THÉORÈME
Expression générale pour le volume d’un solide quelconque.
(521) De tout prisme ou cylindre droit ou oblique—de toute pyramide régulière ou irrégulière, ou de tout cône droit ou oblique—de tout tronc de pyramide ou de cône compris entre bases parallèles—de la sphère—de tout onglet, secteur ou pyramide sphérique—de tout sphéroïde—de tout segment de sphère ou de sphéroïde à une seule base ou à deux bases parallèles—de tout paraboloïde ou conoïde parabolique—de tout hyperboloïide ou conoïde hyperbolique—de tout segment de paraboloïde ou d'hyperboloïide à une seule base ou à deux bases parallèles—de tout coin ou autre tronc de prisme triangulaire—de toute partie detel coin ou de telle prisme tronqué séparée du solide entier par un plan parallèle à l'une quelconque de ses faces latérales—de tout autre prismoïde ou cylindroïde quelconque: le volume est équivalent à la somme de la surface de sa base, s'il n'y en a qu'une ou de ses bases parallèles, s’il y en a deux, et de quatre fois la surface d'une section à demi-distance entre les bases, entre la base et le sommet, ou entre les sommets opposés, suivant le cas, multipliée par un sirième de la hauteur du solide.
Soient A et B les bases opposées, base et sommet, ou sommets opposés de l’un quelconque des corps qu’on vient d’énumérer, soit S une section parallèle à demi-distance entre À et B, et H la hauteur du solide; on aura suivant le cas, volume=(surf. À + surf. B + 4 surf. 8) x 4 H, ou (surf, À +4 surf. S) x 4 H, ou (4 surf. S) x 4 H, suivant que surf. sommet B:= 0 ou que surf. sommet À + surf, sommet B= 0.
(1522) Maintenant, des cinq polyèdres réguliers, le tétraèdre est une pyramide, l’exaëdre est un cube c’est-à-dire un prisme, et chacun des trois autres est un composé de pyramides égales entre elles ; tout tronc de prisme
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polygone est un composé de troncs de prismes triangulaires ayant chacun pour base l’une des faces latérales du tronc donné et dont les arêtes ou sommets se réunissent tous et se confondent à l’endroit d’une des arêtes parallèles du solide ou sur une droite quelconque parallèle aux côtés du tronc, située à son intérieur et qu’on peut regarder comme axe du prisme dont le tronc fait partie; tout tronc de cylindre peut aussi être regardé comme un composé de troncs de prismes triangulaires, puisque le cylindre lui-même n’est qu’un prisme infinitaire; tout fuseau circulaire, elliptique, parabolique, etc., se décomposera, comme 6n l’a déjà fait voir (1188) en cônes et troncs de cônes, ou, s'il est possible, en troncs ou segments de conoïdes paraboliques ou hyperboliques, subdivisions auxquelles l’on ajoutera au besoin le cylindre et le segment sphérique; le conoïde ou le sphéroïde dont la courbe génératrice ne serait pas celle d’une section de cône, se décomposera (1139) comme le fuseau, en troncs de cônes, segments et calottes sphériques, segments de sphéroïdes, de paraboloïdes ou d’hyperboloïdes, etc ; l'onglet de cylindre, de cône ou de conoïde sera regardé comme un composé de pyramides rectilignes ou sphériques, et tout autre corps se subdivisera, suivant le cas, en éléments (1148) de l'espèce de ceux qu’on vient d’énumérer.
L'expression est donc générale, comme on l’a dit en titre de cet article, et servira à volonté à déterminer le volume d’un solide quelconque.
(4523) Habitué jusqu'ici (1103) à la considération d’un nombre &gi varié d'expressions pour le volume des divers solides dont il s'agit, et cela, sans même y comprendre le sphéroïde, le paraboloïde, l’hyperboloïde et les segments de ces corps, qui donnent lieu encore à des formules additionnelles, l'élève s’étonnera peut-être tout d’abord et doutera même de l'existence d’une formule qui puisse s’appliquer à la fois, à des corps aussi dissemblables entre eux que le sont le prisme ou cylindre, la sphère, le segment de sphère, la pyramide ou le cône, et le coin, etc., et dont les surfaces limitatives sont indifféremment planes ou courbes ou les deux; mais il sufira des ré. flexions suivantes pour faire foi de l’exactitude de l’énoncé de la proposition.
(524) En premier lieu, le prisme ou cylindre a pour volume (1103 1° et 6°) la surface de sa base multipliée par sa hauteur; or les bases opposées d’un prisme ou cylindre sont égales et toute section de ces solides parallèle à la base est (948) égale à la base ; la somme des 2 bases plus 4 fois la section à demi-distance entre elles, équivaut donc à six fois la base, et c’est la même chose de multiplier 6 fois la base par un sixième de la hauteur ou de multiplier tout simplement la base par la hauteur entière.
4525) En second Jlieu, le volume de la pyramide ou du cône (pyramide infinitaire) est (11038 2° et 7°) le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; mais la section parallèle à demi-distance entre la base et le sommet vaut le quart de la base, puisque les côtés ou autres lignes homologues de cette section sont moitiés de ceux de la base et que les surfaces
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sont comme les carrés des côtés homologues, c'est-à-dire :: 1: 4 quand les côtés sont :: 1 : 2. Donc dans ce cas la base plus 4 fois la section entre la base et le sommet équivaut à 2 fois la base, et c’est la même chose de multiplier deux fois la base par un sixième de la hauteur ou de simplifier la formule en multipliant la base par le tiers de la hauteur.
(1526) D’ailleurs, comme le fait voir (1LKO2) la déf. du prismoïde, le tronc de pyramide est en même temps un prismoïde et le tronc de cône (tronc de pyramide infinitaire) est encore un prismoïde et ces troncs, en supposant que leur hauteur soit indéfiniment augmentée, finiront par devenir les solides mêmes dont ils ne formaient d’abord qu’une partie; or la formule ( surf. A + surf. B +4 surf. S) vaudra toujours, quelle que soit la surface du sommet ou de la base supérieure B, et quand B ne sera plus qu’un point et que sa surface sera par conséquent devenue égale à 0, la formule deviendra (surf. À +4 surf. S) x 4 hauteur.
(1527) En troisieme lieu, le volume de la sphère est (1075) égal à sa surface multipliée par le tiers de son rayon ; or cette surface est précisément égale à quatre de ses grands cercles, c’est à-dire à quatre fois la surface d’une section de la sphère à distances égales de deux sommets ou points opposés quelconques de sa surface convexe; de là donc l'exactitude de la formule, puisque le sixième de la hauteur de la sphère, c'est-à-dire de son diamètre, est le tiers du rayon ou demi-diamètre.
(1428) Pour cequi estde l'hémisphère, son volume E est égal (1077) à la surface convexe par le tiers du rayon ; mais sa surface convexe est égale à 2grands € cercles, puisque la surface de la sphère entière est égale à 4 grands cercles, et l'on a (4 grands cercles A F B x4 EF)=(2 grands cercles x & EF); or surf. section aDb (où ED = FD)=
3 surf. base AB, puisque Db =bF —-DF “its FB)"— 1-1 = 3 et comme quatre fois = 3, on a 4 surf. ab + surf. AB = 4 surf. AB ; donc 4 surf. x 4 EF ou 2 surf. AB x3 EF= (surf. AB +4 surf. ab) x 4 EF ; donc, etc.
(529) Et en general, s'agit-il d'un segment A uelconque ED de la sphère, le volume en est égal i (1088) à 4 somme des volumes du cône tronqué ED et 4 du segment BD; or le volume de BD, c'està-dire du 4 solide engendré par la révolution du segment BD est, F (1089) laditférence entre le secteur sphérique engendré par la révolution du secteur BCD et le solide engendré C
par la révolution du triangle isocele BCD ; cette différence vaut (1089) 37 (CB* — Cd EF =3 7 (Ce’-— Cd”) EF ; or Cc”— Cd”=0b “— Cd”= ab" ad" à cause de aC commun aux triangles rectangles abC, adC ; donc le volume du solide engendré par BD (et qui avec le cône tronqué engendré par la
