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contigues (fig. du par. 761) Ab, ad, etc. aient chacun une part proportionnelle À a et Bb, ac et bd, etc. dans les lignes de front AD, BC, considération, souvent de la plus haute importance quand le terrain à partager fait front sur une place publique ou voie commerciale.

(858) Au par. (749) il s’agit de déterminer par exemple la hauteur AC d’une forteresse dont on connaît la distance horizontale d’un point B et l'angle sous-tendu en ce point par un mât de pavillon CD dont on connaît la longueur ou hauteur. Or, dire que AC est une hauteur ou ligne verticale et AB une distance ou ligne horizontale, équivaut à dire que le triangle BAC est rectangle en A et comme le mât CD est censé à plomb ou posé verticalement sur le sommet C de la forteresse, on en conclutque ACD est une ligne droite et de là le problème réduit À l’abstrait, s’énonce “ construire ‘un triangle rectangle dont on a un côté et l’angle sous- “ tendu à l'extrémité du côté donné par le prolongement de 4 l’autre côté.”

(859) Au par. (717) c'est par exemple un récif O dont il y à à fixer la position, les données étant les angles AOB, BOC, COD sous-tendus en O par les rayons visuels OA, OB, etc. dirigés du point O sur quatte objects A, B, C, D situés en ligne droite, maïs dont un obstacle rend impossible le mesurement de la distance BC du second au troisième.

(860) Au pars. (591) et (744) c’est encore du partage d’un terrain qu’il s’agit, et si l’on demande non seulement que la ligne de division AC passe par un point donné F mais encore qu'elle soit droite; c’est que F est un puits, etc. auquel chaque fermier doit parvenir sans passer sur la terre de son voisin, et que la ligne droite étant la plus courte qu'il soit possible de tirer dans les conditions voulues est en même temps la moins coûteuse à clore.

(861) La ligne brisée GHKT. dans la fig. du par. (294) est un mur ou une clôture quelconque qu'il s’agit de remplacer par une nouvelle division NL en ligne droite et qui n’altère en rien les surfaces relatives des terrains contigus.

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(862) DG, par. (705) est le plus grand rectangle qu’on puisse tirer du triangle ABC ; soit la coupe transversale du plus grand morceau de bois écarri qu’on puisse tirer d’un morceau triangulaire.

(863) Le point O du par. (706) est un point invisible ou inaccessible ou les deux, dans la direction duquel il est à mener une ligne passant par un point donné P.

(864) Les problèmes (725) (768) (771) (775) (781) et d’autres de cette nature indiquent le moyen de raccorder les courbes

de voies ferrées, soit entre elles ou avec les parties droites de .

ces voies et de manière aussi que ces courbes ou parties de chemin passent par des points donnés, soit pour éviter des

obstacles ou pour toucher à un endroit voulu.

(865) ABCD (763) est une terre de surface connue dont le possesseur a perdu les borres A, B, C, D; mais prévenant ce danger, il a d'avance observé sur chacune des lignes AB, CD, etc., un arbre ou autre objet remarquable, et il donne maintenant à résoudre le problème de retrouver les bornes ou points angulaires de son terrain au moyen des distances HF, GE entre les objets E, F, G, H et de l'inclinaison des droites reliant ces points.

(866) (683) Dans ce prob. CD est une distance qu’on ne peut mesurer, quoiqu'il soit possible cependant d'observer de ses extrémités les angles sous-tendus par la ligne de base AB qu'on peut mesurer, maïs dont on ne peut observer en À ct B les angles sous-tendus par le côté opposé.

(867) abc (728) peut représenter un terrain dont il soit possible d'observer les angles en a, b,c, mais dont on ne peut mesurer les côtés ; dans ce cas on prend un point intérieur quelconque d dont on puisse mesurer les distances aux points angulaires du terrain,

(868) Le problème (727) sans avoir une utilité pratique directe est cependant essentiel à la solution du prob. (763) et en cela d’une importance toute aussi grande que ce dernier, On ne saurait trouver non plus dans (745) autre

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D APSENT- RE

chose qu'une proposition de fantaisie, n’était le secours essentiel qu'on en obtient dans la solution du prob. (744) et il y a un nombre de problèmes de cette sorte dont l'utilité n’est que relative ou secondaire, comme ceux dont il est question aux paragraphes (876) (514) (309) (306) (538) (378) (303) qui concourent tous à la solution du problème (591) dont l'utilité pratique est d’une haute importance.

(869) On ne saurait négliger non plus les problèmes de la nature de ceux dont il est traité aux articles (774) (684) (691) (692) (695) (724) (729) (738) (739) et (741) etc., tout étranges qu'ils puissent paraître au premier abord; car l'utilité de ces propositions s’est déjà fait sentir dans plusieurs cas où après avoir obtenu par construction ou par calcul les données qu’on trouve dans les énoncés, les éléments qui avaient servi à les déterminer ont été perdus, nécessitant par la même, pour les retrouver, l'opération inverse, comme pour revenir par exemple de la surface d'un triangle à sa base quand on en connaît la hauteur ou à la hauteur quand on en connaît la base.

(870) Enfin, pour une raison ou une autre tous les problèmes ici données et un nombre indéfini d’autres problèmes non moins variés se présentent tous les jours dans la pratique de l’arpenteur, du mesureur, du géomètre et dans les sciences, arts et métiers et pourront généralement se résoudre soit au moyen de quelqu’une des propositions de ce traité ou d’une conbinaison convenable de méthodes déjà enseignées, ne perdant jamais de vue que les données, toutes nouvelles qu’elles puissent paraître au premier abord, se réduiront pour la plupart à des données, tout autres, comme dans le cas du par. (886) où l'énoncé “ déterminer un triangle dont on connaît la base, la perpendiculaire et la différence entre les (ou (724) la somme des) côtés ”” Gevient celui de “décrire un cercle qui soit tangent à un cercle et qui passe par deux points, donnés.”

(871) Il est clair qu'avant de tenter la solution de quelque

était le secours du prob. (744) orte dont l'utilité ceux dont il est 809) (306) (538) ion du problème > importance.

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nouveau problème, on s'épargnera souvent un travail inutile en se demandant d’abord si le problème est déterminé ou en d’autres termes, s’il peut se résoudre ; car, tel problème qui paraît d’abord résoluble, est souvent loin de l'être, les données étant soit en trop petit ou en trop grand nombre. Par exemple si on connaissait dans un triangle ABC un côté BC et le rayon DE du cercle inscrit ; on n'aurait qu'à s'y arrêter un moment, pour voir que si le cercle était situé au centre A de la base ou près du centre, le triangle voulu serait plus ou moins isocèle ; si le cercle D’ était à une distance d’une des extrémités de la base égale à son rayon D'E’, le triangle qui en résulterait serait évidemment rectangle, et si la distance E"C était moindre que D'E” ou aurait un triangle obtusangle. On voit donc que ce problème admet autant de solutions différentes que de positions du cercle donné sur le côté donné et qu’il est en conséquence impossible à résoudre, faute d'une donnée additionnelle, pour fixer la position du cercle.

(872) Maintenant, soit à décrire un cercle qui doive passer par deux points donn’s AB, et toucher à deux lignes CD, EF ; on n’a qu’a recourir à l’extrème, comme au par. (828) et à supposer que l’une EF des deux lignes données soit indéfiniment éloignée en E'F', pour s’apercevoir d’un coup d'œil que le prob. ne peut se résoudre que quand la distance GH, GH' du centre du cercle à la tangente EF, E'F" est égale au rayon du cercle passant pa les deux points donnés et tangent à l’autre ligne CD ; 1 problème est donc ici encore indéterminé, les conditions étant trop nombreuses pour qu'on puisse les remplir toutes, et en général il est clair que puisqu'il suffit de trois poinus

pour déterminer le rayon et la position d’un cercle, on ne saurait dans aucun cas imposer une condition additionnelle ; de même que dans un triangle il suffit d’avoir trois de ses six éléments (trois côtés et trois angles) pour déterminer le reste et on ne saurait mieux réussir à la solution avec une condition de plus qu'avec une de moins.

(873) On n’a plus qu’a mettre l'étudiant en garde contre le danger, dans la solution des problèmes, d’une construction graphique qui fasse croire à l'existence de données qui n'ont aucune raison d'être. C'est ainsi qu'une ligne par exemple dans une figure sera accidentellement paralièle ou perpendiculaire à une autre ligne ou paraîtra être dans le prolongement d’une autre ligne et former avec cette dernière une seule et même ligne droite. Une ligne passera quelquefois par pur hazard par le point d’intersection de deux autres lignes ou par le centre d’un cercle et ces apparences spécieuses auront quelquefois pour effet de porter à de fausses conclusions, l'esprit étant toujours plus ou moins en danger d’être influencé et méconduit par les impressions oculaires. (*) Lorsque ces accidents se présentent dans la

(*) Le Canada a failli de cette manière jouir de l'honneur d’avoir résolu le célèbre problème de la trisection d’un angle; mais malheureusement pour celui qui prétendit en avoir fait la découverte, une ligne essentielle qui pour résoudre le problème ou prouver l'exactitude de Ja oons. truction devait se trouver dans le prolongement d’une autre ligne de la figure, ne formait pas avec cette dernière, partie d’une seule et même ligne droite ; malgré qu'en raisonnant toujours ‘dans un cercle ”’ J’homme ait réussi à y croire lui même et à inspirer sa croyance à quelques zélés de sa force en géométrie.

Cette prétendue solution de M. Thorpe (jugez de l’homme ; il admet y avoir dévoué 34 années de sa vie) divestie de tout le fatras dont il l’a entourée, consiste simplement (BAC étant l’angle à ‘“‘trisecter ” ou à partager en trois parties égales) après avoir prolongé AC jusqu’en D et mené DE parallèle et égale à AK, à joindre et prolonger DK d’une quantité KF=DK, joindre ensuite EF et par le point

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‘construction d’une figure il vaut mieux recommencer et

faire la fig. de mauière à ce que toutes les lignes qui la composent soient aussi éloignées que possible de tout

parallélisme et de toute perpendicularité ou intersection

qui n'est pas une condition essentielle à l'énoncé du problème.

d’intersection G de la droite DF et du côté AB de l’angle donné mener la parallèle GH qui est la corde du tiers de l'angle donné. Or cette construction ne vaut que pour un angle égal à deux angles droits et mesuré par la demi-circonférence, la construction dans ce cas donnant pour corde ‘ trisectrice ” le rayon DE du cercle; on démontre aussi que la construction vaut pour un angle de 98° 69’ +, ainsi que pour un angle de 118° 66/+, mais dans nul autre cas; et pour en démontrer l’absurdité, il suffit de considérer un angle droit CAK, la construction donnant dans ce cas pour corde ‘trisectrice *” une ligne KL= 34 DE (à cause des triangles semblables DEF, KLF et de KF=DK=X DF par constr.) Maintenant soit KN = NP = PC, on aura KNP = 4 demi-circonférence et KP corde de KNP=rayon=DE. La construction de Thorpe comme on vient de le voir donne pour corde de l’arc KN la ligne KL=4 DE=34 KP=KR côté du triangle rectangle KRN et moindre par conséquent que KN hypoténuse du mêmetriangle; et équivaut à dire en d’autres termes que la demi-corde d’un arc est égale à la corde de la moitié de cet arc.

On n'aurait pas même pris au sérieux ou fait mention d’une aussi absurde prétention, n’était le fait que Thorpe a obtenu du bureau des patentes un brevet d'invention pour sa ridicule solution et que passer sous silence une énormité de la sorte serait avouer en quelque manière qu'il yen a d’autres qui se sont laissés prendre à ses spécieux arguments.

On peut à bon droit se demander si de toutes les prétendues découvertes de la trisection d’un angle, de la quadrature du cercle ou du mouvement perpétuel, etc., dont l’Académie des Sciences et autres sociétés scientifiques ont été pendant tant d'années inondées, il s’en est trouvé une seule aussi éloignée de la vérité que celle que nous venons de signaler.

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