discussions relatives à différents points traités par M. Couturat, j’y insiste sur une idée dont je dois la claire intelligence à M. Drach ('), qui a souvent fait l’objet de mes causeries avec M. Painlevé (comme aussi, d’ailleurs, plusieurs autres passages du même article et de celui dont je parlerai ensuite) : c’est la différence entre les mots « défini » et « déterminé » ; on peut concevoir une suite infinie, ou une collection infinie qui soit déterminée, sans qu’elle soit définie, sans même qu il soit possible de la définir : il n’en est pas moins légitime de spéculer sur une telle suite ou un tel ensemble. Cette distinction, bien comprise, me porte aujourd’hui à regarder comme trop étroite la formule que j’ai employée dans la Préface de mon Introduction à la Théorie

des fondions d une variable, et que l’on a quelquefois citée : « La notion de l’infini, dont il ne faut pas faire mystère en Mathématiques, se réduit à ceci : après chaque nombre entier, il y en a un autre ». A coup sûr, cette notion, ainsi comprise, suffit à exposer une bonne partie des Mathématiques; elle est incomplète, si l’on veut spéculer sur des suites ou des ensembles qui ne sont pas définis, mais simplement déterminés. La question soulevée ici se rattache d’ailleurs à celle de 1’ « infini actuel » dont je soutiens la réalité possible, dans l’article dont je parle, conformément à la doctrine de M. G. Cantor et contrairement à celle de beaucoup de philosophes. J’ai d’ailleurs exposé, dans le même article, les principes de la théorie de M. Cantor sur les ensembles, à l’usage de ceux qu’on appelait au xvn' siècle « les honnestes gens ».

L’article que j’ai publié en iSgS dans la Revue de Paris, sous ce titre : Le rôle du nombre dans les Sciences {'), est celui auquel j’attribue le plus d’importance. Je résume ci-dessous les idées que j’y ai défen-

Nous parvenons à une connaissance du monde extérieur qui est indépendante de nous, au moins lorsque nous n’affirmons dans les choses extérieures que des différences ou des analogies. « Toutefois, dans cette connaissance des choses, non de nous, dans cette connaissance qui ne dépend pas de la façon dont les différents phénomènes du monde extérieur éveillent nos différentes sensations, subsiste nécessairement une ignorance radicale, dont nous n’avons aucun moyen de nous débarrasser : concevons deux univers, l’un qui sera, si l’on veut, l’univers réel, l’autre un univers imaginaire, mais tel que chaque phénomène qui s’y passe réponde exactement à un phénomène du monde réel et réciproquement; je n’ai, je ne puis avoir aucune raison de croire à l’existence du premier plutôt qu’à celle du second ; je ne connais pas l’un plutôt que l’autre : ils sont équivalents pour

moi comme deux livres écrits dans deux langues, mais dont l’un ( la traduction exacte de l’autre.... On voit assez, sans que j’y insisi que, de ce point de vue, le débat sur la préférence qu’il convie d’accorder à une hypothèse scientifique, ou à une autre, perd souve toute signification. » A nos sensations nous substituons des signi des mots qui leur correspondent. Dans le langage scientifique, 1 mots sont de plus en plus abstraits; leur véritable fonction est désigner des ressemblances ou des différences, de grouper les obji par quelque relation commune, qui les distingue des autres; « tam les groupes ainsi formés sont nettement séparés, tantôt ils sont co tenus les uns dans les autres, tantôt ils empiètent les uns sur autres; c’est la pensée des rapports de cette nature que les mi abstraits éveillent dans notre esprit; c’est sur ces rapports que sc fondés les raisonnements scientifiques ». Un raisonnement scientifiq est un raisonnement de mots, un raisonnement de signes, et c’est [ là qu’il exprime des relations qui ne dépendent pas de celui qui fait, ou qui le comprend. « Pour le poète, la puissance d’évocati qu’il y a dans les mots est trop faible; pour le savant, les mots S( encore trop imprégnés de sensation, ils ne sont pas assez décolori ils désignent trop des objets ou des groupes particuliers, tout exprimant des relations entre les objets ou les groupes, ils font pen: non seulement à ces relations, mais encore aux objets ou aux group et cela est de trop ; c’est le nombre et la science des nombres qui V( fournir un ensemble de signes vraiment approprié à n’exprimer c des relations. »

La notion de nombre suffit à engendrer l’Arithmétique, l’Algèb l’Analyse entière; la Géométrie à trois dimensions est un cas pai culier de la théorie analytique des systèmes de trois variabf c’est-à-dire qu’on peut constituer un chapitre de cette théorie, d le langage et les énoncés seront les mêmes que le langage et énoncés de la Géométrie, sans que ce langage et ces énoncés'imj quent la réalité d’aucun espace. Dans la Cinématique, s’introduit i variable de plus, le temps : tant que l’on n’aborde pas les applicatii de la Mécanique, la nature de cette variable est entièrement indét minée, sauf la condition de varier toujours dans le même sens. D; la Mécanique rationnelle, la notion de matitro n’intorviont nue

des propriétés géométriques, et par un nombre, la masse, que l’on suppose attaché à chaque particule matérielle, qui la suit dans tous ses mouvements. « En dehors de ses applications, la Mécanique rationnelle peut être, elle aussi, regardée comme un chapitre spécial de la science du nombre, comme l’étude d’un certain système d’équations différentielles. » La Mécanique céleste a affaire à un système d’équations différentielles plus particulier. Dans les applications, les variables et les coefficients doivent être remplacés par des nombres déterminés; je dis quelques mots sur la mesure du temps et de la masse, en insistant sur ce qu’il y a d’arbitraire dans les procédés de mesure adoptés, en vue de la simplicité (relative à nous) des résultats, sur l’impossibilité de justifier a priori ces procédés. Le principe de la conservation de la masse n’est pas un principe a priori : il suffit, pour s’en convaincre, de penser à la complication des expériences nécessaires pour la détermination de la masse. De même, il suffit de penser à la complication des équations par lesquelles s’exprime le principe de la conservation de l’énergie, pour être bien sûr qu’il ne peut pas être justifié par des considérations métaphysiques. Il n’y a pas de principe a priori dans la science du réel. « On vous dira peut-être ; J’ignore si c’est ce que vous appelez la masse et ce que vous appelez Yénergie qui reste constant, mais je sais qu’il y a quelque chose qui reste constant, je sais qu’il y a des lois et cela me suffit. La prétention alors est plus modeste, si modeste qu’elle en est insignifiante : qu’est-ce que dire que quelque chose est constant, si l’on ne sait quoi?

« Et pourquoi serait-il si clair que rien ne se perd et que rien ne se crée? Tout changement n’est-il pas la destruction de ce qui était et la création de ce qui va être? »

« Qu’il s’agisse donc de la Géométrie, de la Mécanique, de l’Astronomie, de la Physique mathématique, c’est toujours un chapitre de la science des nombres qui porte le nom d’un chapitre de la science du réel. Mieux une science est constituée, plus il apparaît nettement qu’elle est une science de signes ; ses définitions une fois admises, elle n’est plus qu’une suite de déductions logiques entièrement nécessaires : mais il ne faut pas oublier que cette nécessité logique qui y

règne en maîtressé ne concerne que les signes; rien n’autorise à la transporter dans les choses, en lui conservant le même caractère. Le rôle que jouent les Mathématiques dans ces sciences ne doit pas faire illusion : sans doute, les déductions mathématiques sont d’une enti'ere rigueur, mais à condition que l’on reste dans les Mathématiques ; tant que l’on y reste, on ne peut contester les conclusions, à moins de contester la raison elle-même : si vous faites tels calculs sur tels nombres, vous trouverez tel résultat; voilà, encore une fois, ce qu’affirment les Mathématiques, ce qui est d’une nécessité logique; elles ne peuvent rien affirmer au delà; elles ne peuvent affirmer l’accord entre les résultats d’un calcul et les résultats d’une expérience; cet accord est un fait, et il n’a pas, il ne peut pas avoir d’autre importance qu’un fait, répété autant de fois qu’on le voudra. Que l’on dise, si l’on veut, que cet accord nous révèle la nécessité qui est au fond des choses, et qui en règle le cours, c’est une croyance comme une autre, et personne, assurément, ne cherchera dans la science des raisons pour l’infirmer; mais personne non plus n’a le droit de vouloir l’imposer au nom de la science : il faut s’entendre sur cet accord, admirable à coup sûr, entre les résultats de la théorie et ceux de l’expérience; encore une fois, il n’est qu’approché, et il ne peut être qu’approché, puisqu’une mesure ne peut être qu’approchée; pour le physicien, il est parfait lorsque la différence entre les résultats de la théorie et de l’expérience n’est pas plus grande que les erreurs que comporte l’expérience. Dès lors, ce qu’il convient d’induire de l’accord entre la théorie et de l’expérience, c’est que les phénomènes sont déterminés par les lois théoriques, enlre certaines limites, entre des limites que nous connaissons, si nous connaissons les instruments de mesure : encore n’y a-t-il là qu’une induction. La valeur de cette induction ne peut être contestée, mais il ne faut pas la pousser trop loin, et l’on dépasserait infiniment tes bornes entre lesquelles elle est légitime, si l’on affirmait que l’accord entre la théorie et l’expérience doit se poursuivre indéfiniment. »

Après avoir insisté sur ce qu’il y a d’admirable dans cet accord, tel que nous le constatons, et sur les « promesses » qu’il tiendra sans doute, j’imagine qu’il soit parfait, « et qu’un homme, analogue à nous, mais nous dépassant infiniment par sou intelligence, soit

capable de contenir une science équivalente à la réalité extérieure, en ce sens que tous les phénomènes répondent pour lui a des transformations numériques dont il ait la claire compréhension : si la grandeur de son intelligence laissait place chez lui à quelqu’une de ces inquiétudes que nous cultivons sous le nom Ai philosophie, peutêtre trouverait-il le moyen d'être encore mécontent et de se dire que la science des nombres n’est qu’une abstraction, qu’elle correspond parfaitement aux choses, mais qu’elle ne les explique pas, qu’elle s’explique seulement elle-même, et qu’elle ne répond pas même à cette question : pourquoi, dans le domaine infini des transformations numériques que ma pensée peut Saisir, est-ce celles-ci, plutôt que celles-là, qui correspondent à la réalité, et pourquoi les nombres au moyen desquels je désigne et reconnais les choses correspondent-ils aux sensations que j’éprouve plutôt qu’à d’autres (')?

J’ai publié, en 1900, un autre article dans la Reçue de Paris sur Les Mathématiques dans l’enseignement (^). Les conclusions que j’ai essayé d’y développer, tout en étant très générales, sont d’ordre pratique, et correspondent, par suite, à une face opposée de la pensée qui dominait dans le précédent article. Pratiquement, le succès de la science, et en particulier de la science appliquée, est incontestable : la révolution qui doit en résulter dans la façon de penser des individus, dans les sociétés, dans les rapports entre les peuples, est commencée et s’accélérera de plus en plus. Notre système d’enseignement doit être radicalement changé ; c’est l’étude des sciences et non des littératures anciennes qui doit en être le fond; les sciences expérimentales doivent y prendre une place importante ; l’enfant doit être habitué à observer, à expérimenter, à grouper les faits, à saisir le

sens des lois, à les appliquer. Par suite de notre système d’examens, tes Mathématiques, ou plutôt certains chapitres des Mathématiques, ont pris une importance exagérée. L’enseignement des Mathématiques est trop théorique et se suffit trop à lui-même : il devrait être, dans les lycées, subordonné à ce qui doit suivre, à l’application d’une part, de l’autre aux parties plus élevées de la science. J’ai insisté sur les dangers, pour la formation de l’esprit, de la pratique actuelle, et sur l’inconvénient qu’il y avait à déterminer, vers vingt ans, toute la carrière des jeunes gens, par la façon dont ils répondent sur quelques chapitres de Géométrie analytique ou d’Algèbre ; j’ai eu le vif plaisir de me rencontrer sur plusieurs points avec M. Appell, qui a traité d’un sujet analogue, en même temps que moi, dans L’Enseignement mathématique.