ENGRENAGES A DÉVELOPPANTES ET A HÉLICES

Planche 24.

BIfeRENAGE DE DEUX ROUES DROITES A DÉVELOPPANTES DE CERCLE.

Figures 1 et 2, planche 24.

i31. Dans les divers engrenages à épicycloïdes dont nous avons indiqué les

^ , on a remarqué que :

* Le tracé des dents d'une roue dépend du diamètre de celle avec laquelle

I engrène ;

.'' La distance des centres des deux roues est invariable ;

!* La distance du point de contact des dents par rapport aux centres des

les varie depuis l'origine jusqu'à la fin du contact ; de là résulte que les den-

tures s'usent inégalement , en subissant un frottement plus considérable au commencement du contact qu'à la fln.

Ces considérations ont amené à introduire, depuis quelques années, dans la construction des machines, des engrenages dits à développantes de cerdes qui réalisent les avantages suivants :

l*" La forme des dents dune roue est indépendante du diamètre de celle avec laquelle elle engrène ;

2° La distance des centres de ces roues peut être variable. Quelques auteurs leur ont aussi attribué le mérite d'avoir une pression constante sur les dents et de présenter une usure égale partout, ce qui n'existe pas puisque, conune dans les engrenages a épicycloïdes, le contact se rapproche ou s'éloigne des centres.

Ces engrenages à développantes sont établis sur le principe suivant :

Soient doimés, fig. l'*, les centres et CK de deux roues, et les rayons A et A <y des cercles primitifs; soit aussi B, le rayon d'un cercle quelconque décrit du centre 0, à la circonférence duquel on mène du point A une tangente A B que l'on prolonge indéflniment de part et d'autre ; du centre CK on abaisse sur cette tangente une perpendiculaire (Y C qui détermine le rayon d'un autre cercle. Ce sont ces cercles de rayons OB et O^C que nous prenons pour la génération des développantes a bel cd que l'on trace d'ailleurs comme il a été indiqué sur la pi. 18 ( 197 ).

Nous observerons que la courbe ab qui provient du développement du ciTcle OB, est la forme de la dent de la roue, qui a pour rayon OA, et tracée du même centre 0, et que la courbe c d, est prise pour la dent du pignon dont le rayon est A0^ ainsi la forme de la dent du pignon est complètement indépendante du diamètre de la roue, comme la forme de la dent de celle-ci est indéfM'ndante du diamètre du pignon; d'où il résulte que ces engrenages, «inw construits, peuvent tout aussi bien engrener avec d'autres roues à développantes qui auraient le môme pas, mais dont les diamètres seraient tout à fait diflTérents, ce qui rigoureusement ne peut avoir lieu avec les engrenages k ^icycloïdes, quoique en pratique les constructeurs le fassent pour des rouea d#; ((rands diamètres dont les rayons diffèrent peu.

lÀt% d/fveloppantes a b et d c doivent être reportées symétriquement de dMp^iii; vAié des lignes de division qui expriment lesmilieux des dents. Si nous m$ifpi0%im% maintenant les deux développantes A 6^ et A c\ en contact au point A f Mir la ligne des centres 00^ on porte le fàs/g des dents , mesuré sur les t^.rt'iii% primitifs, de A en e sur la tangente commune BC, et du centre O', avec i^ rftym<y e, on trace une circonférence qui limite le bout des dents du pignon.

ÎÀt i^ /'tant reporté de même de A en e', sur cette tangente, on décrit du é^é't$ir^, O, avec le rayon e\ une autre circonférence qui limite le bout des fU'uU tUi la roue. Il est évident que le fond des creux est déterminé par des ê4ffiU% tU*min des mêmes centres avec des rayons réduits pour ne pas toucher \'^%irh$iiiA diîs dents.

i^ ftjif , /f* ^*st un tracé qui indique : 1* que le point de contact A, des deux

développantes, lorsque les deux roues tournent sur leurs axes, varie sans cesse de position en restant constamment sur la ligne de tangence B C ; ainsi le point de contact A, de la développante A V (fig. I'^), en supposant que le pignon tourne dans le sens indiqué par la flèche, s*éloigne de plus en plus du centre <y, tandis que le même point de la développante A c/ de la roue commandée se rapproche du centre de celle-ci, et que Ton peut varier la distance des deux centres 00', en conservant les mêmes courbes, mais alors Tinclinai- 9on de la tangente commune BC, change et devient par exemple BC^ lorsque le centre O' se rapproche en O''.

Dans la pratique, au lieu de se donner arbitrairement le rayon OB, et par suite le rayon OC, on peut déterminer les cercles générateurs des développantes et l'inclinaison de la tangente commune BC, en portant sur Tun des cercles primitifs (par exemple celui du pignon) , à partir du point de contact Â, pris sur la ligne des centres, une longueur A t, égale au pas des dents; on tire le rayon t O', sur lequel on abaisse de A une perpendiculaire A m ; la longueur m O' détermine alors le rayon du cercle générateur de la développante pour la denture du pignon ; la ligne m A prolongée est la tangente commune, et la droite O n abaissée du centre perpendiculairement sur elle, ou menée parallèlement à m O' donne le rayon du cercle générateur de la développante pour les dents de la roue.

En suivant cette dernière règle, les dentures pour de grands engrenages paraissent peu différer des dentures épicycloïdales.

Mais en se donnant, comme dans le premier cas ci-dessus, les rayons OB etO'C des cercles générateurs sensiblement plus petits que les cercles primitifs des deux roues, Tinclinaison de la tangente commune devient plus grande par rapport à la ligne des centres, et on obtient des dents plus fortes à la racine, ce qui est utile pour des engrenages soumis à de grands efforts ou à des chocs. On observe encore que dans ces engrenages à développantes, les flancs sont presque nuls et peuvent être au besoin la continuation des courbes, ce. qui conserve toute la force près de la jante, avantage qui n'existe pas dans les engrenages à épicyclofdes, dans lesquels les flancs concourent au centre et donnent par conséquent aux dents moins d'épaisseur vers le fond qu'au cercle primitif. '

La fig. 2', qui est ombrée, est une projection verticale de la roue détachée de son pignon. Les autres parties des engrenages se construisent de la même manière que celles relatives aux systèmes déjà décrits.

ENGRENAGES HÉUÇOÏDES.

Fig. keth.pl.'ih.

288. Si dans l'engrenage d'une roue et d'une vis sans fin, on remplace la YH par one roue ou un pignon à denture inclinée en hélice, comme celle avec > elle engrène, on forme alors un engrenage héliçoïde.

17i COURS RAISONNÉ

Ce système, proposé par le mécanicien anglais White, jonit de deux propriétés qui avaient été regardées comme incompatibles, savoir : vitesse angulaire dans un rapport constant et frottement de roulement, c'est-à-dire qae le pignon décrivant des arcs égaux, fait parcourir a la roue dentée des espaces angulaires aussi égaux, et que les courbes par lesquelles les dents sont en contact se conduisent comme deux cercles roulant sur un même plan.

Ces propriétés ont cela d'avantageux, que lesdentui'es restent constamment en contact et ne sont pas aussi susceptibles de donner du jeu que les dentures des engrenages cylindriques ou coniques.

La forme des dents des engi*enages héliçoîdes peut être déterminée pardea\ épicycloides ou des développantes de cercle ; seulement les surfaces gauclies latérales sont inclinées suivant des hélices qui se mettent successivement en contact. De telle sorte que Tengrènenient ayant lieu^ par exemple, sur la face antérieure, les hélices correspondantes sur la largeur des dents s'entraînent respectivement jusqu'à la face opposée.

On peut établir des roues héliçoîdes soit sur des axes parallèles ou concoarant en un môme point pour remplacer alors les roues droites ou les roues d'angle, soit sur des axes qui ne sont pas situés dans un même plan.

Nous donnons sur les fig. 4 et 5 (pi. 24) le tracé d'un engrenage de White, à axes parallèles, comme étant le plus souvent appliqué dans la construction. Soient OA, et O^A, les rayons des aTcles primitifs des deux roues héliçoîdes, lesquels rayons sont donnés en rapport avec les nombres de dents conune dans les engrenages ordinaires. Nous supposons que ces rayons soient situés dans un plan vertical B^C^ et que Ton opère sur ce plan rabattu sur la fig. 4, pour obtenir la forme extérieure ou le bout des dents, comme on le ferait pour une denture épicycloïdale. Cette opération qu'il est inutile de rappeler, donne après avoir tracé les cercles générateurs ODA, et Ai/CV les deux courbes A 6 et A r pour le contour des dents et les flancs correspondants A d et A «.

La denture étant ainsi tracée sur le plan WC\ qui représente par exemirie la face ou la base antérieure des deux roues, on se donne la face opposée EF, qui lui est parallèle et qui limite la largeur de la roue.

On trace la denture sur cette face comme sur la première, mais alors en supposant que les divisions des dents soient reportées sur les cercles priflHtib en arrière d'une quantité AA^ plus grande que le pas des dents. On répète donc à partir de A^ sur le cercle primitif de la roue, le même contour qae celui obtenu en « A /\ et de même a partir de G^ sur le cercle primitif éa pignon, le contour ^ A n, de la dent G. Toutes ces dents, comme appartenant au plan EF, qui est caché parle plan B^C\ ne doivent être indiquées qu'en lignes ponctuées sur la fig. 4% projection commune des deux plans, à moins que Ton ne détache sur une figure spéciale les rabattements du plan EF, comme on Ta fait pour le plan B'C^

On observe par cette disposition que si la courbe A t de la dent A de la roue se trouvant es contact sur le cercle primitif avec le flanc G d de bëflit

& dQ pignon dans le plan antérieur VC\ a fait marcher œlle-cî d'une certaine quantité dans le sens indiqué par les flèches, la courbe opposée A^ i' viendra bientôt se trouver elle-même en contact avec le flanc correspondant & à/ du pigDon dans le plan EF, c'est-à-dire que si la courbe A t était reliée à la courbe AV, par une surface héliçoïde comme le flanc G d avec celui G^d^ tous les points de la première surface viendraient successivement s*appuyer sur ceux eorrespondants de la seconde pendant le mouvement de rotation, de telle sorte que lorsque la courbe A • sera arrivée en A^ t^, e*est-à-dire qu'elle aura parcouru un espace égal à AA^ la courbe S! %' sera venue prendre sa place pour se trouver en contact avec le flanc G^ d'. Il résulte donc de U que deux dents consécutives sont toujours en contact sur la ligne des centres pendant un espace égal à la distance AA^

Pour déterminer la projection latérale, flg. 5, des deux roues, il faut chercher les courbes formant les arêtes vives des surfaces héliçoïdes qui relient les deux faces opposées des dents. I^ principe est exactement le môme que œhii exposé (208), mais ici, comme on n*a que des fragments d*hélices à tracer, au lieu de chercher le pas et de le diviser en rapport avec la circonférence entière, il sufflt de partager la largeur B'E de Tengrenage, en un certain nombre de parties égales, et de mener par les points de division des lignes parallèles à B^C^; on partage de môme les arcs KMyte'y i %'y en autant départies égales par des rayons qui concourent au centre 0. Ces divisions «ont reportées pour la clarté du dessin en 1, 2, 3, 4, etc., 1', Sf, 3', 4', etc., sor la Bg. 4^ l.es points successifs 1, 2, 3, 4, etc., étant projetés sur les lignes correspondantes de la fig. 5, donnent sur celle-ci la courbe 1, 3, 5, 6, correspondante à l'arête extérieure qui joint les points t %'. On a de même la courbe V, y, 5\ 6'. Il est évident que Taréte a of du fond des dents, donne la courbe ^9l (fig. 5) dont le pas est égal à celui des premières, maisr située sur un cylindre d*un diamètre plus petit.

Toutes les autres projections latérales des dents de la roue et du pignon se tracent de la même manière , mais affectent des formes différentes en raison de la position respective de chaque dent par rapport au plan vertical.

iS3. En exécution , pour connaître Tinclinaison exacte des dentures, on établit la proportion dont les quatre termes sont : le rayon de la roue, sa lari;enr, la distance donnée A A^ et le pas cherché de l'hélice ; par conséquent oq a : A A^ : A O : : B^E : AT, qui donne le pas de la roue , et géométriquement H sniBtde porter sur une ligne droite M N (flg. 6), une longueur égale au développement de l'arc A A^; on élève sur cette droite , à l'extrémité N , une perpoBdicnlaire M L que l'on fait égale à la largeur B^E des roue», la ligne LM donne rindinaison moyenne de rhélic^ correspondante au^ cercle primitif ; en portant de mêmn de N en 1 la longueur de Tare 1 1' rectifié, et de N en J ceUe de rare «^, on a les inclinaisons LI et LJ correspondantes aux hélioes qui passent par l'extrémité t et le fond e des dents. On comprend que les hélioes doivent avoir la même inclinaison pour le pignon comme pour la roue qui

engrène avec lui , bien que le pas soit différent, puisque son rafon est pins petit, car alors la proportion est ÂA^ou AG' : AO':: B'E ; x pour le pas dn pignon.

Lorsque les roues sont placées sur des axes qui se rencontrent comme pour un engrenage d'angle, les hélices appartiennent alors à des surfaces coniques et doivent être tracées comme il a été indiqué (ilh) après avoir déterminé h forme des dents à chaque bout, sur le rabattement des deux faces opposées.

En étudiant les tracés des divers systèmes d'engrenages que nous venons d'exposer, on se trouvera en état d'établir, dans de bonnes conditions, toote espèce de transmission de mouvement par les engrenages.