PLANS ET ANGLES SOLIDES

DEFINITIONS et CONSEQUENCES.

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(874) Cor. On a déjà défini (115) ce qu'est un plan ou une surface plane MN, et il est clair d'après cette définition qu'ime ligne droite ABC ne peut être, en même temps, en partie, AB, dans un plan et en partie, BC, hors de ce plan, puisqu'une droite qui a deux points en commun avec un plan est entièrement dans ce plan.

(875) Seo. Pour découvrir si une surface est plane, il est néccesaire de lui appliquer en divers sens une ligne droite et de s'assurer que la ligne touche la Burface sur toute son étendue.

(876) Déf. On nomme commune intersection de deux plans MN", AB ou M¥, CB, la ligne CD d'intersection on de rencontre de ces plans.

(877) Cor. La commune intersection -Mde deux plans est une ligne droite ; car, par la déf. d'un plan, la droite CD qui joint deux points quelconques C, D dans l'intersection de ces plans est toute entière dans chacun des deux plans, et par conséquent dans leur commune intersection. ' N

(878) Déf. L'angle DEF ou DEG, ou l'inclinaison mutuelle de deux plans MN, AB, (AB) qui se coupent ou se rencontrent en BC, est l'écarté ment plus ou moins grand de ces deux plans, et est égal à l'angle formé par les lignes EF, ED ou EG, ED menées d'un même point E, l'une dans chacun des deux plans, et toutes deux perpendiculaires à la commune intersection BC de ces plans.

Cet angle peut être aigu comme DEF ou obtus comme DEG, et s'il est droit, les deux plans sont perpendiculaires l'un à l'autre.

(879) Cor. 1. La valeur ou grandeur de l'inclinaison de deux plans l'un à l'autre, dépend (122) du plus ou moins d'écartement des deux côtés EF, ED de l'angle rectiligne DEF qui mesure cette inclinaison ; et réciproquement (67).

(880) Cor. 2. L'inclinaison de deux plans l'un à l'autre est égale ou inégale à celle de deux autre plans, l'un à l'autre, suivant que les angles rectilignes qu'on vient de

définir sont mutuellement égaux ou inégaux ; et réciproquement, ces derniers seront égaux ou inégaux, suivant que l'inclinaison des plans sera égale ou inégale.

(881) Déf. Une ligne droite AB est perpendiculaire à un plan MN lorsquelie rencontre ce plan sans pencher d'aucun côté; et réciproquement le plan est perpendiculaire à ligne.

(882) Cor. Une ligne droite AB perpendiculaire à un plan M]Sr, est perpendiculaire à toutes les droites BC, BD, B etc. qu'elle rencontre dans ce plan ; et réciproquement.

(883) Déf. L'inclinaison d'une droite AB sur un plan M'xS, est l'angle aigu BAC contenu par cette droite et une autre ligne AC metiée du point A où la première rencontre le plan, au point C où une perpendiculaire BC menée d'un point quelconque B de la première ligne au plan, rencontre ce même plan.

(884) Déf. Une ligne AB est parallèle à un plaji MN, lorsqu'elle est partout à la même distance de ce plan.

Réciproquement le plan est parallèle à la lifrne.

(885) La distance d'une ligne parallèle à un plan est (313j la perpendiculaire AC ou BD menée de cette ligne à ce plan.

(886) Cor. 1. Si une ligne est parallèle à un plan, les deux étant prolongés à l'infini, en se rencontreraient jamais.

(887) Cor. 2. Si une droite AB est parallèle à une droite CD menée dans un plan, elle sera parallèle à ce

plan ; car si la ligne AB, dans le plan BD, pouvait rencontrer le plan MN, cela ne serait qu'en un point de la ligne CD, commune intersection (876) des deux plans ; mais AB ne peut rencontrer CD, puisqu'elles sont parallèles; donc elle ne rencontrera pas le plan- MN ; donc AB est partout à la même distance du plan MN et par conséquent (884) parallèle à ce plan.

(888) Déf. Deux plans AB, MÎT sont parallèles l'un à l'autre lorsqu'il sont partout à la même distance l'un de l'autre,

(889) La distance qui sépare deux plans parallèles est la perpendiculaire CD, EF menée d'un de ces plans à l'autre.

(890) Cor. deux plans parallèles prolongés à l'infini, ne se rencontreraient jamais.

(891) Déf. Un angle solide S est l'espace angulaire compris entre plusieurs plans ASB, BSC, CSD, etc. se rencontrant en un même point S qui en est le sommet.

Il faut au moins trois plans pour former un angle solide.

PROPOSITION I. THÉORÈME

(892) Trois points A, B, C, situés non en ligne droite, sont dans un même plan, et en déterminent la position.

Car, si l'on conçoit un plan qui contienne deux, quelconques. A, B, de ces points, et que ce plan tourne autour de la droite AB qui les relie, iusqu'à ce qu'il rencontre le troisième point C, les trois points seront alors dans le plan et en détermineront la position.

(893) Cor. 1. Un triangle ABC ou deux Ugnes AB, AC qui s'intersectent, déterminent la position d'un plan.

(894) Cor. 2. De là, aussi, deux parallèles AB, CD déterminent la position d'un plan ; car, menant la sécante EF, le plan des deux droites AB, EF, /p est en même temps celui des droites CD, EF, et par suite, celui des parallèles AB, CD.

PROP. II. THÉOR.

(895) Si une ligne droite AP est perpendiculaire à deux droites BB, CC, au point P de leur intersection ; elle sera perpendiculaire au plan MN de ces lignes ; c'està-dire, elle sera perpendiculaire à toutes les droites qu'elle rencontrera dans ce plan et par conséquent (882) au plan lui même.

Ayant mené par le point P, dans le plan MN, une droite quelconque PQ, et par un point quelconque Q de cette ligne, une droite BQC telle (788) que BQ soit égale à CQ ; joignez AB, AQ, AC. La base BC étant divisée en deux parties égales au point Q, le triangle BPC donnera (393) PC^+PB2=2PQ2+2QC2. Le triangle BAC donnera de même, AC^-4-AB^=2AQ^-f 2QC''. Retranchant la première équation de la seconde, et observant que les triangles APC, APB qui sont tous deux rectangles en P, donnent AC^— PC"^=AP^ et AB^— PB''= AP^ ; on aura AP"'-f AP"^=2AQ^+2PQ"^. Prenant donc les moitiés des deux, on a AP^=AQ"^— PQ"^, ou AQ^=AP^-f-PQ^ ; d où, le triangle APQ est rectangle en P et par suite, AP perpendiculaire à PQ.

(896) Sco. Il est donc évident, non seulement qu'une ligne droite peut être perpendiculaire à toutes les lignes qu'elle rencontre dans un plan, mais qu'il en . est toujours nécessairement ainsi, lorsqu'elle est perpendiculaire à deux droites menées dans le plan ; ce qui prouve l'exactitude du Cor. (882)

(897) Cor. 1. La perdendiculaire AP est (313) plus courte qu'une ligue oblique quelconque AQ; donc, elle mesure la vraie distance du point A au plan MN ; ce qui prouve l'exactitude des défs. (885) et (889).

- (898) Cor. 2. En un point donné P sur un plan, il ne peut y avoir plus d'une perpendiculaire à ce plan; car, s'il pouvait y en avoir deux, ayant mené par ces deux perpendiculaires un plan dont l'intersection avec le plan MN soit PQ, ces deux perpendiculaires seraient perpendiculaires à la ligne PQ en un même point de cette ligne et dans un même plan, ce qui (128) est impossible.

(899) Cor. 3. Il est de même impossible de mener d'un point A hors d'un plan, deux perpendiculaires à ce plan ; car, soient AP, AQ ces deux perpendiculaires, alors le triangle APQ aurait deux angles droits APQ, AQP, ce qui est impossible.

(900) Cor. 4. Si trois lignes droites BC, BD, BE se rencontrent en un même point B, et qu'une droite AB soit perpendiculaire à chacune d'elles en ce même point ; ces trois lignes sont dans un même plan ; car, par la prop., AB est per- E pendiculaire au plan de chacune des deux ligues BC, BD BC, BE et BD, BE, ce qui serait évidemment impossible si les plans CBD, CBE, DBE étaient inclinés l'un à l'autre ; les plans CBD, DBE font donc partie d'un seul et même plan CBE et les trois lignes BC, BD, BE sont dans ce plan.

PROP. III. THÉOR.

(901) Si d'un point donné A hors d'un plan MN, l'on mène une perpendiculaire AP à ce plan et des lignes obliques AD, AC, A etc., à divers points du plan ; toutes lignes obliques également distantes de la perpendiculaire, seront égales ; et de celles qui seraient inégalement éloignées de la perpendiculaire, la plus éloignée sera la plus longue.

Car, les angles APB, APC, APDétantdroits; si Tou suppose que les distances PB, PC, PD soient égales entre elles, les triangles APB, APC, APD auront chacun un angle égal contenu par des côtés égaux, ce qui (237) les rendra égaux en toutes choses ; de là, les hypoténuses ou lignes obliques AB, AC, AD seront égales entre elles. De même, si PE excède PD ou son égale PB, la ligne oblique AE sera évidemment plus grande que AB ou son égale AD.

(902) Sco. 1. PROB. Toutes les droites obliques égales AB, AC, AD, etc., terminent dans le cercle BCD décrit du centre P où la perpendiculaire AP rencontre le plan MN"; d'où il suit que pour mener à un plan une perpendiculaire AP, d'un point A hors de ce plan, il suffit de marquer sur ce plan, au moyen d'un même rayon AD plus grand que la perpendiculaire AP, trois points B, C, D, et de trouver ensuite (417) le centre du cercle passant par ces points; ce centre sera le point P où devra tomber la perpendiculaire demandée.

(903) Sco. 2. L'angle d'inclinaison (883) ABP de la droite AB au plan MN, est évidemment égal à celui de toute antre

ligne AC, AD, etc., également éloignée de la perpendiculaire; ce qui est clair, à cause des triangles égaux ABP, ACP, ADP, etc.

PROP. IV. THÉOR.

(904) Si d'un point A hors d'un plan MN, l'on mène à ce plan une perpendiculaire AP, et que du pied de la perpendiculaire on mène une perpendiculaire TD, à une ligne quelconque BC du plan, puis du point d'intersection D, une droite DA au premier point ; cette dernière sera perpendiculaire à la ligne du plan.

Prenez DB=DC et menez PB, PC, AB, AC. Puisque BD=DC, on a l'hypoténuse PB=PC et puisque PB=PC, on a (901) à cause de la perpendiculaire AP, l'hypoténuse ou ligne oblique AB=AC; la ligne AD a donc deux de ses points, A et D, également éloignés des extrémités B et C ; d'où, AD est perpendiculaire à BC au point milieu D de cette ligne (316).

(905) Cor. Il est évident aussi que BC est perpendiculaire au plan APD, puisqu'elle est en même temps perpendiculaire à chacune des droites AD, PD.

(906) Sco. 1. Les deux lignes AE, BC offrent un exemple de deux lignes qui ne se rencontrent pas, parce qu'elles ne sont pas situées dans un même plan. La plus petite distance entre ces lignes est la droite PD, qui est en même temps perpendiculaire à chacune d'elles. La distance PD entre ces lignes est la plus courte, parce que si l'on joint d'eux autres points quelconques A, B, on aura AB>AD, AD>PD ; d'où AB>PD.

(907) Sco. 2. Quoique les deux lignes AE, CB ne soient pas situées dans un même plan, rien n'empêche de les concevoir comme formant l'une avec l'autre un angle droit, puisque si l'on menait par un des points de AE une parallèle à BC, ces deux lignes seraient perpendiculaires l'une à l'autre. De même la ligne AB et la ligne PB qui représentent deux lignes quelconques non dans un même plan, sont supposées former l'une avec l'autre le même angle que formeraient AB et une droite parallèle à PD menée par un des TDoints de AB.

PROP. V. THÉOR.

(908) Si l'une AP de deiix lignes parallèles AP, ED, est perpendiculaire à un plan MN, l'autre sera aussi perpendiculaire au même plan.

Soit EP le plan (894) des parallèles AP, ED et PD son intersection avec le plan MX; ayant mené dans le plan MX la droite BC perpendiculaire à PD et joint AD, on aura (905) BC perpendiculaire au plan EP ; d'où, l'angle BDE est droit; mais (149) l'angle EDP est aussi droit, puisque (882; AP est perpendiculaire à PD et DE parallèle à AP; la ligne DE est donc perpendiculaire aux deux droites DP, DB et par suite (895) perpendiculaire au plan MX de ces lignes.

(909) Sco. PROB. Si l'on avait à ériger une perpendiculaire NE à un plan MX, en vm point donné X de ce plan ; il y aurait d'abord à laisser tomber sur ce plan (902) une perpendiculaire AP d'un point quelconque A hors de ce plan, puis à mener à cette dernière une parallèle XF qui, par la prop., serait la perpendiculaire demandée.

(910) Cor. 1. Réciproquement, si deux lignes droites AP, DE sont perpendiculaires à un même plan MN, elles seront parallèles; car, si elles ne le sont pas, menez par le point D une parallèle à AP, cette parallèle sera par la prop., perpendiculaire au plan MIST ; on pourrait donc par un même point D mener à un plan plus d'une perpendiculaire, ce qui (898) est impossible.

(911) Cor. 2. Deux lignes A etB parallèles à une troisième ligne C sont parallèles entre elles ; car, concevez un plan perpendiculaire à la ligne C ; les lignes A et B étant parallèles à C, seront, par là prop., perpendiculaires au même plan ; et, par le dernier cor., parallèles entre elles.

Les trois lignes sont supposées ne pas être dans un même plan ; autrement, la proposition serait déjà connue (143).

PROP. VI. THÉOR.

(912) Les intersections ML, HK de deux plans parallèles AB, CD, par un troisième plan MN, sont ces lignes parallèles.

Car, les droite» ML, HK sont dans un même plan MK ou MN, et étant prolongées ne se rencontreraient pas, puisque (890) les plans AB, CD qui les con- B^ tiennent ne peuvent se rencontrer ; donc (141) ML, HK sont parallèles.

(913) Cor. 1. Les parallèles MH, LK comprises entre deux plans parallèles AB, CD, sont égales; car les

intersections ML, HK du plan MK de ces parallèles avec les plans AB, CD, sont parallèles par la prop. et comme les parallèles entres parallèles sont (271) égales, on a MH=LK.

(914) Cor. 2. Une ligne droite EF perpendiculaire à l'un AB de deux plans parallèles AB, CD, est aussi perpendiculaire à l'autre ; c.ir, ayant mené dans le plan CD Tine ligne quelconque FH, et par les lignes EF, FH un plan EH, l'intersection EM de ce dernier avec le plan AB sera, par la prop., parallèle à FH ; or la droite EF perpendiculaire au plan AB est (882) perpendiculaire à EM et (149) à sa parallèle FH; et EF étant perpendiculaire à une ligne quelconque FH dans le plan CD, est (882) perpendicnlaire à ce plan.

(915) Cor. 3. Deux plans AB, CD perpendiculaires à une même ligne droite EF sont parallèles l'un à l'autre ;

car, ayant mené dans l'un des deux plans, une ligne quelconque FH, et par les ligues EF, FH, un plan EH intrersectant AB en EM, on aura (150) EM parallèle à FH, à cause de EF perpendiculaire (882) à chacune d'elles. Soit maintenant EM=FH, on aura (167) MH parallèle et égale à EF ; or MH étant parallèle à EF est (908) perpendiculaire à chacun des deux plans AB, CD, et cette perpendiculaire est, par constr., une perpendiculaire quelconque; donc, etc. (888).

(916) Cor. 4. Les angles d'inclinaison de deux plans parallèles AB, CD coupés par un troisième plan MN sont égaiix ; car, par la prop. l'intersection ML est parallèle à HK et si l'on mène dans le plan MN (MK) une droite EG perpendiculaire à l'une ML de ces intersections, elle sera (149) perpendiculaire à l'autre. Maintenant, qu'on mène dans l'un AB des deux plans parallèles, la droite EP perpendiculaire à ML et par les lignes EP, EG un pbmER ; l'intersection FR de ce dernier avec le plan CD sera, par la prop., parallèle à EP et ces parallèles étant par constr. dans un même plan avec !a droite EG, ou aura (148) l'angle GFR— GEP ; or, GEP est (878) l'angle d'inclinaison des plans AB, MN, à cause de EG, EP toutes deux perpendiculaires par constr. à ML ; donc aussi GFR est l'angle d'inclinaison

des plans CD, MN", car (908) HK parallèle à ML est perpendiculaire au plan ER, et par suite (882) aux lignes FG, FR, situées dans ce plan ; donc, etc. (880).

(917) D'ailleurs, il suit immédiatement de la déf. (878) de l'inclinaison de deux plans et des corollaires (879) et (880) de cette déf., que deux plans parallèles coupés par un troisième plan forment avec ce dernier des angles correspondants et égaux, tout de même que (147) deux lignes parallèles intersectées par une troisième ligne ; et il est évident, comme pour les lignes, que 1° deux plans qui s'interseetent, font les angles opposés au sommet égaux ; 2° tous les angles formés par plusieurs plans qui se coupent dans une même ligne, valent ensemble 4 angles droits ; 3° dans l'intersection des plans parallèles par une ligne ou par un troisième plan, les angles correspondants ainsi que les angles alternes sont égaux et les angles intérieurs ou internes valent ensemble deux angles droits.

PROP. VII. THÉOR.

(918) Si deux angles CAE, DBF non dans un même plan, ont leur côtés AC, BD et AE, BF parallèles et tournés dans le même sens ; ces angles seront égaux et leurs plans parallèles.

Ayant fait AC=BD et AE= BF, joint CE, DF et mené AB, CD, EF, on voit (274) que te, fig. AD est un parallélogramme, à cause de AC parallèle et égale à BD et on a par conséquent CD--=AB. On a de même EF= AB, à cause de AE parallèle et égale à BF ; d'où (911) CD est égale et parallèle à EF, et CE par conséquent égale et parallèle à DF ; donc les triangles CAE, DBF ont leurs .côtés correspondants égaux et par suite l'angle CAE=DBF.

(919) En second lieu, le plan ACE ou MN" est parallèle au plau BDF ou PQ ; car, ayant mené (902) A'B perpendiculaire au plan MIS" des lignes AC, AE et du point de rencontre A' dans le plan MN, les droites A'C, A'E' parallèles à AC, AE et par conséquent (911) parallèles à BD, BF, on aura (882) A'B perpendiculaire à A'C, A'E' et (149) à leurs parallèles BD, BF ; donc, A'B sera (895) perpendiculaire à chacun des deux plans MIST, PQ, et ces plans seront pour cette raison (915) parallèles l'un à l'autre.

(920) Cor. 1. Si deux plans parallèles MN, PQ rencontrent deux autres plans AD, AF ; les angles CAE, DBF formés par les intersections des plans parallèles seront égaux ; car (912) l'intersection AC est parallèle à BD, et AE à BF.

(921) Cor. 2. Si trois lignes droites AB, CD, EF, non dans un même plan, sont égales et parallèles ; les triangles opposés ACE, BDF formés par les droites joignant les extrémités des trois premières lignes, seront égaux et leurs plans parallèles ; car les parallèles égales AB, CD donnent (274) AC égale et parallèle à BD. On a de même AE parallèle et égale à BF et par suite le triangle ACE égal BDF, et le plan ACE parallèle à BDF, par la prop.

PROP. VIII. THÉOR.

(922) Deux lignes droites AB, CD coupées par trois plans parallèles MN", PQ, ES, sont divisées en parties AE, EB et CF, FD ayant entre elles le même rapport ; c.-à-d. qu'on aura AE : EB :: CF : FD.

Menez AD qui rencontrera le plan PQ, soit en G, et joignez AC, GF, EG, BD; les intersections EG, BD, des plans parallèles PQ, ES, par le plan ABD, sont (912) parallèles, et donnent (509) AE : EB :: AG : GD ; de même, les intersections parallèles AC, GF donnent AG : GD :: CF :FD ; d'où, on a (75 Ax.) AE:EB::