ELS

ronométriles valeurs tangentes,

Le manière etc., d’un urel, etc.,

t cosinus, sont touimales de ù le point ! utile.

’à 45° et moindres

que l'unité, on omet encore le point décimal ; mais au-dessus de 45° los tangentes, ot les cotangentes au-dessous de 45°, étant plus grandes que l'unité, le point décimal reparaît nécessairement avec les entiers que contiennent alors les valeurs do ces lignes.

(1297) La colonne D de la table logarithmique est omise ici fauto d’espaco, mais on y supplée faciloment au besoin, c.-à-d., quand il y a des secondes dans l'arc donné, ou quand lo sinus, ete., donné ne se trouve pas dans les tables, en prenant lu différence entre le nombre qui correspond aux minutes contenues dans l'arc, ot le nombre suivant. Ayant obtenu de cette manière la différence qui répond à 1’, on trouvera en divisant cette dernière par 60, le nombre proportionnel pour 1’” et on opérera ensuite comme on le fait dans le cas des lignes logarithmiques.

Ex. 1. Soit à trouver, par exemple, le sinus naturel de 44° 40’ 40’. Le sinus de 44° 40’ est .70298, cslui de 44° 41’ est .70319, la différence de ces sinus pour 1’ est 21, cette différence divisée par 60 donne pour quotiènt .85 différence pour 1/’ et 85 x 40 (nombre de secondes dans l'arc donné), = 14.00 que j'ajoute à .70298 pour avoir .70312 = sinus nat. de 44° 40’ 40”.

Ex, 2. Maintenant soit À trouver les dégrés, minutes et 80condes qui correspondent à un sinus .70812 qu'on ne trouve pas dans la table. Ce sinus se trouvant entre ceux de 449 40/ et 44° 41’, on voit de suite que l'arc requis se trouvera aussi entre ceux de 44° 40’ et 44° 41’; soustrayant donc l’un de l'autre ces deux sinus on obtient 21 leur différence, et on fait alors la proportion, si une différence de 21 entre les sinus de 44° 40’ et de 44° 41’ correspond à une différence de 60” entre ces arcs, à combien de secondes correspondra la différence

14 entre le sinus donné .70812 et lo sinus .70298 de 44° 44 ou dif, 21 : 60” :: dif. 14 : 40/ = LES 14, à la droite des 44° 40’ déjà trouvés, pour avoir l'arc voulu

que l’on écrira

Corn os = > AD = ; > RTE ae | LE SRE RTS ie rene pc neo —— HF ne. + - ms

Er &-

Ex. 8. Soit proposé de trouver la cotangente naturelle de 5° Sc 40’ 20” ; la table donne pour cotang. de 8° 40, 15.6048 et que ; ! 4 pour cotang. de 8° 41’ 15.5340 dont la diffèrence est 708 10,0 Lei que je divise par 60 pour avoir 11.8 = différence pour log UE 1’, cette différence 11.8 multipliée par 20, le nombre de tion, i 4 secondes, dans l’arc donné, donne 286.0 que je retranche de E ML 15.6048 pour avoir 15.5812 = cotang. de 8° 40’ 20/’, puisque de 2 I les cotangentes et les cosinus diminuent à mesure que les ‘a ; fe arcs augmentent, et augmentent à mesure que les arcs dimi- ÿ 4 l nuent. Le ‘il ki Ex. 4. Si l'on avait sufin à trouver l’arc correspondant à la he #14 cotangente 15.5812 qu: :.:€ &: trouve pas dans la table ; ayant puiss fi | obtenu la différence 70& £atre !: rotang. 15.6048 de 8° 40 et À la cotang. 15.5340 de 8° 41’, et la différence 286 entre la Ue ‘4 cotang. de 8° 40’ et la cotang. donnée, on ferait la propor- | 36° 4 Hi tion dif. 708: 60// :: dif. 286: 20/70 X Û que l'on éer. JE (3 1: il rait à la droite de 8° 40’ pour avoir l’arc voulu 3° 40/ 20/’. pure à 1 (1298) Ou en suivant la règle du par. (1295) cotang. donnée ä re LÉ fi | 15.5812 — cotang. moindre suivant 15.5840, celui de 3° 41’, 2, pa LE ( — 42 et 708 : 60// ::472 : 40/’ qu’il faut dans ce cas retran- D } (il cher de 3° 41’ pour avoir comme auparavant 8° 40/ 20/’, ces lis A l'arc requis. ou É 4 (1299) On obtient aisément au besoin la sécante et la portic alt cosécante d’un arc quelconque, la première, en divisant D supnc ti l'unité par le cosinus de l'arc, puisque (1228) séc. = différ | R” mi , la seconde en divisant l'unité par le cosinus. On cos. cos. PEUR puisque coséc. = E” mi à très I sin. Sin.

On peut aussi obtenir le sinus ou cosinus naturel d’un arc, Fi à l’aide de son sinus ou cosinus logarithmique, en soustrayant Ex seulement 10 de la caractéristique de ce dernier ; le nombre La d correspondant au log. ainsi diminué est le siuus ou cosinus PME

naturel voulu; et l’on peut de même obtenir la tangente, sécante, etc., naturelle d’un arc donné. ou .0

aturelle de 5° ), 15.6048 et ‘ence est 708 Yérence pour e nombre de retranche de 20/’, puisque esure que les les arcs dimi-

spondant à la à table ; ayant 18 de 3° 40’ et 236 entre la it la proporque l’on écri- 3° 40 20/7.

ptang. donnée lui de 8° 41’, e cas retrant 8° 40’ 20”,

sécante et la en divisant 8) séc. =

ar le cosinus,

rel d’un arc, n soustrayant ; le nombre 18 ou cosinus la tangente,

Soit s le sinus naturel d'un are, et $ son sinus logarithmique; puisque le rayon de s= 1, et que le rayon de S = 10,000,000,000, on a S = 10,000,000,000Xs ; d'où, log. 8 = log. 10,000,000,000 + log. s = 10 + log. 8, ou, par transposition, log. s = log. S—10.

Ex. Etant donné le sinus logarithmique de 360 44/, c'est-à-dire, ses soso sesesssssos à PA TTTT + 9.7767676 J'en retranche..........sssssssse, RICO 10

Le reste est le logarithme (du sinus naturel)... 1.7767676 car, il s'en faut d’une unité que la soustraction puisse se faire ; ce qui s’énonce, 1.

Ce logarithme correspond au sinus naturel de 809 44” qui ebt mn, ssséboieidattéen sédetitaresse . .5980916

(1800) Avant de procéder à faire l'application des règles précédentes à la solution des triangles, il est nécessaire de faire remarquer, que les différences successives entre les sinus et tangentes logarithmiques de petits arcs, n’excédant pas 2°, par exemple, sont très variables, comme on peut le voir ; en conséquence de quoi, on ne peut trouver, avec exactitude, ces lignes logarithmiques, pour de petits arcs contenant des secondes ; puisque, comme on l’a vu (1293) les parties proportionnelles pour les secondes, sont calculées d’après la supposition, que les différences sont constantes pour une différence de 1’ ou de 60/’ dans l’arc.

On tror: ra plus avantageux, dans ce cas, de se servir des sinus et des tangentes raturels, dont les différences sont, à très près, constantes pour une augmentation considérable de l'are, comme on l’a fait voir au par (1257).

Ex. 1. Soit à trouver, par exemple, le sinus nat. de 10/’. La différence entre 0’ et 1’ ou entre 0” et 60” est .00029 ; on

fera donc 60// : 00029 :: 10/’ : 00005 = 00029 X 10 655504.8

ou .00005.

= : ee ut à D ER — FT RE

es == — En TE ur sam

ee ons ee nn

Es

PR ns RP Ie on li mener ste

Capa

RE D ME Le + PAR Le É » S > +

> mme Plat de mn pin ie ÈS mé a

Ex. 2. De même, si l’on avait à trouver la tangente de 33’ 25”; la tang. de 88 est .00960, celle de 34 est .00989 dont la différence est .00029, et 60// : 29 :: 25/’ : 12.088 ,c’est-à-dire (faisant reparaître les zéros) .00012; d'où, tang. 38° 25// = .00960 + .00012 = .00972.

Ex. 8. Soit encore à déterminer la valeur de l'arc correspondant à un sinus nat. = .02978. On voit de suite, en consultant la table, que l'arc voulu se trouve entre 1° 42’ et 1° 43'; or la différence des sinus de ces arcs est 29, et la différence entre .02967 sinus de 1° 42’ et le sinus donné .02978, est 6; et 29 : 60/’::6 : 12.4/’; donc, l'arc voulu = 1° 42/ 12.4”.

(1301) Il faut aussi éviter l'emploi du sinus, tant logarithmique que naturel, d'un arc très grand, c’est-à-dire d’un are de près de 90°, ou du cosinus d’un arc très petit; à cause du peu de différence dans les longueurs respectives de ces lignes, pour une assez forte différence dans l'arc qu'elles mesurent ; et cela surtout, quand on fait usage de tables qui ne vont qu’à à décimales, où, comme on le voit, le sinus ne varie que d’une unité du 5ième ordre, dans les 18 dernières minutes du quart-de-circ., ou, ce qui est la même chose, le cosinus ne varie que d'autant, dans les 18 premières minutes de cet urc.

Il est clair que ce que l’on vient de dire, s'applique encore aux sécantes de très petits arcs, lesquelles varient presque imperceptiblement, à mesure que ces arcs augmentent ou croissent ; et aux tangentes et sécantes d’arcs de près de 90°, lesquelles augmentent rapidement (1234) à mesure que l’are s'approche du quart-de-circe. ; et dont les différences sont en conséquence, très variables, et telles qu'on ne puisse s’en servir pour le calcul des secondes, on même pour celui des minutes, dans certains cas; ce que d’ailleurs on fera voir dans l’article suivant. |

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