À LA

n pentagone

Soit AH=—AK et HN=HK? ; ayant joint et prolongé AN jusqu'en G et mené LG parallèle à KN, il est clair qu'on trouvera LG côté du carré cherché en faisant AN :

KN :: AG: LG à cause des triangles semblables AKN, ALG; ou par constr. en menant ANG, AP, joignant PG et sur PG construisant le carré demandé.

(794) PROB. Inscrire dans un triangle isooèle ABC trois cercles E, F, D tangents entre eux et aux côtés du triangle.

Ayant mené CP perpendiculaire à AB, ona AP=BP et le cercle E=F qu'on inscrira dans les triangles CPB, CPA par la méthode du par. (630).

Soient GH, LK respectivement parallèles à AC, BC et à des distances de ces dernières égales au rayon OE des cercles déjà décrits ; il est clair que le cercle voulu D sera concentrique à celui qui passant par les centres E, F serait tangent à LK, GH; d'où on tire que pour trouver D, il y aura à décrire par la méthode du par. (768) un cercle EFNR passant par les points connus E, F et tangent à l’une ou à l’autre des lignes LK, GH.

(795) PROB. Inscrire trois cercles égaux G, H, K dans un cercle donné ABC.

Il est clair qu’on aura DOE—EOF— DOF=un tiers de quatre angles droits, et que les centres des cercles à décrire se trouveront dans les bissectrices OA, OB, OC de ces angles. Dans le triangle rectangle OPH on a l'angle HOP ou COF=+} EOF=—{+ de 4 angles droits, et l'angle OHP par conséquent ,

= comp. POH; on connaît donc l'angle C=+ H, pour mener CP et par suite PH perpendiculaire à OF qui fixera le centre H et le rayon HP ou HO des cercles à décrire.

(196) PROBS. Par un des points d’intersection B de deux cercles, mener une ligue AC qui soit bissectée en ce point ; et par l’autre point d’intersection Q, mener une ligne NL qui soit égale à la première.

Joignez DE, bissectez DE en O, joignez OB et menez ABC perpendiculaire à OB; vous aurez AB=BC; car, ayant mené EG, DF perpendiculaires à AC et par conséquent parallèles à OB; FB sera = BG, à cause de DO= OE, et comme les perpendiculaires DF, EG donnent aussi AF—FB et BG=GC; il suit que AB=2FB=BC= 2BG.

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ns ne DE RS ce LE LÉ EE à EL

En second lieu, pour faire NL=AC, il n’y a qu'à mener NQL parallèle à AC ; car, ayant abaissé les perpendiculaires CH, BK, AR, il est clair qu’on a HL=KQ=RN, ce qui rend semblables les triangles rectangles ARN, CHL et donne AN=CL et AN parallèle à CL; d'où NIx=AC.

(797) PROB. Fig. du dernier par. Avec des rayons donnés DQ, EQ, décrire deux cercles tels que la ligne BQ qui joint leurs points d’intersection soit égale à une ligne donnée.

Dar: les triangles rectangles DPQ, EPQ, on a PQ=—4BQ, et les rayons DQ, EQ, pour. trouver DP, EP, ce qui donne ED=DP+EP.

(798) PROB. Trouver sur une ligne AB le centre C d’un cercle qui soit tangent à une ligne DE et à un cercle FGH.

Rem. Le cercle LH est supposé passer par le point O, et la distance EK être égale au rayon OF, comme il paraît par le texte.

=} H, pour me- " qui fixera le décrire.

rsection B de t bissectée en 1 Q, mener une

y a qu’à mener erpendiculaires RN, ce qui rend

HL et donne AC.

BC des rayons s que la ligne oit égale à une

on a PQ=—4BQ,

ce qui donne

B le centre C e DE et à un

la distance EK être

Il est clair que le cercle voulu DR sera concentrique à celui LOH qu'on décrirait pour passer par le centre O du cercle donné et toucher à une ligne LK éloignée de la ligne donnée DE d’une distance EK égale su rayon OF du cercle donné; ce qui réduira l'opération à celle de trouver sur une ligne le centre d’un cercle tangent à une ligne et passant par un point donné. Il y a donc à trouver sur AB un point C tel que la perpendiculaire CL soit égale à la distance CO entre les centres des deux cercles,

A cet effet, ayant joint (et prolongé s’il le faut) AO, on prendra sur AB un point arbitraire P, d'où on mènera PQ=PN, et il ne restera plus qu’à mener par le centre O du cercle donné une droite CO parallèle à PQ, pour déterminer le centre C du cercle cherché DR. En effet, les triangles semblables ACO, APQ donnent AC : AP :: CO : PQ et les triangles semblables ALC, ANFP donnent AC:AP ::CL :PN ; d'où (75 Ax.) CL: PN:: C0: PQ, ou alt. CL : CO:: PN:PQ. Mais PQ=PN par constr.; donc CO=CL et par conséquent CT—CD.

(798) Sco. Si le contact des deux cercles devait être intérieur ; au lieu d'augmenter: la distance de Ja ligne auxiliaire LK, d’une quantité EK égale au rayon du cercle donné, il y aurait au contraire à la diminuer d'autant.

(800) PROB. Moener, parallèle à la base AB d’un triangle, une ligne DE (D'E") qui soit égale à la somme des segments AD, BE (AD', BE") des côtés (prolongés) compris entre la base et la parallèle,

ne

Bissecter les angles ABC, BAC (ABE’, BAD” ce qui déterminera, à l’endroit de l’intersection des bissectrices AF, BF AF', BF) le point de trajet F (EF) de la parallèle voulue. x Car, la construction rend isocèles E".

les triangles BEF, ADF (BE/F”, AD'/F"') à cause de l'angle ABF= son alt. EFB—} ABE=—EBPF, etc.

(801). PROB. Décrire un cercle, dont deux rayons CE, CD à angle droit ‘“ trisectent ”” une ligne donnée AB.

Puisqu’on doit avoir AF—FG=—GB, les triangles rectangles AKF, FCG, GHB seront isocèles et égaux et donneront BH=HG=CG= etc. ; d’où CG =V3FG = /AB? et BO=V 5067

(802) PROB. Trouver un point O tel que trois lignes AO, BO, CO menées de ce point à trois points donnés À, B, C, soient entre elles dans un rapport voulu m:n:r.

Ayant joint et divisé AC en D E. H K

dans le rapport de AO:0CO, et à 2

BC en L dans le rapport de BO:

CO, on trouvera (608) les rayons

DF, LE de deux cercles DOK,

LOH tels que l’on ait AO : CO ::

AD:CD et B0O:CO::BL:CL. Ces deux cercles détermineront, à l’endroit © de leur intersection, le point demandé.

(803) PROB. Pour trouver le côté d’un carré, on a les distances AO, BO, CO d’un point donné O à trois des

angles de la figure.

+ bed be D ©, nm ©,

se de l'angle

«rayons CE, née AB.

trois lignes oints donnés oulu m:n:7r.

cles détermiint demandé.

rré, on a les à trois des

Il est clair que ce prob. est analogue au dernier et à celui du par. (728). On donnera donc à AB une valeur arbitraire qu’on divisera en F pouravoir AF : BF :: AO : BO et à BC une longueur arbitraire égale à la première, qu’on divisera en E dans le rap- |

port de BO:CO et après avoir trouvé la valeur hypothétique de AO, BO proportionnelle à celle de AB, on fera, longueur supposée de AO:AC:: longueur supposée de AB : AB.

(804) PROB. Décrire un cercle B qui soit tangent à un cercle À et à deux lignes CD, EF.

Soit OP=RN=AQ, le cercle voulu sera concentrique au cercle APN ; ce qui réduit le prob. à celui de décrire un cercle passant par un point donné A et tangent à deux lignes ; et puisque (494) le cercle voulu aura son centre sur la bissectrice 8T de l'angle LTH=FSD, le prob. devient celui du par. (798).

(805) PROB. Mener par un point donné O une ligne DE telle que la somme de ses distances A7), BE, de deux points donnés A, B, soit égale à sa distance HC d’un troisième point C.

Ayant joint et bissecté AB en F, on divisera CF en K de ‘manière à avoir CK:KF :: CH AD+BE :: CH:

FG; c-à-d., on fera CK:CF::2:8. Les points K et O détermineront la direction DE de la ligne demandée.

Si CH devait avoir à AD+BE ur rapport autre que celui de l'égalité, soit m:n, il est clair qu’on ferait encore CF : CK

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