PROBLÈME XXXV

Déterminer la solidité ou le volume d'une calotte sphérique ou d'un segment sphérique quelconque.

(1546) REGLSC I. Multipliez (lOHH) la demi-somme des surfaces des bases parallèles par la hauteur du segment ; ajoutez à ce produit le volume d'une sphère dont le diam. soit égal à la hauteur du segment ; la somme de ces deux volumes sera la solidité voulue.

RE3I. Quand le segment n'a qu'une seule base, on considère l'autre = 0.

REGLE II. A la somme des surfaces des bases inf. et sup. du segment, ajoutez 4 fois la surface d'une section à distances égales de ces bases, et multipliezletout par la sixième partie delahauteur ; le résultat sera le volume demandé (1529).

Ex. 1. Quel est le volume d'un segment formant partie d'une sphère dont le diam. est 40, les distances respectives du centre à chacun des plans de section étant 16 et 10 ?

Rep. Il nous faut déterminer tout d'abord les surfaces des bases parallèles du segment donné ; or, les diamètres de ces bases sont des cordes parallèles d'un grand cercle de la sphère, éloignées du centre du cercle, l'une de 16 et l'autre de 10 unités de mesure, les segments du diamètre de grand cercle perpendiculaire à ces cordes sont respectivement, de l'une d'elles, 16 + 20 = 36 et 40 -36=4, de l'autre, 10 -f 20 = 30 et 20 - 10 = 10 j main, tenant on a (540) 36x4 = 144 = le carré de l'une des demi-cordes et 30 X 10=300=le carré de l'autre demi-corde; ces carrés multipliés chacun

par .7854 et par 4 ou de suite par 3.1416, donnent 452.3904 et 942.48 pour surfaces voulues des bases parallèles. La somme de ces surfaces — 1394.8704, cette somme X 3, la demi hauteur (16 - 10) du segment, ou la demi-somme de ces surfaces x 6 = 4184.6112=partie du volume requis; le reste du volume

requis=6 x .5236 = 113.0976 = vol. d'une sphère dont la hauteur est 6. Ces deux volumes réunis donne 4297.7088 pour la solidité du segment proposé.

2. Le même exemple par la Règle II donne pour surface à demi-distance entre les bases parallèles 33x7 = 231 = le carré du rayon de la base ou section intermédiaire, ce carré x 4 donne le carré du diamètre de cette base ou section, et ce dernier carré x .7854 en donne la surface =725.7096, 4 fois cette surface = 2902.8384 à la quelle ajoutant la somme des surfaces des bases on a 4297.7088 pour le volume requis, car \ hauteur = 1 et multiplier par 1 ne change pas la valeur du multiplicande.

3. Combien de pieds cubes de liqueur pourra contenir une chaudière hémisphérique d'un diamètre de 10 pieds ?

Rep. On a vu (152§) que dans l'hémisphère la surface de la coupe ou section intermédiaire également éloignée de la base et du sommet du solide vaut les \ de la surface de la base ou d'un grand cercle de la sphère ; or on a pour surface de la base sup. de la chaudière 10 x 10 x .7854 = 78.54 pieds carrés;, mais 4 fois 1=3 et trois fois 78.54 -f 78.54=4 fois 78.54 = 314.16, puis 314.16 x \ hauteur = 314.16 x 5-^-6 = 261.8 pieds cubes.

REM. Dans le cas de l'hémisphère, comme de la sphère entière, la règle II n'offre aucun avantage, et au contraire, elle donne plus de travail puisqu'il est plus simple pour arriver au résultat voulu de cuber de suite le diam., multiplier ce cube par .5236, et prendre la moitié du produit pour le volumevde l'hémisphère,

4. Combien de gallons d'eau pourront trouver place dans un réservoir en forme de calotte sphérique d'un diamètre de 100 pieds et de 20 pieds de profondeur, à raison de 7^ gallons au pied cube ?

Rep. Par la première règle, on a le vol. requis = surface de la base du segment (c'est-à-dire la surface sup. du réservoir) x la hauteur (profondeur verticale du réservoir)-^2, plus le vol. d'une sphère ayant pour diamètre cette hauteur ; c'est-à dire le vol. requis = (100 x 100 x .7854 x 20-^2 = 78540) + (20 x 20 X 20 X .5236 = 4188.8; = 82,728.8 pieds cubes x 7.5 = 620,466 gallons.

Rep- Par la deuxième règle, on a d'abord (540) pour reste du diam. de la sphère ou du grand cercle dont la hauteur du réservoir fait partie

(^100^ -i-20 = 125, 125 -f- 10 (demi-distance de la surface au fond) =135, 135 X 10 = 1350=rectangle des segments du diam. = carré du demi-diam. de la section intermédiaire, ce carré x 3.1416=4241.16 = surf, section iuterm.,

4 fois cette surf. + la surf, de la ba«e du segment = 21,818.64, cette somme X 20^-6 — 82,728.8 pied.* cuhos, comme auparavant.

REin. Le choix à t'uire entre les deux règles pour la solution de ce problème reposera quelquefois sur la nature des données, mais sr.rtout sur le doute qu'il pourrait y avoir quant à l'espèce particulière de la figure à estimer, et l'emploi de cette formule exemptera la nécessité de s'enquérir tout d'abord de la nature exacte du solide proposé. Ainsi, si le réservoir à mesurer était un segment de sphéroïde, un parabuluï le, ou un liyperbol>.ïJe ou tout autre figure ressemblant à peu prè-* à celle qu'on vient d'ènumérer, la règle II en donnerait dans tous les cas le volume exact, ou à très près, tandis que si l'on traitait comme partie d'une sphère proprement-dite une figure qui ne le serait pas et qu'on la calculât par la règle applicable à la sphère, on pourrait se tromper grièvement dans le résultat.

5. Un bassin dont la forme paraît être celle d'une calotte sphérique, a pour diara. sup. 15 pouces, pour diam. à demi profondeur, 12 pouces, et pour profondeur ou hauteur 7 pouces ; quelle en est la capacité en gallons de 231 pouces cubes ?

Rep- Surface sup. = 15 x 15 x .7854 = 176.715 pouces carrés, surf, intermédiaire = 12 X 12 X .7854= 113.0976, surf, base -t- 4 eurf. intermédiaire^ 62y.l054, cette somme x 7-=-6 = 734 pouces cubes près; divisant par 231on a 3.18 ou 3^ gallons près pour capacité du vaisseau proposé.

6. Le vide ou l'espace sous un dôme ou plafond cintré d'une pièce circulaire, présente l'aspect d'un segment de sphère à bases parallèles dont les diamètres mesurent respectivement 19.9 mètres et 8.718 mètres, le diamètre du dôme à distances égales de ses bases est de 17.32 mètres : on demande le nombre de mètres cubes d'air à chautfer, la hauteur étant de 8 mètres ?

R«^p, (19.9) X .7854=396 X. 7854 = 31 1.02, (8.718) =76 et 76 x .7854

= 59.69, (17.32)* = 300 et 300 x .7854x4=942.48, la somme 1313.19 de ces surfaces X 8-=-6 = 1750.92 mètres cubes, ou, ce qui est la même chose et plus simple (19.9)* + (8.718)» -)- 4 (17 32;* x .7854 x 8-^6 = vol.

T. L"n vaisseau en forme de tronc de cône est terminé par un fond qui a l'air d'être une calotte sphérique. Le diamètre iniérieur du vaisseau est de 12 pieds, le diamètre intermédiaire de la calotte est de 8.72 pieds, et sa hauteur de 3 pieds ; combien y aurat-il à ajouter au contenu du corps du vaisseau pour avoir sa capacité entière ?

Rep. (12) -+-4(8.72; x .7854 x 2-^6 = 117.3 pieds cubes, (cù on a pris

(8.72) =76) et 117.3 x 7^=880 gallons près.

PROBLÈME XXXVI

Déterminer le volume d'un onglet sphérique, et la surface de la lune qui lui sert de base.

(1547) REGLE ï. Faites d'abord (1079) la surface, puis le volume de la sphère entière dont Vongle.t fait partie. Divisez ensuite cette surface et ce volume par le rapport entre l'angle de l'onglet et 360° y le résultat sera la surface et la solidité voulues.

f'x. On demande la surface et le volume d'un onglet de sphère dont l'angle est de 60° et le diamètre 10 ?

Rep. La surface de la sphère entière=(153S) 10 x 3.1416 x 10 = 314.16 unités, le rapport de 60° à 360° = y'5, donc 314.16-^10=surface voulue= 31.416.

Le volume de la sphère entière=(1543) 10 x .5236 = 523.6, ce vol. divisé par le rapport j'jy qu'on vient d'établir, donne 52.36 pour volume de l'onglet proposé.

2. L'un des compartiments de la voûte intérieure ou de la toiture extérieure d'un dôme, présente la figure d'une demi-lune sphérique, le diamètre du dôme est de 100 pieds, et le pourtour en est divisé en 16 parties ou sections par des nervures menées du sommet à la naissance ; on demande la surface d'une des demi-lunes composantes ?

Rep. La surface entière de la sphère dont le dôme fait partie = 100 x t 3.1416x100=100 x3. 1416 = 10000 x 3.1416 = 31,416 pieds carrés, cette

surlace divi.-^ée par 32 puisqu'il y a 32 demi-lunes dans la surface entière, donna^pour surface voulue 981 1 pieds carrés.

(1548) REGLE II. Multipliez la longueur de rare qui mesure la largeur de la lune par le diamètre de la sphère dont elle fait partie ; le produit sera la surface v^mlue. La surface ainsi obtenue (ou telle qu'établie par la première règle) multipliée par le tiers du rayon donnera le volume demandé.

Ex 1- Combien y a-t-il de mètres carrés de soie dans Tune des sections composantes d"un ballon sphérique dont le diamètre est de 10 mètres, et le nombre des laizes composantes 36.

Rep* La circonférence entière du ballon étant de 10 x 3.1416 = 31.416 mètres et le nombre de compartiments 36, il suit que la largeur de la laize sera de 31.416 -f-36 = .872| d'un mètre, puis, .872| x diam. 10 = 8. 72§ mètres carrés = surface demandée.

2. Il y a à remplacer l'un des 10 onglets composants d'une boule en bois de 30 pouces de diamètre, on demande le volume et la surface convexe de l'onglet.

R.op La cire, de la boule=30 x 3.1416 = 94.248, d'où il ,«uit que la largeur de ronglet=94.248-^10 = 9.4248, cette largeur x diaiii. 30 donne pour surface de l'onglet 282| pouces carrés. Le voliinie - la surface x le tiers du rayon =282.744 X 15-=-3 =282.744 x30-=-6= 282.744 X 10^2 =2827.44 -^2=1413^ pouces cubes ou 1413.72-^1728 (nombre de pouces cubes dans un pied cube)=.82 près d'un pied cube, soit les quatre cinquièmes d'un pied cube.

3. On demande le nombre de toises (87 pieds cubes anglais à la toise) de maçonnerie dans l'un des 8 compartiments d'une vuûte hémisphérique dont le diamètre int. est de 30 pieds et l'épaisseur de la voûte 3 pieds ?

Rep, Il est clair (10S3) qu'on aura le volume demandé en faisant la diîiérence des demi-onglets composants des hémisphères intérieur et extérieur de la voûte proposée. Or, le diam. int. étant 30, le volume de la

sphère = 30 x .5236 = 14137, le vol. de la sphère ext.=36 x .5236 ^ 24429 la difierence (24429 - 14137 = 10292) de ces volumes divisée par le nombre (16) des demi-onglets composants de la sphère entière, donne pour volume du compartiment 643ç pieds cubes, divisant ce dernier nombre par 87 on a 7 toises 34^ pieds cubes.

(1549) Ou, approximativement, en multipliant la demi-somme des sursurfaces ext. et int. du compartiment par l'épaisseur de la voûte ; on a

surface de la sphère int. 30 x 30 x .7854x4 ou 30* x .3.1416=:2827.44 dont la moitié 1413.72 est la surface intérieure de la voûte entière, la surface de

la sphère ext.=36 x .3.1416 = 4071.5136 dont la moitié 2035.7568 est la surface extérieure de la voûte entière, la somme 3449.4768 de ces surfaces H-8 est la somme des surfaces e.xt. et int. de la section de vuûte à estimer, et cette dernière somme 431.1846x12 (demi-épaisseur de la voûte) ou la moitié de cette somme multipliée par l'épaisseur entière de la voûte, donne pour contenu cubique du compartiment 646| pieds cubes, ou 7 toises 37| pieds cubes.

REin. Nous disons " approximativement," et en effet, le solide à estimer n'est autre chose qu'un tronc de pyramide sphérique compris entre bases parallèles. La pyramide sphérique, comme la pyramide ordinaire, a pour volume (lOSi) le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; mais, s'il était vrai que l'on pût arriver au volume d'un tronc de pyramide en multipliant la demi-somme de ses bases parallèles par la hauteur du tronc, il arriverait aussi que l'on obtiendrait correctement le vol. de la pyramide entière égal au demi-produit de sa base par sa hauteur ; car si l'on suppose que la hauteur du tronc augmente indéfiniment, cette hauteur deviendra enfin égale à celle de la pyramide entière, et sa base supérieure cessera par là même d'exister ou deviendra égale à 0 ; dans ce cas la demi-summe des bases opposées sera la demi-base de la pyramide, et la règle donnerait alors

pour volume de la pyramide le demi-produit de sa base par sa hauteur ; mai.s le vol. de la pyramide est au contraire le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; et la dittérence entre 3 et g est ^ ; donc l'erreur de la méthode approximative pourrait aller dans un cas extrême jusqu'à 16g pour cent. Dans l'exemple ci-dessus l'erreur en plus n'est que de 3^ pieds sur 643 pieds ou de 3 pour cent à peu près, et serait encore moindre si le diamètre de la voûte était plus grand relativement à son épaisseur, ou ce qui est la même chose, si la hauteur ou épaisseur du tronc à estimer flrmait une plus petite partie de la hauteur entière de la pyramide dont le tronc fait partie.

PROBLÈME XXXVII

Trouver le volume d'un secteur sphérique.

(1550) ÊEfiLrE. Après avoir élabli par la méthode du prob. 34 la surface de la base du secteur, on multipliera (iO'î'î; cette surface par le tiers du rayon pour avoir le volume demandé.

Ex. La hauteur de la calotte ou du segment, suivant le cas, qui (975) forme la base d'un secteur sphérique, est de l^ mètres, et 'e rayon de la sphère dont le secteur fait partie est de 5 mètres ; quel est le volume du secteur ?

Rep- La surface de la base=circ. d'un grand cercle x la hauteur du segment, lacirc.= diam. 10x3.1416=31.416, 31.416x1.5=47.124 mètres carrés, cette surface x | rayon ou par 5-f-3= 78.54 mètres cubes.

2. Quel est le volume d'une bouée en forme de secteur sphérique, la longueur du côté étant de 10 pieds et le diamètre de la base 5 pieds ?

Rep. Avec ces données on obtient d'abord la hauteur de lacalotte = lO-VIO^ -2.52 =10 -9.6825= .3175 d'un pied, la cire. =diam. 20 x 3.1416 =62.832 laquelle X .3175=19.94916 pieds carrés= surface de la base convexe, cette dernière x 10-^-3=66.497 pieds cubes.

3. Une tour circulaire dont le diam. int. est de 30 pieds, a pour voûte en pierre de taille un tronc de secteur à bases parallèles dont l'épaisseur est de 5 pieds, la hauteur de la calotte de la voûte est de 10 pieds; quelle est la surface concave et le contenu solide de la voûte ?

Rep. Le vol. du tronc est (10§3) égal à la difiérence des secteurs entier et partiel composants =surf ext. ou de l'extrados x ^ R, moine surf. int. ou de l'intrados x ^ r, où R et r sont les rayons respectifs des sphères ext. et int. dont les secteurs de même nom funt partie ; or, on obtient d'abord (540) pour reste du diamètre du grand cercle dont la hauteur de la voûte

fait partie et dont le diamètre de la voûte est une corde, 15 -^-10 (le carré de la demi-corde-i-le sinus verse, o'est-à-dire le diam. de la voûte-i-sa

liantenr)=225-^I 0=22.5 ; alors on a le diani.= 22.5 + 10=32.5 et le rayon =10.25, et l'épaisseur de la voûte étant de 5 pieds, on a pour rayon de l'extrados 16.25 + 5=21.25 ; maintenant, on aura la surface intérieure de la voûte en faisant la circonférence 102.102 (=3.1416 x .32.5) et en la multipliant par la hauteur 10, ce qui donnera 1021 pieds carrés pour la surface voulue.

On aura (107-4.2^; la surface de l'extrados en faisant r :R :: surf. int. :

surf. ext. ou 16.2.5" :21.25'' :: 1021 ::r, soit 264:452 ;: 1021 :a:=1748; enfin le volume deniandé= surf ext. x ^ R — surf. int. x ^ r= ( 1748 x 21.25-^3) - (1021 X 16. 25-:-3) =12382 - 5530=6852 pieds cubes de pierre taillée.

REM. ï. La règle approximative dont il a été question dans la rem. du dernier problème, donnerait dans le cas actuel ^ (1748 + 1021) x 5=6922 c'est-à-dire un excédant de 70 pieds cubes, l'erreur étant par conséquent de 1 j'q- pour cent.

4. Un réservoir dont la paroi latérale est une zone de -sphère et le fond une surface plane, est revêtu dans toute sa surface concave d'une épaisseur de huit pouces de maçonnerie en briques qui rayonnent vers le centre de la sphère dont le réservoir est un segment. Le diamètre supérieur du réservoir, qui est en même temps celui de la sphère, est de 100 pieds et la profondeur du réservoir ou hauteur de la zone est de 20 pieds. On demande le nombre de briques dans le tronc de secteur spliérique que furme le revêtement latéral du bassin ?

Rep. La cire, de la sphère int. ou d'un grand cercle est 100x3.1416= 314.16, cette cire, x la hauteur 20 de la zone intérieure, donne pour surface de cette zone 6283.2 pieds carrés, et le secteur solide dont cette zone est la base ou surface convexe est de 6283.2 x | r =6283.2 x 50-^3=104,720 pieds cubes : la surface de la zone ext. du revêtement en brique s'obtient (10'74.2'')

eu faisant 100*: 101^* :: 628.3.2:6451.8687, cette dernière x | R ou par ^ (1015)= 108,964.894 pieds cubes= vol. du secteur solide ext., la diflérence 4244.894 des secteurs int. et ext. est le volume du revêtement en pieds cubes, multipliant par 20 on a 84,898 pour le nombre de briques employées dans l'ouvrage.

REM. It. Dans ce dernier exemple, la somme des surfaces parallèles ext. et int. du revêtement est 12735.0687, cette somme x la demi-épaisseur, 4 pouces, ou par g d'un pied, donne 4245.0229 pieds cubes, x 20=84900^ briques, ou une difl'érence de 2 2 briques seulement dans le résultat ; prouvant par là, comme on l'a déjà dit ( 1549) qu'avec une épaisseur très petite relativement au rayon, on obtient à très près le volume d'un tronc de secteur spliérique, en nmltipliant sa hauteur par la demi-somme de ses bases parallèles. Cependant, pour ce qui est de la somme de travail à dévouer aux

deux modes de calcul, la seconde méthode n'oftre aucun avantage sur la première qu'il vaut mieux alors employer dans tous les cas.

KEITI. III. On peut aussi dans la pratique (et c'est ce qui se fait quelquefois) lorsque l'épaisseur d'une voûte est uniforme et que le rayon de courbure en est relativement grand, simplifier l'opération et arriver à un résultat assez approximatif en multipliant de suite la surface int. ou ext. de la voûte par son épaisseur. Dans le dernier exemple cette manière de procéder donne, en se servant de la surf, de l'intrados du revêtement en brique, 6283.2 X 8 pouces ou par les i d'un pied= 4188.8 pieds cubes x 20=83776, ce résultat est en moins de 1122 briques ou de 1^ pour cent. Si l'on prend au contraire la surface ext. 6452 x 1 on a 4301 pieds cubes, ou 86,020 briques, résultat qui est en excès de la vérité de 1122 briques ou de 1^ pour cent comme auparavant.

PROBLÈME XXXVIII

Trouver la surface d'un triangle sphérique.

(1551) REOI..E. Faites d'abord la surface de la sphère dont le triangle fait partie, et divisez cette surface par 8 pour avoir (1193) celle du triangle tri-rectangle.

Faites ensuite (120©) la somme des trois angles, retranchez en 180° et divisez le reste par OO'' ; r)iultipliez alors par ce quotient le triangle tri-rectangle et le résultat sera la surface voulue.

Ex. 1. On demande la surface d'un triangle décrit sur une sphère dont le diamètre est 30 pieds, les angles étant 140^', 92° et 68° ?

Rcp. La surface de la sphère entière =diam. 30 X 30 x .7854 x 4=30 x .3.1416=2827.44 pieds carrés dont g= 353.43= surf, du triangle tri-rectangle qui doit entrer comme élément dans le calcul à faire. La somme des trois angles est 300° 300° - l^^"" =120°, 120°--90°= H et U f^is la surf. 353.43 du triangle tri-rect. donne 471.24 la surface voulue.

2. Les angles d'un triangle sphérique équilatéral sont chacun de 120°, et le diam. de la sphère dont le triangle fait partie est de 20 mètres ; quelle est la surface du triangle ?

Rep. 20 X 3. 1416-f-8= 157.08= surf, triangle tri-rect., la somme des angles=360o, 360»- 180°= 180°, 180^90» = 2 et 157.08 x 2 =314.16 mètres carrés.

3. L'un des 8 compartiments de la surface d'un dôme ou d'une voûte en forme d'hémisphère est un triangle sphérique isocèle dont chacun des angles à la base est un angle droit et dont l'angle au sommet =360° -f 8=45°, la Inn^i-niMir (\^ V^rr n"i mopnrp la lfir'?""ir du compnrtitnpnt à la nnissanoe du

dôme est de 39.27 et la circonierence entière est en conséquence "=39.27 x8 =314. IG, d'où le diani. est 100 ; quelle est la surface du compartiment ? Rep. La surf, entière de la sphère dont la demi-lune à estimer fait

partie=100 x 3.1416=31416 unités carrées, le triangle tri-rect.= 31416-=-8 =3927, la somme des angles excède de 45° deux angles droits, 45'*-^-90= 5, donc la surface voulue^ 3927-^2= 1963^ =surface demandée.

O'ailleurs, dans cet exemple où le triangle à estimer forme une partie aliquote connue de la sphère entière, le calcul se simplifie et se réduit à faire la surface de la sphère pour en prendre ensuite la 16ème partie. L'exemple a néanmoins l'avantage de faire voir l'exactitude de la règle (la surf, de la sphère entière 31416 divisée par 16 donnant comme auparavant 1963^ pour surf, convexe de l'onglet proposé) et indique la iiianière de procéder dans tout autre cas analogue.

4. La somme des trois angles d'un triangle tracé sur la surface de la sphère terrestre, excède (1416) d'une seconde (1") 180", quelle en est la superficie en supposant que la terre soit une sphère parfaite d'un diamètre de 7912 milles anglais ?

Rep. La surface de la terre=(7912)* x 3.1416=196,663,355.75, divisant par 8, on a pour surface du triangle tri.-rect. 24.582,919.47 milles carrés; maintenant r'-^90=. 324000 et la 324000ème partie du triangle tri. rect. est 75.87321 la surtace du triangle proposé en milles carrés.

RE])H. Il est clair d'après la règle que la surface de tout triangle sphérique de même rayon, c'est-à-dire de tout triangle tracé sur une même sphère a un rapport direct à l'excédant de la somme de ses trois angles sur 180°. Par exemple, si l'excédant sphérique était de 10 secondes au lieu d'une, la surface du triangle serait de 758.7321 milles carrés au lieu de 75.87321 ; de même éi l'excès des 3 angles sur 180° n'était que d'un dixième de seconde, la surface du triangle ne serait qu'un dixième de ce qu'elle est pour 1 seconde, savoir: 7.587321. Un excédant d'une minute donnerait pour surface du triangle à estimer un nombre de milles 60 fois plus grand que celui que donne une seconde, c'est-à-dire la 5400ème partie du triangle tri-rect., puisque 324000-=-60= 5400 ou que 90° x 60 =5400 ; de même l'^ donnerait la 90ème partie du triangle tri-rect. et ainsi de suite : d'où il suit évidemment que dans tout relevé géodésique d'une partie de la sphère terrestre, il suffira, après avoir établi la surface qui correspond par exemple à une seconde ou à un lOème, lOOème, lOOOème, etc. de seconde, de multiplier cette surface par le nombre de secondes ou de dixièmes de seconde, etc. dans l'excédant de la somme des trois angles d'un triangle quelconque sur 180°, pour avoir de suite la surface de ce triangle, et l'on a vu (1416, 3°) la nianière d'établir au besoin cet excédant sphérique.

PROBLÈME XXXIX

Déterminer la surface d'un polygone sphérque.

(1552) REIGIiE. Trouvez comme dans le dernier problème, le tria Jtgle tri-rectangle (1201). De la somme de tous les angles du polygone soustrayez autant de fois 2 angles droits qu'il y a de cotés moins deux. Divisez le reste par 90° et multipliez le triangle tri-rect. par le quotient ainsi obtenu : le produit sera la surface voulue.

Ex. 1. Quelle est la surface d'un polygone régulier de huit côtés décrit sixr la surface d'une sphère dont le diamètre est HO, chaque angle du polygone étant de 140" ?

Rep- 140° X 8 =11 20°= somme des angles du polygone,. 180° x 6= 1080° = autant de fois 2 angles droits que de côtés moins deux, 1120 — 1080=40, 40-^90= I ; la surface du polygone ijroposé sera donc les | de celle du triangle tri-rect., la surface de la splière=30 x 30 x 3.1410=3.1410 x 900 = 2827.44 laquelle^-8= 353.43= surf, du triangle tri-rect., cette dernière x 4 -^9=157.08 la surface voulue du ijolygone.

2. On demande la superficie d'un polygone irrégulier de 7 côtés décrit sur une sphère de 8^ mètres de rayon, la somme des angles étant de 1080° ?

Rep. Surface de la sphère=17 x 3.1416 =907.9224 dont la huitième partie 113.4903 est la surface du triangle tri-rect., 1080° — 5 fois 1800=180", 180°H-90"=2 et 113.4903 x 2=226.9806 surface du polygone proposé.

3. La somme des 15 angles d'un polygone de triangulation géodésique est 2340° 1' 50", quelle est la surface du polygone en milles carrés, en supposant que le diamètre de la terre à l'endroit du relevé soit de 7912 milles anglais, c'est-à-dire en supposant que l'opération trigonométrique ait eu lieu sur une sphère de ce diamètre ?

Rep. On a, comme dans le dernier problème, pour surface correspondant à un excédant de 1", 75.87321 milles carrés, et on a vu que la surface à estimer est en rapport direct avec le nombre d'unités dans l'excédant donné ; or, la somme des angles est dans cet exemple 2340"^ 1' 50" laquelle diminuée de 13 fois 180° ou de 2340° laisse pour excédant 1' 50 ' ou 110" ; la surface voulue sera donc de 110 fois 75.87321 c'est-à-dire 8346.0531 milles carrés.

(1553) REin. La supposition qu'on vient de faire semble indiquer que la terre n'est pas dans toute son étendue de même courbure, c'est-à-dire de même rayon ou diamètre, ou qu'elle n'est pas une sphère parfaite, et en effet le "lobe terrestre est un sphéroïde dont l'aplatissement vers les pôles est d'à peu près g^j du diam. à l'équateur ou d'environ 26 milles; or les surfaces de deux sphères de rayons différents ou de deux parties homologues quelconques de ces sphères sont entre elles (10Î4, 2°) comme les carrés des rayons de ces sphères.

Soit donc à trouver le rapport des surfaces de deux figures semblables tracées sur la sphère terrestre, l'une en un endroit ou le diamètre est de 7912, l'autre dans une latitude ou ce diamètre est de 7930 milles, on fera

7912 :7930~ :: 1:1.0045552, multipliantpar ce dernier nombre les 8346.0531 milles carrés du dernier exemple, on obtient 8384.071 milles carrés pour surface du même polygone en un endroit ou le diamètre de la terre serait de 7930 au lieu de 7912, c'est-àdire une différence de 38 milles carrés, quantité qui quoique relativement petite, eu égard à la surface totale de l'étendue de territoire embrassé dans le relevé, n'en est pas moins très grande en elle même, équivalente qu'elle est à celle d'une ville ou d'un canton de plus de 6 milles de diamètre ; ce qui fait voir l'importance d'avoir égard aux dimensions relatives de chaque partie de la sphère terrestre dans les opérations àfaire pour en déterminer la surface.

PROBLÈME XL

Déterminer le volume d'une pyramide sphérique quelconque.

(1554) KECJtiE. Trouvez d'abord par les règles précédentes la surface de la base de la pyramide donnée ; multipliez ensuite (îî>S2) cette surface par le tiers de la hauteur de la pyramide^ dest à dire par le tiers du rayon de la sphère dont la pyramide fait partie et le résultat sera le volume demandé.

Ex. 1. Quel est le volume d'une pyramide sphérique dont la base est de 10 mètres carrés et la hauteur 30 mètres? Rep. 100 mètres cubes.

2. Parmi les parties composantes d'un polyèdre à cuber, se trouve une pyramide sphérique ou une partie de sphère bornée par des plans se rencontrant au centre de la sphère dont la pyramide fait partie ; quel en est le volume, le rayon étant de 15 pouces et la surface du triangle ou polygone qui en constitue la base de 100 pouces? Rej?. 500 pouces cubes.

3. On a à feire une voûte ou partie de voûte dont le rayon int. ou de l'intrados soit de 30 pieds, l'épaisseur de la voûte 3 pieds et la forme celle d'un polygone irrégulier dont l'aire ou superficie int. est de 100 pieds carrés ; quel en est le volume ?

Rep. Le vol. à estimer est un tronc de pyramide sphérique à bases parallèles ; ce volume est égal (10S3) à la différence des volumes des pyramides entière et partielle ou ext. et int. composantes. On aura donc pour le vol. voulu, l'expression (surf. ext. x | K ) — (surf int. x\ r) ; il y a donc a trouver la surf. ext. qui doit concourir au calcul à faire ; à cet effet on a

(1074, 2=') 30* :33 :: 100: 121= surf, de l'extrados; maintenant, (121 x 11) — (100 X 10) = 1331 — 1000=331 pieds cubes de maçonnerie.

4. Quel est le poids d'un fragment d'obus ou de bombe dont le diam. iot. est 10 pouces, Tépaisteur 5 pouces, et les surfaces int. et ext. ou concave et convexe 60 et 240 pouces carrés, les plans de section du fragment étant dirigés vers le centre de la sphère dont le solide à estimer fait partie, et le poids de la fonte étant à raison de 480 livres au pied cube ?

Rep. (240 X 10-=-3) — (60 x 5-^3) = 800 — 100 = 700 pouces cubes, le pied cube:=12xl2 x 12 = 1728 pouces cubes, d'où on obtient le poids demandé en faisant 1726:480 :: 700:1942 livres.

PROBLÈME XLI

Trouver la surface ou le volume d'un polyèdre régulier quelconque.

(1555) KEtwS-E S. Pour la surface, calculez la surf ace de V une de ses faces composantes, et multipliez (ÎIIS) cette surface par le nombre de faces dans le polyèdre proposé.

Pour le voSusiie : Multipliez {W'^'t) la surface du polyèdre par le tiers du rayon de la sphère inscrite, c est-à-dire par le tiers de la perpendiculaire abaissée du centre sur l' une des faces du solide; le produit sera le volume demandé.

REM. On a vu (1132 et 1134) que pour déterminer dans le cas du dodécaèdre et de Tlcosaèdre, le rayon de la sphère inscrite, il laut premièrement trouver l'angle formé par deux des faces adjacentes de ces solides, et on a indiqué la manière d'établir cet angle. On peut aussi, au moyen du même angle, calculer la perpendiculaire dans chacun des trois autres polyèdres (dont celle de l'exaèdre est d'ailleurs égale au demi-côté de ce corps) ou obtenir cette perpendiculaire par la méthode du par. (112§) ou (1131) suivant le cas.

(1556) Il est bon de calculer et de disposer sous forme de tableau, comme on l'a fait (1440) pour lès polygones réguliers, les surfaces et volumes des cinq polyèdres ayant pour côté l'unité, afin de se servir ensuite au besoin de ces surfaces et volumes, pour déterminer la surface ou le volume de tout autre polyèdre régulier quelconque de même nom.

Tableau des polyèdres réguliers dont le côté est 1.