Si, pour ^ré^r, on pose

2=2*, /• et (L— 1)(/— 1)=à%

by GoCgIe

Pfc» -•-TJ»-' >*■»*•?«

l .| ' H» I WJ

iJes pboblémes d’optique.

on aura pour la relation demandée ,

r r'^ — /^d(ar-\-Pd) r^-j-UPd^r=0 .

Quand on connaîtra r, on déduira r' de cette équation, dont les deux racines sont toujours réelles et positives, quels que soient les indices extrêmes de réfraction L et l. C’est la plus petite de ces racines qui convient à la question.

La distance des centres optiques des deux lentilles ou la longueur x du tuyau est égale à

iÇL^i)d(r — r*) — rr' 2(L— 1)[2(L—

Il faudra dans cette expression remplacer r* par sa .

valeur tirée de l’équation précédente. •

52. Le point A étant choisi pour pô/e, et un rayon incident quelconque pour axe polaire^ soit p la longueur d’un autre rayon incident ou vecteur^ et soit w l’angle de ce rayon avec le premier. Soit de plus 9 l’angle que le rayon vecteur p fait avec la tangente^^ à la courbe cherchée; on aura

, „ 1— /cos»

Comme cet angle est le même pour tous les rayons., recteurs , la courbe est une spirale logarithmique

Digilized bÿ C

SOLUTLona >

dont le pôle est le point A' et dont réquàticHi polaire est facile à déterminer.

Sa il vient tang0= et la courbe polarir-

aan/e a-poùr équation

■ . • ' p=rre’“ , , . .

' ê désignant la base des logarithmes népériens, et r la longueur du rayon incident pris pour axe, longueur qu’on se donne arbitrairement.

Celte solution est plus curieuse qu’utile, à cause de l’extrême difficulté qu’on éprouverait à tailler une substance diaphane de telle sorte qu’elle présentât une surface de révolution engendrée par une pqrtion de spirale logarithmique.

• 35. 1" Si l’on développe en série la vérit^le valeur de y, il, vient . ■ . ~ .

I g* I I hx* I ' ■ . ' / .

. ' y=2r“' Or’"*’ 16r* ‘ 128 r’ "• * ^ '

En se bornant au premier terme ^ , on prend pour

y, une valeur un peu trop faible; mais les fractions qu’oin néglige sont presque inappréciables , puisque par hypothèse x est très petit relativement à r.

. Soit a :=arc (sin=~) , c’est-4-dire. soit ‘la la Ion-

gueur de l’arc que le diamètre de l’anneaü 'soutend dans le cercle dont le- rayon est r;' on^trouve que

DES paoBLÂMES d’oftiqüb. i. 32 } l’erreur commise dans cette évaluation de y est moindre que ~-

Maintenant lorsqu’on suppose que deux épaisseurs y, y, sont entre elles comme les carrés des rayons X, ou des diamètres des anneaux , on commet deux erreurs simultanées qui tendent à se compenser mutuellement. La proportion y : y' ; : admise

par Newton diflere donc très peu de l’exactitude.

2" Pour que la proportion y : y' ; : : ar»* fût

parfaitement exacte, il faudrait que la surface Z fut un paraboloïde de révolution ayant pour sommet le point de contact et pour axe la perpendiculaire menée au plan par ce point. On auiait rigoureusement y =^ , 2r étant le paramètre de la parabole génératrice. Or 2r serait aussi le diamètre du cercle osculateur au sommet de cette courbe. Si donc on substitue au paraboloïde la sphère engendrée par ce cercle, on retombe sur l’approximation précédente.

54. Soient /„ et /, les indices des réfractions ordinaire et extraordinaire du spath d’Islande, et les indices relatifs au cristal de roche : on trouve

lo—l. •

Si l’on voulait traduire cette expression en nombres il faudrait poser

322 SOLUTIONS des phoblêues d’optiqde.

ce qui donnerait ^ ^ .

Une question analogpie à celle qu’on vient de résoudre pourrait être proposée sur deux prismes uniréfringents de nature differente : Quel devrait être le rapport approché des angles de ces prismes (l’un, par exemple, de flint-glass et l’au tre.de crown-glass), pour que la dispersion totale due au premier fut égale à m fois la dispersion totale produite par le second?....'

55. Voyez le Traité général de physique de M. Biot, t. III, p. 366...371.