AB
(814) PROB. Trouver la bissectrice FC de l'angle droit d'un triangle rectangle ABC inscrit dans un cercle.
Soit FD perpendiculaire à AC, FEC sera un triangle isocèle, à cause de l'angle F=ECF=iACB, et on aura EC= EF et ED=EA ; or ED ou EA est la demi-différence entre BC et AC, et EC ou EF est par conséquent la demi-somme de AC et BC ; maintenant le triangle rectangle FEC donne FC2=EC^-fEF^ ou FC^=2EC'^ et par conséquent 2FC^= 4EC^=(AC+BC)^ d'où FC=v |(AC+BC)'l
(815) PROB. Inscrire dans un cercle une ligne AB qui soit parallèle et égale à une ligne donnée a h.
PROBLÈMES
Far le centre F du cercle menez le diamètre CD perpendiculaire à la ligne donnée, divisez (373) ce diamètre en E de manière à avoir CE.ED = {^ a b) par le point E menez AB parallèle k ab et par conséquent perpendiculaire à CD.
Prenons occasion d'observer ici que de toutes les cordes qu'on puisse mener par un point donné E dans un cercle, la plus grande est celle CD qui passe par le centre, et la moindre, la perpendiculaire AD au diamètre passant par ce point ; ce qui est évident, (461) à cause de FQ moindre que FE quand la corde IIK n'est pas perpendiculaire au diamètre passant par le point donné.
(816) PROB. De trois centres donnés A, B, C, décrire des cercles qui se touchent mutuellement.
Un cercle CDE décrit concentrique au cercle demandé A donnera AD= AC et BD=AB— AC ; mais CF=DG =IIK: ; d'où il est clair que BII— CH =AB— AC. On n'a donc qu'à joindre les points donnés par des droites et et à diviser (367) l'une d'elles BC en Il de manière à avoir la diflérence BK entre ses segments CH, BH, égale à la diflérence BD entre les deux autres lignes AC, AB.
(817) PROB. Deux cercles A, B se touchent extérieurement ; il est à décrire un troisième cercle C qui touche aiix deux autres, et à l'un d'eux en un point donné D.
On a dans le triangle ABC, un côté AB, un angle A et BC— AC =(816) EB— AE, pour trouver BC comme suit.
(818) PROB. On a dans un triangle AEC un côté BC l'angle ACB compris par ce côté et le plus petit des deux autres, et la différence BG ou AB — AC entre ces deux autres côtés, pour compléter la figure.
Soit CF=BG ; on a dans le triangle BCF les côtés BC, CF et l'angle inclus C= sup. ACB, pour trouver BF base et F angle à la base du triangle isocèle BAF et de là AB, etc.
(819) PROB. On a les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle, pour trouver les angles.
Les triangles semblables ADO, BCO donnent AD : BC :: OD : OC et les triangles semblables AOB, DOC donnent A-^ — à ^C
AB:DC:OA:OD::OB:OC, d'où on obtient en nombre proportionnels les longueurs relatives de OA, OB, OC, OD. jy
Maintenant ces longueurs relatives prises deux à deux donneront le rapport de AC à BD, et comme on connaît (604) AC.BD=AB.CD+AD.BC, on fera (561) (appelant ac, hd, les valeurs hypothétiques des diagonales) ac.bd: AG.V>D::ac : AC^, pour trouver AC= 1 AC^ et par suite les angles requis.
(820) PROB. Si on avait dans un triangle ABD inscrit dans un cercle, la base AB, la somme AD+DB des côtés et la bissectrice DC de l'angle vertical, prolongée jusqu'à la circonférence, pour construire la figure ; ou obtiendrait le côté AC ou BC du triangle isocèle ACB en fesant (605) AD + DB : CD : : AB : AC ou BC ; d'où on tirerait angle ADB = sup. ACB, pour terminer ensuite la solution par la méthode du par. (729).
PROBLÈMES
(821) PROB. Déterminer sur une ligne AB un point E tel que ses distances de deux autres points donnés C, J) sur cette ligne, soient proportionnelles à ses distances des extrémités A, B.
Puisqu'on doit avoir EC;ED:: , . . l .
EA : EB et que (94 et 96) EA- -^ ^ ^ » B
EC:EC::EB-ED:EI>ou AC;EC::BD:ED; il est clair qu'il n'y a qu'à diviser (514) CD en E de manière à avoir EC:ED::AC:BD.
(822) PROB. Dans un triangle rectangle ABC, on a la diâérence CD, BE entre l'hypoténuse et chacun des côtés, pour trouver le reste.
On a vu (745) que DE^=2CD.BE ; d'où on obtient CB=CD+T/2CD.BE +BE, AC=-CD+DE et AB=BE+
(823) PROB. Dans un triangle rectangle (Fig. du dernier par.) on a un côté AC et la diâérence DE entre l'hypoténuse et la somme AC-|- AB des côtés, pour compléter la construction.
Puisque (745) DE'^=2CD.BE, on trouvera BE=DE^.
