Génération des courbes planes

23 b 25. Tangentes aux courbes planes 36

26 à 28. Courbure des courbes planes. — Cercle osculateur 39

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On remarque aujourd’hui, chez un grand nombre d'hommes, une sorte d’activité fébrile toute dirigée vers les améliorations matérielles. Emportés par une ardeur immodérée, on les voit pressés de jouir, impatients d’atteindre le but proposé, faciles sur le choix des moyens, pourvu qu'ils soient rapides, voulant avant tout la fin, et s’inquiétant peu des dangers qui se multiplient, en raison même de la vitesse, sur une route déjà semée d’écueils. Partout on aperçoit des traces de cet entraînement, même en mathématiques, non pas seulement dans l’enseignement supérieur, niais aussi dans l’enseignement élémentaire. On avait cru, jusqu’à ces derniers temps, que la géométrie, cette science pour ainsi dire parfaite, devait être respectée religieusement, et que, pour la garder pure, il fallait lui conserver toute son évidence, toute sa certitude. Là même où l’élude des mathématiques ne devait pas être poursuivie, pour des applications ultérieures, on la jugeait utile au développement de l’intelligence, et surtout à la formation du jugement, qui s’habituait, par elle, à la rigueur des déductions logiques. Aujourd'hui des efforts sont tentés dans un sens bien différent. Les notions dont on n’entrevoit point l’utilité pratique ou matérielle sont mises en quelque sorte à l’index. Il en est de même des méthodes exactes, lorsqu’elles ralentissent la marche, cl qu’on y peut suppléer par certains procédés peu rationnels, mais expéditifs. Quelques mots suffiront pour préciser le sens qui s’attache aux observations précédentes et les justifier.

Dans les examens pour l'admission à l’Ecole polytechnique, il est inter-

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(lit de taire aucune question sur les systèmes de numération dont la base n’est point égale à 10. En revanche, on exige des candidats la connaissance et l’usage de la règle à calcul.

Est-ce là du progrès? n’y a-t-il pas lieu, au contraire, de s’inquiéter sérieusement d’une pareille direction donnée à renseignement mathématique?

Lorsqu’on s’astreint à voir dans la circonférence de cercle ce qu’elle est réellement, à savoir une courbe essentiellement continue, il faut une transition pour étendre au cercle certaines propriétés des polygones inscrits. On va plus vite en regardant les figures curvilignes comme égales à des polygones d’un nombre infini de côtes 1 . L’expédient est "simple; l’idée vint d’y recourir. Mais bientôt des scrupules s’élevèrent. On reconnut qu’un pareil expédient n’était point à sa place dans les éléments de la géométrie, et que d’ailleurs il y servirait peu. On l’en exclut *. sauf à le réserver pour les mathématiques spéciales, où, paraît-il, le besoin s'en faisait sentir dans l’enseignement de la mécanique élémentaire 3 .

En procédant ainsi, qu’a-t-on voulu? faciliter et surtout abréger l’étude des mathématiques. On convenait qu’tï ne fallait point altérer dans les musses ce bon sens droit et sûr gui vil des choses communes, celte raison sage et modérée gui répugne aux chimères *. L’emploi de l’infini présentait, sous ce rapport, des inconvénients graves et meme des dangers. On se préoccupa surtout des avantages qu’il pouvait offrir, au point de vue de l’accélération, et l’on tenta de le faire intervenir dans l’enseignement élémentaire. Les promoteurs de cette innovation procédaient avec une certaine réserve; il sem-

1 Voir le rapport, publié en 1850, sur l’enseignement do l’École polytechnique. On y lil l’énoncé suivant : « Une figure curviligne doit être considérée comme égale à un polygone d'un > nombre infini de côtés. »

s Voir le programme de l’enseignement des lycées, publié en 1832. Au lieu de l’énoncé qui précédé, on y lit : « La longueur de la circonférence de cercle sera considérée, sans démonstration . » comme la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone inscrit dans cette courbe, à 1 1 mesure que ses côtés diminuent. »

5 Voir le programme de la classe de mathématiques spéciales, publié en 1833. Le travail élémentaire des forces y figure comine une des parties de la mécanique qui doit être enseignée dans les lycées.

* Voir le Rapport de la faculté des sciences de Paris, en date du 6 avril 1847.

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ble même qu’ils hésitaient. Aujourd’hui ils ont fait école, et leurs partisans, plus hardis, ne reculent devant aucune témérité. C’est ainsi qu'un ancien élève de l’Ecole polytechnique, le père Gratry ', demande avec instance que la méthode infinitésimale soit appliquée partout en mathématiques, au début comme ailleurs. De là, s’il faut l’en croire, une simplification fondamentale, qui doit vivifier et accélérer dans une incalculable proportion l'enseiqnement mathématique. Peu importe au père Gratry que les infiniment petits soient inintelligibles (il en convient)*, et qu’on objecte contre leur emploi le défaut de rigueur ou même d’exactitude : il adopte et recommande la méthode infinitésimale, parce qu’elle mène au but, )xirce quelle est aux anciennes méthodes ce que notre nouveau moyen de locomotion est aux anciens. Ce qu’il fallait ajouter, pour qu’on sût nettement à quoi s’en tenir, c'est qu’employée dans ces conditions, elle deviendrait pour tous un véritable casse-cou.

On voit, par les détails dans lesquels je viens d’entrer, qu’il existe une tendance manifeste à simplifier l’enseignement mathématique et à lui imprimer une marche plus rapide. Considérée en elle-même, cette tendance peut être légitime, et pourvu qu’on n’y sacrifie rien d’essentiel, elle mérite qu’on tente quelques efforts pour lui donner satisfaction. Tel est, en partie, l’objet du travail que je viens soumettre au lecteur. Si la tâche à remplir est au-dessus de mes forces, puissé-je au moins marquer la direction à suivre et préparer la voie où d'autres sauront réaliser toutes les améliorations désirables.

J’ai divisé ce travail en deux sections principales. La première traite exclusivement des définitions de la droite et de la courbe, en géométrie, de la vitesse, en mécanique. La seconde embrasse la question des infiniment petits, la définition de la différentielle, l’exposé simple et tout élémentaire de cette métaphysique dont d’Alembert disait, qu’elle est encore plus importante et peut-être plus difficile à développer que les règles mêmes de l’analyse transcendante.

Un résumé général complète ce travail et en fait ressortir l’unité. Il

1 Logique du pire Gratry, t. Il, p. 569 et suivantes (I" édition).

« Idem. p. 123.

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montre comment en mathématiques élémentaires, de même qu’en analyse transcendante, tout se ramène à une seule et même conception fondamentale; comment cette conception se distingue à la fois par une extrême simplicité dans les applications, une rigueur absolue, une puissance et une fécondité toujours au moins égales, et souvent supérieures à celles de la méthode infinitésimale.

Quelques mots encore concernant le point de vue purement philosophique.

Il semblerait que la philosophie mathématique doive être fondée tout entière sur le spiritualisme. En est-il ainsi? N’est-ce pas, au contraire, l'abaisser au niveau d’un sensualisme grossier, que de confondre, ainsi qu'on le fait en plus d'un lieu, les effets et les causes, les phénomènes et les lois qui les régissent, ce qui tombe sous les sens avec ce que la raison seule peut saisir. On s’étonnera, sans doute, de voir élever contre les sciences mathématiques une pareille accusation. Et cependant, je la crois parfaitement fondée. Qu’on en juge par un aperçu rapide de quelques points fondamentaux.

En mécanique élémentaire, on débute par le mouvement uniforme, et l’on définit la vitesse, l'espace décrit pendant l’unité de temps. On dit, d’ailleurs, du point qui se meut, qu’il est animé d’une certaine vitesse. La vitesse, qui anime un point est, à coup sûr, essentiellement distincte de l’espace que ce point décrit pendant l’unité de temps. L’une est la cause, le principe du déplacement; l’autre en est l’effet. La vitesse d’un point est, en réalité, l’état de mouvement qui anime ce point, état purement interne, échappant à nos sens par sa propre nature, se révélant par le déplacement qu’il produit et y donnant sa mesure, lorsqu’il persiste sans altération, sans modification.

S'agil-il de la force? Si l’on suivait les mêmes errements, on devrait dire qu’elle est l’accélération produite pendant l’unité de temps. On évite ici la confusion que j'ai signalée tout à l’heure entre la cause et son effet. Pourquoi ne pas prendre le même soin en ce qui concerne la vitesse et l’espace décrit?

L’observation que je viens de faire s'applique également à cette défini-

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tion de la droite, quelle est le chemin le plus court d’un point à un autre. Elle s'y applique, non pas directement, mais en ce sens que, dans les développements ultérieurs, on ne distingue pas entre la direction proprement dite et la droite qui fixe ou détermine la direction considérée. Dans le point qui se meut, et par cela seul qu’il se meut, il y a direction. La droite est le type sensible de la direction devenue permanente. Lorsqu’elle se conserve dans le déplacement d'un point, sans changer, sans se modifier, la direction est à la portion de droite décrite, ou, ce qui revient au même, au chemin le plus court réalisé par celte portion de droite, ce que la cause est à son effet direct, ce qu’un principe est à sa conséquence immédiate.

La confusion n’est pas moindre en ce qui concerne les principes fondamentaux de la méthode infinitésimale et leurs applications. Loin de là , je la crois encore plus complète.

Il est bien entendu que je laisse à l’écart ces rêveries mystiques, qui font des infiniment petits des zéros absolus, exprimant t'infmi en simplicité '.

1 Selon le père Gratry, « L’infiniment petit n'esl pat; seulement plus petit que toute grandeur • donnée. Il est plus petit que toute grandeur possible, ou plutôt il n’esl pas petit; il est nul en

> grandeur. Il est absolument en dehors de la quantité. Il est un infiniment petit proprement dit. » (Voir le journal le Correspondant , u*du 25 octobre 1855, page 46.) A la page 1 15, de sa Logique, tome II, le père Gratry expose que l'infiniment petit mathématique est fin/ini en simplicité . qu’il ne peut ni croître ni décroître. Il ajoute, i la page 124 : « L’élément iulinitésimal n'est pas une » quantité très-petite, ce n’est en aucune façon une quantité. Comme quantité, l'élément infinité-

> aimai est absolument nul. a II se demande ensuite ce qu’est l'élément infinitésimal, et il répond (page 125) : • C'est une idée; une idée, dis-je, et c’est assez. >

D'un autre côté, le père Gratry cite Hegel ( Logique , tome II, page 141) : « Qu’csl-ce que a l'élément infinitésimal? C’est, dit Hegel, la grandeur décroissant jusqu’à s'évanouir et prise au a moment même où elle s’évanouit; car avant, ce serait trop tôt, et après, ce serait trop tard, a C'est la grandeur prise au moment même où, cessant d’être quelque chose, elle n’est pas » encore rien du tout, c'est-à-dire au moment où elle parvient à la féconde identité de l'être cl du a néant. ;•

Que dire à la lecture de pareils paradoxes, et ne faut-il pas regretter que des intelligences élevées, des esprits éclairés et consciencieux , se croient en droit d'invoquer l'appui des géomètres pour accepter et professer les théories les plus excentriques, les plus insoutenables?

Si des hommes, tels que Hegel et le père Gratry , ont ainsi pu s'égarer, combien d’autres ne l’ont-ils pas fait avant eux! Combien d’autres ne le feront-ils pas à leur suite! Et pourquoi ces aberrations, déjà si périlleuses en mathématiques, mais cent fois plus encore en philosophie? Pourquoi? Parce qu’à l'origine du calcul infinitésimal, les explications données ont été insuffisantes ou fautives : parce que, depuis longtemps, et aujourd’hui même encore, l’emploi de l inlini

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Depuis longtemps, l’on a condamné sans retour les indivisibles de Cavalleri, et parmi les géomètres dont le nom peut avoir quelque autorité, il n’en est pas un seul qui voulût les défendre, encore moins les réhabiliter.

Il s’agit des infiniment petits que Leibnitz appelait des incomparables, et dont, après lui, plusieurs géomètres ont fait des ordres particuliers de grandeurs essentiellement distinctes les unes des autres, et toutes ensemble, de la grandeur finie.

Pour ces géomètres, l'infiniment petit est une quantité quelconque, réduite à un tel degré de petitesse qu’elle a cessé d’être finie. L’infiniment petit n’est pas nul; il n’a pas perdu la propriété de pouvoir augmenter et diminuer indéfiniment; néanmoins, s’il est en présence d’une quantité finie, il s’évanouit de lui-même.

On pourrait croire, au premier abord, qu’une pareille conception repose sur quelque exagération d’un spiritualisme raffiné. Ce serait, selon nous, lui faire trop d’honneur. La quantité, telle que la raison la conçoit, a son essence propre et indépendante de tout degré de grandeur. Qu’elle croisse ou qu’elle décroisse, peu importe : elle peut croître et décroître toujours; elle ne change de nature, ni en croissant ni en décroissant. La raison .se refuse absolument à admettre l’existence d’une limite que la quantité ne pourrait franchir, sans se transformer, sans devenir infiniment petite de finie qu’elle était d’abord, ou réciproquement. Mais qu’au lieu de la seule raison, l’on invoque à la fois la raison et les sens, tout change alors. Pour les sens, la quantité qui décroît s’évanouit alors qu’elle leur échappe, et, par conséquent, la limite dont je viens de parler existe

dans l'enseignement mathématique reçoit une extension dangereuse, presque toujours abusive, quelquefois même absurde.

Puissent de tels exemples servir au moins d'avertissement! Au dire du père Gralry, la méthode inlinilésiinale devrait être appliquée partout, en mathématiques. « Ce serait la lumière introduite » dans la masse; la vitesse des nouveaux moyens de locomotion substituée à la lenteur des s anciens. » Qu'on en juge, au contraire, par le mal qu’elle produit, alors même qu'à limitation d' Ampère, mon professeur et celui du père Gralry, on la réduit à un rôle accessoire, et qu'on prend d'ailleurs, toutes les précautions possibles contre de fausses interprétations. Qu'on la juge par l'état de trouble et de confusion où elle peut jeter des esprits d'élite; qu’on la juge, en un mot, par le père Gralry lui-même, cl loin de songer à l'introduire dans l'enseignement élémentaire, on omprendra qu'il y a peut-être urgence à l’exclure de l'enseignement supérieur.

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nécessairement. Si les sens intervenaient seuls, la quantité évanouie pour eux ne se distinguerait pas du néant. La raison leur venant en aide supplée à leur insuffisance. Elle les avertit qu’il ne s’agit, en réalité, que d'un évanouissement relatif, d’une apparence trompeuse dépendant de leur imperfection. Prévenus par elle, ils s’arment en quelque sorte d’un pouvoir grossissant, qui fait réapparaître la quantité disparue et lui restitue en même temps toutes ses propriétés. De là les infiniment petits, qui s’évanouissent devant la quantité finie et qui , à leur tour, font évanouir devant eux d’autres infiniment petits d’un ordre supérieur.

Je ne prétends pas dire que les partisans de la méthode infinitésimale, que les croyants à l’existence réelle des infiniment petits exposent , comme je viens de le faire, leur profession de foi. J’admets qu’ils ne se rendent pas compte des motifs de leur croyance, et qu’eux-mèmes la répudieraient , s’ils la voyaient établie sur un mélange aussi grossier de spiritualisme et de sensualisme. Toutefois, c’est en vain que j’y cherche un autre fondement. .

Je viens de parler des principes fondamentaux de l’analyse iufinitésimale. Voyons maintenant comment on procède dans les applications. Voici d’abord ce qui est.

Tout se réduit à saisir, dans la variation continue et simultanée de deux grandeurs, la loi qui régit les changements de l’une par rapport aux changements de l’autre. Celle loi se traduit par une équation où figurent à la fois l’accroissement de la variable et celui de la fonction. De là résulte un lien de dépendance mutuelle et réciproque, subsistant à l’origine même des accroissements et présidant au début de leur génération simultanée et connexe. L’existence de ce lieu est en quelque sorte évidente. Toutefois, l’on ne sait pas d’avance quelle en est la nature , ni en quoi il consiste précisément. Comment le reconnaître? Comment le caractériser, si ce n’est en considérant les effets qu’il produit? Or, pour qu’il se manifeste par ces effets, pour qu’il apparaisse en eux, dégagé de tout voile, il faut qu’il intervienne constamment, partout et toujours, dans des conditions absolument identiques. Tel est le cas des fonctions linéaires. La conséquence est qu’alors il y a proportionnalité constante entre l’accroissement de la

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fonction et celui de la variable. Par là s’accuse et se révèle le lien de dépendance qui subsiste à l’origine de ces accroissements. Faut-il dire maintenant quel est ce lien et en préciser la nature? Il n’en est pas besoin. Ne voit-on pas, en effet, qu’il est complètement déterminé par cela seul que, dans le cas d’une invariabilité absolue, il établit et maintient entre les accroissements une raison de proportionnalité constante? Telle est sa détermination générale, absolue. Quant aux déterminations particulières qu’il comporte, elles sont en nombre infini, et chacune d’elles a pour type sensible, dans chaque fonction linéaire, la valeur numérique du rapport existant entre les accroissements.

Passons des fonctions linéaires à une fonction quelconque continue et non linéaire. Dans ce cas , l’accroissement de la fonction n’est plus proportionnel à celui de la variable. Néanmoins, le même lien de dépendance mutuelle et réciproque existe à l’origine commune de ces accroissements. Ce qui change, c’est qu’au lieu de persister dans un type unique, toujours invariable, ce lien passe incessamment d’un type à un autre, chacune de ses déterminations particulières dépendant de l’origine choisie pour les accroissements et variant continûment avec celte origine.

De là vient que le rapport des accroissements est incessamment variable; de là vient aussi que la limite de ce rapport exprime le type particulier que le lien de dépendance, existant entre les accroissements et à leur origine commune, affecte à celle même origine.

Considérons ce type dans une quelconque de ses déterminations particulières, et, pour le caractériser par les e/fets qui lui sont propres, imaginons qu’il persiste dans cette détermination devenue permanente. A cette hypothèse. évidemment licite, correspondent des accroissements particuliers, essentiellement distincts des accroissements effectifs. Ce sont ces accroissements particuliers qui constituent les accroissements différentiels proprement dits. Us se distinguent des accroissements effectifs en ce que leur rapport est constant, comme dans le cas des fonctions linéaires. Quant à ce rapport lui-même, il a pour valeur numérique celle de la limite désignée ci-dessus.

La méthode inflnitésimale confond les accroissements effectifs , supposés très-petits, avec les accroissements différentiels.

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Faute de distinguer les effets sensibles et leur cause, elle ne voit que les accroissements effectifs : elle ne remonte pas jusqu’au lien qui subsiste à l’origine de ces accroissements et les fait dépendre l’un de l’autre. Au lieu du type essentiellement transitoire et continûment variable, affecté par ce lien , elle suppose une succession discontinue de types, tous constants pour un intervalle trcs-jietit, et brusquement variables d’un intervalle à l’autre. Ce qu’elle saisit d’ailleurs, ce n’est point ce type lui-môme, considéré dans son essence, c’est uniquement ce qui devient sensible, à savoir, les effets propres à ce type, lorsqu’il persiste dans une seule et même détermination. Encore faut-il ajouter que tout en opérant sur ces effets, elle les fausse par l’interprétation qu’elle leur donne.

Je crois avoir montré suffisamment en quoi la philosophie mathématique me parait entachée de sensualisme sur plusieurs points fondamentaux. L’objet que je me propose, en publiant ce travail, n’est pas seulement de simplifier et d’améliorer l’enseignement mathématique, en plaçant au début les seuls et véritables principes de l'analyse transcendante, il est aussi d’y rétablir l’unité, en ôtant tout prétexte à l’emploi des notions infinitésimales, et en faisant dominer partout les droits méconnus du spiritualisme.