SECOND CAS

* 299. Pour découyrir quelle quantité de marchandises il faut prendre a&n qu^il y ait compensation entre lenrs prix respectifs, les uns étant supérieurs et les antres inférieurs au prix moyen, il faut d'abord rômarquer qu'on perd sur les marchandises dont le prix Surpasse le prix moyen, et qu'on gagne sur celles dont le prix est inférieur, et l'opération consiste à égaliser le gain à la perte.

Par exemple, on a du yin à 40 cent, et à 60 cent le litre, on ^eut qu'il revienne à 45 cent. H est évident que si Ton prend une éçale quantité de chaque prix, on perdra; car sur le vin à 40 c. on ne gagne que 5 cent., tandis qu'on perd 15 cent, sur celui à 60 cent.

* 300. Pour résoudre ce problème et les autres du même genre, il faut écrire les uns sous les autres, par ordre de grandeur, les prix des objets , ainsi que le prix moyen, ayant soin de le séparer pour le distmguer des autres; puis écrire devant chaque prix leur diflTérence au prix moyen : la somme des diflférencas des prix inférieurs au prix moyen représentera la quantité qu'il Faudra prendra de chaque unité des prix supérieurs ^

280 RiGLE DE MÉLANGE. — 2* GA8*

et réciproquement^ et le total des deux sommes représentera le total des objets.

4«r Exemple.

Un aubergiste a du yin à franc 55 cent, et i 80 cent, le litre : combien en doit-il prendre de chaque qualité pour qu'il puisse donner le litre au prix moyen deOfr. 70 cent.?

Après avoir écrit les prix des objets du mélange sur une coloime verticale, et le prix moyen un peu de côté entre le prix supérieur et l'inférieur, je dis : la (ufTérence de 55 à 70 est 15, que j'écris vis-àvis de 55 j puis la différence de 80 à 70 est 40 . gue yécns vis-à-vis de 80, et } 'ai pour réponse qu'il faut prendre 10 litres à 55 cent, et 15 à 80 cent, et la somme 25 indique qu'il y aura 25 litres en tout.

Le raisonnement suivant fera comprendre rexactitùde de cette méthode. En vendant 70 cent, un litre qui ne coûte que 55 cent., on gagne 15 cent.; sur 10 litres on gagne dix fois plus ou 150 cent. ; en vendant 70 cent, un litre qui coûte 80 cent., on perd 10 cent.; et sur 15 litres on perd 15 fois plus ou 150 cent. Ainsi le gain est éead à la perte. On peut donc former la quantité demandée en prenant 10 mesures à 55 cent, et 15 mesures à 80 cent. Mais il faut remarquer que le problème est susceptible d'une infinité de solutions, et que les deux différences obtenues 15 et 10 ne sont une réponse générale qu'en fixant dans quel rapport doivent être les nombi-es des mesures de cuaçun des prix. Dans tous les cas, le nombre des mesures à 55 cent. : au nombre des mesures à 80 cent. : : 10 : 15 ou , en simplifiant, : : 2 : 3.

On a du vin à 35 cent., à 55 cent., à 70 cent, et à 80 cent, le litre, dites ce qu'il en faudra de chaque prix pour que le litre revienne au prix moyen de fr. 65 c.

lÂGLI DE MiLAlIGS. — 2** CAS* 281

Opération.

55 10 ! ^^' ^^^ ^'^ ^° ^^^ ^®"^ litres.

80 15 { ^^' ^^ *® ï^^ ^^ ^^'^ litres.

60 litres.

Pour

faire cette opération, je dis : la différence de 35 à 65 est 30, qne j'écris vis-à^vis 35; la différence de 55 à C5 estlO,que j'écns vis-a-vis 55. Ensuite la différence de 70 à 65 est 5. que j'écris ▼is-à-vis 70; et la différence de 80 à 65 est 15, que j écris vis-à- Tis 80. Enfin, 30 -h iO = 40, gain gue Ton ferait sur 2 litres, un de chacune des deux premières qualités : et 5 + 15 = 20, perte que l'on éprouverait aussi sur 2 litres, un de cnacune des deux dernières qualités.

La perte 20 indique ce qull faut mettre de vin tant à 35 cent, qu'à 55 cent.; et le gain 40 ^ combien il faut en mettre tant à 70 cent, qu'à 80 cent. En effet, (30 cent. + 10 cent, ou 40 cent, de gain) x20 = 800 cent, total du gain; et (5 cent. + ^5 cent, ou 50 cent, de perte) x 40 = aussi 800 cent, de perte : il y a donc compensation. Les nombres 30, 10, 5 et 15 indiquent en outre ce qfu'il faut mettre de litres de chaque prix, et il est indifférent d'en mettre 30 à 70 arec 10 à 80, et 5 à 35 avec 15 à 55, ou 30 à 80 avec 10 à70,etl5à35avec5à55.

Car, sur 30 litres à 70 cent, ou perdra

30 fois 5 ou 150, __^^ sur 10 litres à 80 cent, on perdra ( — *^^

10 fois 15 ou 150 sur 5 litres à 35 cent, on gagnera

5 fois 30 ou 150. __..^^ et sur 15 litres à 55 cent, on gagnera ( — ^"

15 fois 10 ou 150 sur 30 litres à 80 cent, on perdra

30foisl5ou450;___K/iA sur 10 litres à 70 cent, on perdra {— ^^

10 fois 5 ou 50

28S RiGLB DE H&AITGI. — 2" GAff.

sur 15 litres à 35 cent, on gagnera

15 fois 30 ou 450 1,^^ sur 5 litres à 55 cent, on gagnera ' ^^^

5 fois 10 ou 50,

On pourrait aussi mettre 40 litres à 70 cent, et 40 litres à 80 cent.; 20 litres à 35 cent, et 20 litres à 55 eent.

En eflfet , sur 40 litres à 70 on perdrait 40 \

fois 5 = 200 j^ sur 40 litres à 80 on perdrait 40 (— ^^w

fois 15 = 600/ sur 20 litres à 35 on gagnerait 20

- sur 20 litres à 55 on gagnerait 20

fois 10 = 200,

3« Exemple*

Un épicier a du café à 3 fr. 60 et à 2 fr. 80; on lui en demande 96 kilogrammes au prix moyen de 3 fr. le kilog. : combien faut-il qu'il en Uvre de chaque espèce?

Opération,

Nous mettrons les prix en centimes , pour simplifier le raisonnement.

Après avoir opéré comme à Tordinaire, j'ai trouvé que sur 80 kil , il en faut 20 à 360 cent, et 60 à 280 cent. Pour s Avoir maintenant combien il en faudra mettre de chaque spèce pour 96 kilog., je dis : 80 kilog. demandent 60 kilog. à 280 cent., un kilog. demandera la 80® partie de 60 ou ^, et par conséquent 96 kilog. demanderont 1^ X 96 = 72 kilog. à 280 cent.

Ensuite, 80 kilog. demandent 20 kilog. à 360 cent., un kilog. demandera la 80® partie de 20 ou |^, et par con-

RiOLE BE M&UUIGS. — 2' CLà0» 28^

séquent 96 kilog. deiDanderoat H X 96 = 24 kilog. i 360 œntimfis.

Un épicier a du chocolat à 2 fr. 40, à2 fr. 70, à 3 fr. 40 et à 3 fr. 50 le kilog. ; il se propose d'en vendre 396 Idiog. au prix moyen de 2 f r. 90 le kilog. : combien doit-il en livrer de chaque espèce?

Opération.

= 70 différence en moins.

= 110 différence en plus.

Après avoir fait l'opération comme à l'ordinaire, j'ai trouvé que sur 180 kilog. il en faut 70, tant à 340 cent, (p'à 350; et 110, tant à 240 cent, qu'à 270.

Ensuite, sur 180 kilog. il en faut 70, tant à 340 c.

Ïi'à 350; pour 1 kilog. , il en faudra ^; et pour 396 kilog. . en faudra ^ x 396 = 154. Puis, sur 180 kilog. il m faut 110 , tant à 240 cent, qu'à 270 ; pour un kilog. il m faudra jig; et pour 396 kilog., ji^ x 396 = 242.

On pourrait aussi obtenir les derniers résultats par 0» proportions : 180 : 70 : : 396 : x, et 180 : 110 ■ *

L'inspection seule des opérations prouve d'une mimière évidote que ces deui méthodes doivent amener les mêmes résulte, jpnisçnie les éléments senties mêmes dans l'un et dans l'autre ttr. loi effet, par la l'« méthode comme par la seconde on a !•

et 2"

c'est-à-dire la somme de toutes les différences est à la différence en pins ou en moins comme la quantité totale est à x,

301 . Si Ton déterminait la quantité qu'on veut mettre de Tune des parties, comme, par exemple, dans ce problème : t

On yeut vendre 600 mesures d'une certaine mar-

RiSGLE DE MÉLANGE. — 2' CAS.

chandise à il fr, la mesure , en prenant de 5 sorte; marchandises que Ton vend séparément, suivant h qualités, 5 fr., 6 fr., 8 fr., 13 fr. et 15 francs; n on veut qu'il entre 150 mesures à 5 francs.

Il faudrait prendre cette marchandise, qui est 6 prix inférieur au prix moyen, et de celle du prix su rieur, dont la diflference est la plus rapprochée de 5 i (c'est 15); de manière qu*il en entrât 150 mesur 5 fr.; soustraire le total du nombre qu'on veut a d'imités (ici c'est 600). Opérer sur le reste avec les-] dont la quantité à prendre n'a pas été détermii comme pour le problème précédent.

l'« Opération.

6 X 150 = 225 à 15 fr.