B.AC=CE

les AB.AC, ra (78. Ax.) louble de la ntinu (41) uble de sa circonscrit, eux fois le

- CEA .

it dans un LC, BD est tés opposés

IBC etona le rapport AD : CI:: BD : BC; de là, AD.BC= CI.BD. De plus, le triangle ABI est semblable au triangle DBC ; car, l’are AD étant =CO, si à chacun de ces arcs on ajoute l'arc OD, on aura l'arc AO=DC ; de là, l’angle ABI est égal à DBC ; et l'angle BAI ou BAC=—BDO, parce qu'ils sont appuyés sur le même arc BC ; donc les triangles ABI, DBC sont semblables, et les côtés homologues donnent le rapport AB : BD :: AI: CD; donc AB.CD=AI.BD. Ajoutant les deux résultats obtenus, et remarquant que AI.BD+ CL.BD—(AT-+-CI). BD=—AC.BD (853), l'on aura AD.BC+ AB.DC=AC.BD.

PROP. LXIV. THÉOR.

(805) Si du point O de bissection et des extrémités A, B d'un arc de cercle AOCB, l’on mène des lignes CD, AD, BD à un point quelconque D sur la circonférence ; le rapport entre la somme des deux lignes AD, BD menées des extrémités de l'arc, et celle CD menée du centre de l'arc, sera le même que celui entre la corde AB de l’arc entier ACB et la corde AC ou BC de la moitié de cet arc ; c-à-d., AD+DB : CD :: AB : AC ou BC.

Puisque ADBC est un quadrila D tère inscrit dans un cercle, et dont les diagonales sont AB et CD ; l’on aura par la derniere prop. AD.BC+AC.BD —AB.CD ; mais AD.BC+AC.BD— AD.AC+BD.AC, puisque AC=—BC ; donc (68. Ax.) AD.AO+BD.AC— À AB.CD ; c-à-d. (858) AD+BD.AC— C AB.CD. Et parceque (545) les côtés de rectangles (171) égaux sont réciproquement proportionnels, l’on a AD+BD : CD:: AB: AC.

D'ailleurs (88) si le rectangle ou produit de deux quantités est égal au rectangle ou produit de deux autres quantités,

deux de ces quantités sont les extrêmes d'une proportion dont les deux autres sont les moyens; donc, encore de cette manière, l'on obtient, en raison inverse, AD+BD : (D :: AC ; AB, ou en raison directe, AD+BD:CD::AB:AC; done, etc.

PROP. LXV. THÉOR.

(606) Si, sur le diamètre AC proiongé d’un cercle ABC, l'on prend deux points E, F, tels que le rectangle contenu par les segments ED, FD interceptés entre ces points et le centre du cercle, soit équivalent au carré du rayon AD ; et si de ces points l’on mène deux lignes droites EB, FB à un point quelconque B de la circonférence ; le rapport entre ces lignes sera le même que celui entre les segments AE, AF compris entre les points en premier leu mentionnés et la circonférence du cercle ; c-à-d., si ED.DF—AD?, l'on aura FB: BE:: FA : AE.

Joignez BD, et parceque ED.DF' est égal B au carré de AD, c-à-d.

au carré de BD J:\ (rayons d’un même NHE D C

cercle), FD:BD :: BD:

ED (89 ou 580). Dans

les deux triangles

FDB, BDE, les côtés qui comprennent l’angie commun D sont donc proportionnels ; ces deux triangles sont donc (323) équiangles, l'angle DEB étant égal à l'angle DBF et DBKE à DFB. Maintenant, puisque (520) les côtés qui comprennent ces angles égaux sont aussi proportionnels, FB:BD::BE :ED, et alternativement (94) FB : BE :: BD : ED, ou FB : BE:: AD: ED. Mais, parceque FD : AD :: AD : ED, l'on a par divison (96) FD—AD : AD :: AD—ED : ED, ou FA : AD :: AE: ED, et alternando, FA : AE :: AD : ED; or, ila été démontré que FB : BE :: AD : ED ; donc, (75. Ax.) FB:BE::FA:AE.

proportion encore de BD : D ::