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Trouver dans la table, le sinus, cosinus, tangente ou cotangente logarithmique d’un arc ou d'un angle donné quelconque.
(1288) Si l’angie donné est moindre que 45°, regardez à la première ligne horizontale des diverses pages, jusqu’à ce que vous trouviez le nombre de dégrés; descendez alors la colonne des minutes, à la gauche de la page, jusqu’à ce que vous arriviez au nombre indiquant les minutes; pussez alors horizontalement à la colonne désignée sinus, cosinus, etc., sui7ant le cas, et le nombre que vous y trouverez est le logarithme requis. Aïnsi, le sinus, cosinus, tangente, cotangente de 19° 55’ se trouvent, page 87 de la table, vis-àvis de 55, et sont respectivement 9.582812, 9.973215, 9.559097, 10.440908.
(1289) Si l’angle donné est plus grand que 45°, cherchez les dégrés sur la ligne horizontale au bas des différentes pages, et vous trouverez les minutes en remontant dans la colonne de droite; -passez alors horizontalement à la colonne désignée tang., cotang., sinus, cosinus, suivant le cas, et le nombre trouvé sera le logarithme voulu.
(1290) On verra que la colonne désignée ‘ sinus ” au haut de la page, est désignée ‘ cosinus ? au bas de la page; celle qui est désignée ‘tangente,’ devient ‘cotangente,’ et de même ‘ cosinus * au haut de la page est désignée ‘ sinus ’ au bas, et ‘cotang., ‘tang.’ L’angle qu'on obtient, en prenant les degrés au-haut de la page et les minutes dans la colonne de gauche, est le complément de l'angle indiqué par les dégrés au bas de la page et par les minutes dans la colonne de droite, et sur la même ligne horizontale. Ceci étant évident, l'on voit de suite pourquoi les colonnes désignées sinus, cosinus, tang., cotang., quand les dégrés se trouvent au haut de la page et les minutes en descendant à gauche,
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deviennent nécessairement, cosinus, sinus, cotang., tang., quand on trouve les dégrés au bas de la page et les minutes en montant à droite ; car, comme on l’a fait voir (1224) le sinus, cosinus, tang. et cotang. d’un angle, est en même temps le cosinus, sinus, cotang. et tang. du complément de cet angle.
(1291) Si i’angle donné est plus grand que 90°, on n’a qu'à le soustraire de 180° et à prendre (1221) le sinus, cosinus, tang. ou cotang. du reste, c’est-à-dire du supnlément de l’angle donné.
(1292) On a omis, dans les tables, les. sécantes et cosécantes, que l’on peut obtenir aisément, à l’aide des sinus et
cosinus ; car (1226) séc. = Sos °U en prenant les logarith-
mes : log. séc. = 2 log. R — log. cos.— 20—log: cos. ; c’.à-d., la sécante logarithmique se trouve er -)ustrayant de 20
le cosinus logarithmique. La coséc. — (1298\ a , ou le
log. coséc. = 2 iog. R — log. sin. = 20—log. sin. ; c.-à-d., on obtient le logarithme de la cosécante en soustrayant de 20 le logarithme du sinus. :
On a vu (1225) que R° = tang. X cotang ; d’où, 2 log. R —log. tang. + log. cotang; ou 20 = log. fang. + log. cotang.
(1293) La colonne qui adjoint à droite celle des sinus est désignée D, lettre initiale du mot différence. Voici comment on calcule ces différences. Ouvrez la table, soit à la page 42, vous trouverez le sinus de 24°, égal à 9.609313. celui de 24° 1°= 9.609597; leur différence est 284 que l’on divise par 60, nombre de secondes dans une minute, pour avoir le quotient 4,73, que l’on trouve cousigné dans la table, colonne D, vis-à-vis de 24°, a”:c l'omission cependant du point décimal, dont on tient toujours compte néanmoins, en se rappelant que les deux derniers chiffres sont décimaux. L'opération que l’ou vient de faire pour troaver la différence
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4.78 de eus correspondant à une différence de 1” dans l'angle donné, est évidemment fondée sur la supposition que l'accroissement du sinus logarithmique est proportionnel à l'accroissement correspondant de l’arc, et il en est ainsi, à très près, pour 60”; il suit que 4.73, ou comme on l’a dit, 473, en tenant compte du point décimal omis, est l’accroissement du sinus pour 1”. De même, si l’arc est 249 20, l'augmentation du sinus pour 1” est 465 ou 4.65, en tenant compte du point décimal. Les mêmes observations s’appliquent à la colonne D après la colonne cosinus, et à la colonne D entre les tangentes et cotangentes. Si la colonne D entre les tangentes et cotangentes répond à chacune de ces colonnes, c’est que comme on l’a vu (1292) la somme des tangente et cotangente logarithmiques d'un are quelconque est 20, ou log. tang. + log. cotang. = 20; d’où il suit, qu'étant donnés deux arcs a et b, on a log. tang. b + log. cotang. b = log. tang. a + log. cotang. a, ou log. tang. b — log. tang. a = log. cotang. a — log. cotang. b.
(1294) Soit maintenant à trouver le sinus logarithmique d’un angle exrrimé en dégrés, minutes et secondes: on opérera comme auparavant pour les dégrés et minutes; on multipliera ensuite, par les secondes, la différence pour une seconde, trouvée dans la colonne D, et l’on ajoutera ce produit, dont on regardera comme décimales les 2 chiffres de droite, au sinus d’abord trouvé, pour avoir le sinus de l'arc donné.
Ex. 1. Si l’on veut avoir le sinus de 40° 26° 28”,
Le sinus de 409 26’ est... sers 9,811952 La différence pour une seconde est 247 Laquelle multipliée par le nombre
de secondes... ss ssssssoes 28
Donne pour produit..…...............69.16 69.16
Ce produit 69.16 ajouté au sinus de 20° 46, dcnne pour sinus de 40° 26° 28” le log...…............9, 812021.16
On trouve d'une manière analogue la tangente d’un arc
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où il suit, x. d + log.
tang. b —
rithmique ondes: on nutes; on } pour une ce produit, de droite, c donné,
812021.16 d'un arc
dans lequel il y a des secondes. Pour ce qui est du cosinus et de la cotangente, il faut se rappeler que ces lignes croissent ou augmentent pendant que les arcs diminuent, et décroissent pendant que les arcs augmentent, ce qui rend nécessaire de soustraire, au lieu d'ajouter, les nombres proportionnels qui répondent aux secondes.
Ex. 2. Ainsi, pour trouver le cosinus de 89 40’ 40” On a le cosinus de 8° 40/=.............. se sososese 1609 099110 La différence pour une seconde est 13 Laquelle multipliée par le nombre de secondes.......,................ 40
Donne pour produit..................,5.20 Que l’on soustrait du sinus de 8° 40/......,.,,..... 5.20
Ce qui donne pour cosinus de 8° 40’ 40//..........9.999104.80 Où, en ne mettant que 6 décimales,.…......…..,.....9,999105
Trouver les dégrés, minutes, et secondes qui répondent à un sinus, cosinus, tangente ou cotangente quelconque.
(1295) Si vous trouvez dans la table le logarithme donné, vous aurez au bas ou au haut de la page, suivant le cas, les dégrés, et dans la colonne de gauche ou de droite, les minutes correspondant au log. donné ; mais si le logarithme ne peut se trouver exactement dans la table, prenez les dégrés et minutes qui répondent au log. moindre suivant, et la différence correspondante, colonne D; soustrayez le logarithme pris dans la table, du log. donné, ajoutez au reste deux zéros et divisez alors ce reste ainsi augmenté, par la différence D ; le quotient de cette division doune les secondes à ajouter aux dégrés et minutes déjà trouvés, quand il s’agit d’un sinus ou d’une tangente, ou à soustraire, das le cas d’un cosinus ou d’une cotangente.
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Ex. L Soit à trouver l'arc qui répond au sinus 9.880054
Soustrayant le sinus moindre suivant, celui de 49° 20’, CBlicoisororvioveusee CLLILLLREIILLA) 9.879968
Il reste 91 auquel ajoutant 2 zéros et divisant 181) 9109 (50/’ par la différence 181 de la colonne D, il vient 50” que l’on ajoute aux 49° 20 pour avoir l'arc ou l'angle voulu 49° 20° 60/’.
Ex. 2. Soit encore à trouver l'arc qui çorrespond à cotangente, suisses sssssssss 10.008688 Cotang. moindre suivant, celle de 44° 26’ 10.008591
Le reste 97 augmenté de 00 et divisé 421) 9700 (23/’ par 421 (D) donne 28” secondes à retrancher de 449 26’ pour avoir l'are voulu.
De 1, 44° 26 — 28" = 44° 25° 87// est l'arc qui correspond à la cotangente donnée 10.008688,
