CHAPITRE XXI

Généralités sur les polygones réguliers.

601. Dans ce chapitre, nous restreindrons la dénomination de lignes brisées régnlières à celles de dièdre nul, partant planes (426, II), le bilatère habituellement excepté, et nous continuerons à ne considérer que des figures situées sur un même plan.

Nous représenterons généralement par a le côté d'une semblable ligne, LM (fig. 105) (ou MN, . . .), par a son angle LMN (ou KLM, . . .), par R, r ses rayon i>L et apothème il [Un] (431, II), par to son angle au centre Li>M (ou [lm]iî{mn]), quantités entre lesquelles existent les relations

(1) a + w = 180° (Ibid.),

(2) - =: R sin —I r = R cos -» ^ ' 2 2 2

ces dernières immédiatement fournies par la considération d'un triangle rectangle tel que Lr//?î]i>, découpé par l'axe de deuxième classe [Imjil dans le triangle isoscèle LilM; le même triangle rectangle donne encore

Dès que, parmi les cinq quantités a, a, o), R, r, un segment et un angle, ou bien deux segments, auront été donnés, on pourra calculer les trois autres au moyen des Tables trigonométriques

CKllC.I.KS CIRCONSCRIT ET INSCRIT. 321

et des relations (1), (2), l'une des deux dernières pouvant être remplacée par (3).

Si un angle seul était donné, l'autre serait fourni par (1), et, en choisissant arbitrairement l'un des segments a, R, r. le calcul des deux autres, au moyen de (2), compléterait les éléments de l'une des lignes toutes semblables entre elles (435 s pour lesquelles l'angle en question a la valeur donnée.

602. l'^n désignant désormais par O (fig. 164) le centre de la ligne (431, II), il est évident que si, de O comme centre, on décrit deux circonférences ayant R, /•(<R) pour rayons, la ligne brisée a tons ses sommets . . ., L, M, . . . snr la première, tous ses côtés .... LM, MX, ... tangents à l'antre en leurs milieux ..., a, f, . . ., étant à la fois, inscrite dans l'une, circonscrite à l'autre.

L'intervention du centre O et de ces cercles concentriques, circonscrit et inscrit, donne des facilités au tracé de la ligne déterminée par un de ses côtés LM = a et un angle adjacent LM^b=:a, donnés tous deux en grandeurs et en positions.

I. On obtiendra l'autre extrémité X du côté placé sur la demidroite MOb, en portant sur elle une longueur =:a, et le point O sera le centre du cercle circonscrit au triangle élémentaire LMX (507; ; doù le tracé immédiat des cercles circonscrit et inscrit, l'apothème r, rajon du dernier, étant la distance Oa par exemple, de 0 au côté donné LM.

II. Pour tracer un nouveau côté, XP par exemple, contigu à ceux du triangle élémentaire LMX, puis d'autres indéfiniment en réitérant l'opération, il suffira de prendre le symétrique P de M par rapport à l'axe de première classe OX, soit directement, soit indirectement, en cherchant la seconde trace P sur le cercle circonscrit, ou bien de la perpendiculaire abaissée de M sur OX (500), ou bien du cercle décrit de X comme centre avec XM = a pour rayon i578, I).

Ce dernier procédé est fort simple, puisqu'il exige seulement le tracé du cercle circonscrit une fois pour toutes, et son recoupage indéfini en P, Q, . . ., puis en K, J, ... à partir de L dans l'autre sens, par des coups de compas de la même ouverture a, à donner, des centres X, P, ..., puis L, K, ..., successivement.

III. On obtiendrait également un côté tel que XP, en menant de X au cercle inscrit, la tangente autre que XM (513), puis en portant sur elle, à partir de X et dans le sens allant au point de contact, la longueur XP =. a. Etc.

IV. On remarquera encore que, de chaque côté MX nouvellement construit, on déduit immédiatement deux axes de classes différentes OX, O?, par rapport auxquels les symétriques de sommets antérieurement obtenus en seront autant de nouveaux.

603. Quand une partie LM. . .ST d'une telle ligne, est limitée par deux sommets L, T, elle se décompose en un nombre entier

322 POLYGONES RÉGULIERS ÉLÉMEXTAIHES.

A' de côtés, et sa longueur a pour expression ka (observation

applicable aux lignes brisées régulières de toutes espèces).

Quand la même partie est intérieure à un angle de côtés OL,

OT, dont l'amplitude est inférieure à un replet, le polygone plan

OLM...STO alors déchevètré (605, III, inf.), {Cf. 294,111), se

nomme un secteur polygonal régulier. Comme les rayons allant

aux sommets décomposent son aire en A- triangles isoscèles dont

les bases et les hauteurs sont toutes égales à a, r, elle a pour

ar r

mesure A — = Aa. - (Cf. 542).

604. Les théorèmes des n^^ 605, 606 (inf.) montreront qu'nnc ligne brisée [de l'espèce considérée) est toujours enchevêtrée. Ils font intervenir le rapport / = to : 31 de l'angle au centre à l'angle replet, qui joue un rôle assez important dans la présente théorie, et que nous nommerons le caractère de la ligne.

I. Ce nombre est = l : 2 pour le bilatère dont l'angle au centre est neutre, mais < 1 : 2 pour toute autre ligne ; car l'angle au centre, essentiellement saillant, est inférieur à l'angle neutre, moitié du replet.

II. Quand, commensurable, il est une fraction à termes entiers m : n, nous supposerons toujours celle-ci réduite à sa plus simple e.vpression, c'est-à-dire m, n premiers entre eux.

Pour former tous les caractères possibles d'un même dénominateur donné n, il suffit donc de prendre pour numérateurs tous les entiers m premiers à n, mais inférieurs à sa moitié.

III. Deu.v lignes brisées de Vespèce considérée sont semblables ou non, selon que leurs caractères sont égaux ou inégaux. Car leurs dièdres sont égaux comme nuls, et leurs angles, suppléments de leurs angles au centre 431, II), sont égaux ou non, en même temps que ces derniers, c'est-à-dire que leurs rapports à un même angle, ici le replet (435).

605. Quand le nombre / est incomnjensurable , chaque côté de la ligne est rencontré par une infinité d'autres, sans pouvoir se confondre avec aucun.

I. Pour distinguer les sommets les uns des autres, nous représenterons par L^ l'un d'eux pris à volonté, par Lj, L.^, . . . ceux que l'on rencontre successivement en parcourant la ligne à partir de lui dans un sens constant élu, par L', L", . . ., ceux que donne un parcours semblable dans le seiis contraire, et nous écrirons

l'ensemble de tous. De cette manière, les rayons (demi-droites) OL,, 0L'> peuvent être considérés comme faisant avec OL^ des angles (saillants ou composés) d'amplitude zw dans le sens élu et dans le sens opposé.

ENCHEVÊTREMENT d'uNE LIGNE BlUSÉE l{K(iLL., ETC. 323

II. La coïncidence de deux sommets, de deux côtés par suile, dont les notations sont différentes, est impossible. Car si elle avait lieu pour Lg, L, par exemple, l'an^jle zw serait quelque multii)le entier M du replet ifi, et l'égalité i(,i = UÀ donnerait / = w : ^i- =^i:l, forme incompatible avec l'incommensurabilité de /.

III. Pour que le côté L,,L, iflg. 165) coupe un autre L,L, |- , en quelque point y intérieur à tous deu.v, il faut et il suffit qu'un côté de l'an(jle au centre L^OLg + , soit intérieur à l'angle égal LqOL,.

1" Aucun des rayons OL^,, 0L^4., ne se confondant avec 0L„ ou OL, (I), tous deux seraient extérieurs à l'angle L,)OL| si aucun ne lui était intérieur ; et, comme il s'agit d'angles saillants, le premier angle serait sui)érieur au second au lieu de lui être égal, ou bien il n'aurait pas avec lui le point intérieur commun y (159, 111). La condition est donc nécessaire.

2'' Si OL,., par exemple, est intérieure « l'angle L,,OL,, les côtés L^L^,, L^Lg 4. , rencontrent tous deux L,fLf.

Dans ce cas effectivement {Ibid., IV), cette demi-droite rencontre le segment L^L, en quelque point intérieur s donnant Oc < OLg. Car on a OLg=OLo = OL,, et, sur la base L^L, du triangle isoscèle LqOL,, le point intérieur e, pied de l'oblique Oc, est plus rapproché que L^ ou L,, pieds des obliques OLg ou OL,, du milieu de cette base, pied de la perpendiculaire issue de O (262).

Les directions giratoires des angles L,.,OL(;, L,,0=, identiques à celle de L|,OL, , le sont l'une à l'autre, et le premier, de même que son égal L^OL,, surpasse le second inférieur à celui-ci, ayant ainsi OL,, dans son intérieur.

Comme à l'instant, cette demi-droite rencontre donc le segment L,|Lg en un point intérieur À donnant OX < OLq.

Maintenant, z est situé dans le demi-plan L^ÀO parce que les directions Le, L^O sont identiques, mais L,, tombe dans le demi-plan opposé, parce que les directions XL,), XO sont opposées (25). L'arête commune L^X de ces demi-plans rencontre donc la droite L|,c en un point o rendant opposées les directions oLg, oe, c'est-à-dire ir.lérieur au segment L^s, à L^Lj par suite, à L^L^.j pour des causes semblables.

La rencontre de L^L^ + , avec LgLj se prouvera par les mêmes moyens.

IV. Tout sommet L,,, soudure de deux côtés rencontrant L,iL,, est donc caractérisé par l'existence de l'entier e et dun autre E sous les deux conditions.

E^a < eoi < E^ + (O

exprimant (I) que le rayon OL^ est intérieur à l'angle LqL, , équivalant évidemment à

(c — l)w<E3l <eo),

OU bien, en divisant tout par ^, à

(e-l)X<E<ex-

On^obtiendra donc les indices e, en prenant le multiplicateur de X dans^TDut terme de la suite

0, Ix, 2/, 3/, ...,

entre lequel et le précédent tombera quelque entier E; leur nombre est illimité, parce que les termes de cette suite, jamais entiers sans quoi / serait commensurable, vont en croissant sans cesse et indéfiniment, et qu'ainsi tout entier E tombera certainement entre deux consécutifs.

On trouvera les rencontres de L^,L^ avec les côtés dont les sommets portent des accents, soit en traitant la portion L,L|,L'L"... de la ligne, comme nous venons de le faire pour LoLiLjLg..., soit plus expéditivement en prenant, par rapport à l'axe de deuxième classe perpendiculaire à LgL, , les symétriques des précédentes. Deux côtés différents donneront toujours des rencontres distinctes, ceci résultant, soit de la discussion des opérations précédentes, soit immédiatement de ce que, dans le cas contraire, trois tangentes distinctes pourraient être menées par un même point au cercle inscrit.

Et de même, pour tout côté autre que L,|L,.

606. Quand le caractère est une fraction (réduite) m : n, la ligne se décompose en une infinité de polygones de n côtés, tous superposés les uns aux autres.

Pour que les sommets L,,, L, par exemple se confondent, il faut (605, II) et il suffit évidemment, qu'en nommant I quelque entier, on ait uo = UH, c'est-à-dire m : n = oj : ^ = I : /, d'où l:=mi:n, qu'ainsi / soit divisible par n premier à m. Les sommets Lq, Lj, L.^, ..., L,j, seront donc distincts, mais L„, L„^i, L„^2> •••> ^-2,1-1 se confondront respectivement avec eux, et ainsi de suite dans les deux sens. La ligne brisée se formera par la superposition, au polygone de n côtés,

(4) LoLjL.2. . .L,j,L(,,

de lui-même répété indéfiniment.

607. En conséquence, on nomme polygone régulier de n côtés, soit cette ligne de caractère commensurable réduit m : n, soit plus volontiers le simple polygone (4) dont la réitération indéfinie la reproduit. A ce sujet, voici des remarques générales.

I. Quand n est un nombre pair 2v, // g a au total n axes distincts seulement, dont v=:n:2 dans chaque classe.

Par rapport à l'axe de première classe OL^ , les sommets L^ , L„i sont associés comme extrémités des côtés LoLj, LoL„,

CARACTÈRE d'lX POLYGONE RÉGULIER. 325

évidemment associés; L^, L„2 le sont aussi pour une cause semblable, et ainsi de suite. Le sommet L,^ est donc associé à celui d'indice n — v = v, c'est-à-dire à lui-même, et l'axe OL^ y passe ; mais cet axe ne contient aucun autre sommet, puisque sur la droite L|,OL.^ trois points équidistants de O ne peuvent exister. Les axes distincts de première classe sont donc en nombre égal à la moitié de celui n des sommets.

Raisonnement analogue pour les axes de deuxième classe ; chacun d'eux coupe toujours deux côtés parallèles en leurs milieux, et perpendiculairement.

II. Quand n est impair, il y a n axes distincts, chacun des deux chtsses à la fois.

On raisonnera comme ci-dessus (I). De tout ceci, on conclut facilement que le polygone régulier (4) est égal ci lui-même de 2/1 manières.

La fig. 1()() montre un hexagone régulier AFBDCEA, ses trois axes de première classe AD, BE, CF passant chacun par deux sommets, et un axe de deuxième classe perpendiculaire sur deux côtés BF, CE. On y voit encore un triangle régulier ABCA et ses trois axes AO, BO, CO, tous des deux classes à la fois.

III. Le même polygone (le bilatère excepté) est déchcvétré, même convexe, pour /n = l, mais enchevêtré pour m>l.

Si m = \, les côtés sont respectivement intérieurs à n angles au centre, contigus extérieurement deux à deux et égaux à di:n, donnant ainsi une somme ne surpassant pas un replet, ce qui rend chacun d'eux extérieur à tous les autres. La convexité du polygone se déduit facilement de ce qu'il est déchevètré, avec des angles tous saillants.

Si n2>l, la suite croissante

qui ne contient évidemment aucun entier, a son dernier terme m — (m : n) supérieur à m — 1, parce que le caractère m : n est inférieur à 1:2 (604, I); chacun des entiers 1, 2, ..., m — 1 sera donc compris entre deux termes consécutifs, et le côté LnL, aura 2(m — 1) rencontres avec la portion L., , L3, . . ., L„2 du polygone (4) (605, IV).

Dans ce second cas, le polygone est dit étoile, parce que son aspect rappelle la configuration conventionnelle des étoiles.

IV. Soient j un entier quelconque, d le plus grand commun diviseur de n, j, puis n', j', les quotients n: d, j :d qui sont premiers entre eux, et r le reste de la division de j'm par n' s'il est <n' : 2, ou l'excès de n' sur ce reste dans le cas contraire.

En joignant les sommets de la ligne (4) de j en j (434) et de toutes les manières possibles, on forme d polygones réguliers

de n' côtés, égaux entre eux mais distincts, dont le caractère commun est r : n' .

1° Une ligne ainsi obtenue est régulière {Ibid.) et de l'espèce dont nous nous occupons, parce que son gradin, égal à j fois celui de la proposée, est nul comme lui.

2" Pour obtenir son angle au centre, il faut [Ibid.) trouver un entier J vérifiant les inégalités

puis prendre le moindre des écarts entre chacun de leurs membres extrêmes et le moj'cn. Le multiplicateur de fcR dans celui-ci est la fraction jm : n^^j'm : n' après division de ses deux termes par d, et cette dernière forme est irréductible, parce que n' premier à m et à j' l'est à leur produit. En divisant donc les inégalités précédentes par iîl et les multipliant par n' , elles deviennent

ceci montrant que le moindre écart cherché s'obtiendra en multipliant '.?\.:n' par r, moindre difTércnce entre//?? et in' , (J -[- 1 )n' multiples entiers consécutifs de n' qui comprennent ce produit.

La nouvelle ligne a ainsi {r:n'yJ{ pour angle au centre, et r : n' pour caractère; elle est donc un polygone régulier de n' côtés (606), puisque r[<^n' : 2) est, comme 7 'n?, premier à n'.

3° Soit 5 le nombre des polygones de cette origine, qui sont distincts. Comme deux d'entre eux n'ont aucun sommet commun, sans quoi ils se confondraient évidemment, le nombre total de leurs sommets ^j/î' reproduit n nombre de ceux du polygone (4). On a donc "j = n : n' = n'd : n' =zd.

Ces d polygones sont égaux, parce que l'égalité de leurs angles au centre et de leurs rayons assure évidemment celle de leurs angles et de leurs côtés,

V. Le cas où j est premier à n mérite un examen spécial. On a alors d = l, d'où n'=in:d = n, j' =zj : d=zj, j'm^=jm, et r est quelqu'un des nombres

(5) r, , r.2, ..., Tf,,

qui sont inférieurs à n : 2 et premiers à n.

Toutes les jonctions faites avec des nombres j premiers à n, donneront donc g polygones seulement de n côtés, ayant les caractères

r, /"t) Ta

c'est-à-dire tons ceux possibles avec le dénominateur n (604, II).

JONCTION DE j EN j, DES SOMMETS d'lN I'OEYG. lU'dUL. 327

Comme 1 figure toujours parmi les nombres (5), une valeur convenable de j conduira toujours au polygone déchevêlrc de n côtés (III), offrant les mêmes sommets (jue (4). Inversement, on repassera de ce polygone dêchevètrc à tous les polygones étoiles de mêmes sommets, en prenant pour J tous les nombres (5), sauf 1.

Inscriplion des polijgones rrfinlicrs 1rs j)lns simples.

608. La connaissance d'un seul polygone régulier de n côtés, permet de construire facilement tous les autres. Car, en prenant successivement pour j, tous les entiers premiers à n et inférieurs à n : 2, puis joignant les sommets de,/ en j, on obtiendra, ayant les mêmes sommets, des polygones réguliers oflrant tous les caractères de même dénominateur n i607, Vi, et il ne restera plus qu'à construire les polygones semblables à ceux-ci (409).

Comme la structure d'un polygone déchevctré est d'une conception bien plus facile relativement, il y a un intérêt pratique à partir du polygone de caractère 1 : n, qui, seul, présente cette particularité (607, III). Comme en outre, la considération du cercle circonscrit facilite beaucoup la construction des sommets (602), et que les grandeurs absolues des segments sont indiOërentes, il y en a un autre à se donner arbitrairement le rayon H de ce cercle, pour le tracer d'abord, puis y inscrire quelque polygone de ce caractère, après détermination de son côté. Cette opération que l'on nomme l'inscription d'un polygone régulier de n côtés dans le cercle de rayon R, revient évidemment à diviser en n parties égales, soit l'angle replet, soit la circonférence en question.

Empiriquement, cette dernière division est des plus faciles (547, in fine), mais géométriquement, elle est d'une complication dépendant bien moins de la grandeur de l'entier n, que d'une certaine structure arithmétique (îe ce nombre (comme la consistance du groupe connexe de polygones étoiles) ; par les moyens propres à la Géométrie élémentaire, c'est-à-dire par des intersections de droites et de cercles, il n'est pas possible de l'exécuter en dehors de cas particuliers extrêmement peu nombreux relativement, dont encore nous ne pourrons traiter que les plus simples.

Ces conditions spéciales du problème expliquent d'avance le décousu des solutions suivantes, dans la recherche desquelles nous désignerons généralement par P„ le polygone déchevétré de n côtés, inscrit dans la circonférence de rayon R, par «„ et r„ son côté et son apothème.

609. Voici, tout d'abord, une observation générale qui a de l'utilité.

Du pohjgone P„, une fols inscrit, on déduit immédiatement celui de 2n côtés, pais, par conséquent, ceux de 2.2n^4n, de 8n, ..., l'^n, . . . côtés, k étant un exposant quelconque.

Car l'angle au centre de P.,,, étant la moitié de celui de P„, les sommets du premier s'obtiendront évidemment en adjoignant à ceux du second les traces (nouvelles) sur le cercle circonscrit commun, de ses axes de deuxième classe (607, 1, II), c'est-à-dire de ses apothèmes prolongés au delà des côtés.

La relation (3) au no 601 donne

Si AB, Oîj (fig. 167) sont le côté et l'apothème de P„, puis AI, O'f ceux de P^^, et V la seconde extrémité du diamètre 01, le triangle lAI' rectangle en A (506) donne IÂ' = ll'.lsi (228), c'est-à-dire a.^,,^ ^2R(R — r„), d'où

(2) a,„=]/2t{{R-rj.

Un nouvel emploi de la formule (1) conduit ensuite à

,,^ = 0,= \/w^-^-^ = \/r^-'-^^^^ZI^

610. Bllatére (1 : 2) ; Carré (1 : 4) ; Octogone (1 : 8) ; ... Il est évident que les sommets du bilatère inscrit sont les extrémités A, B (Jlg. 168) d'un même diamètre du cercle, et qu'on a pour lui

a2 = 2R, d'où r.^ = 0.

Le polygone de 4 côtés P^ est un carré (310), parce que ses côtés sont égaux entre eux, et ses angles à 1 dr. supplément de son angle au centre 01 : 4 = 1 dr. On le déduit immédiatement du bilatère en coupant la circonférence en C, D par l'axe unique de deuxième classe appartenant à ce dernier, perpendiculaire élevée sur le diamètre AB par le centre O.

Les formules (2j, (3) donnent immédiatement

a. = \/2R(R — /%) = \/2R-^ = Rl/2~,

Par les mêmes moyens (609), on passera à l'octogone (1 : 8), au polygone de 16 côtés (1 : 16), etc.

TRIANGLE, IIICXAGONE, DODÉCAGONE. 329

611. Trinnf/lr (1 : 3) ; Ilcvaç/one (1 : 6) ; Dodécagone (1 : 12) ; ...

Le triangle régulier AI5(: (////. IfiGi est équilatéral (239j, et ses axes AsJ, B'^, C}, tant de première classe que de seconde, puisque n = 3 est ici impair (607, II), se coniondent avec ses médianes (554); le centre O, leur point de concours, est donc au tiers de chacun à partir du côté où elle aboutit (559). On a ainsi