CHAPITRE XIX

Men«Fe Am. temps et atenare mmi^uUAw.

4. Jour. La terre tourne sur elle-même de manié présenter successivement aux rayons du soleil les d rents points de sa circonférence. La moitié du globe face du soleil a le jour, la moitié opposée a la nuit. F la mesure du temps, on réunit les périodes du jour e la nuit, dont les durées sont variables suivant la saiso suivant le lieu considéré, et leur ensemble porte le 1 de jour. Le jour est dtmc le temps que la terre met à t ner sur elle-même.

Le jour se divise en 24 parties égales appelées keu r heure se divise en 60 parties égales appelées minutes minute se divise en 60 parties égales appelées secondes.

Ainsi le jour vaut 24 heures, 24 X 60 ou 1440 mini 24 X 60 X 60 ou 86400 secondes.

On est dans T usage de compter le jour de mini minuit.

Dans récriture numérique, l'indice des jours est la let celle des heures est la lettre A, celle des minutes es celle des secondes est s. Le nombre 3J 18** 52" 42 lit donc : 3 jours 18 heures 52 minutes 12 secondes.

2. Année. En môme temps qu'elle tourne sur « môme, la terre circule autour du soleil. On appelle m

le temps que la terre met à faire sa révolution autour du so- ML La durée de cette révolution est de 365J 5*» 48" 50'.

3. Années ordinaires et années bissextiles. En comptant les 5** 48" 50' pour 6**, ce qui est un peu trop fort, l'année comprendrait 365 jours et un quart. Ce quart de jour serait un embarras dans la supputation du temps. On le néglige donc et Ton ne compte que 365 jours pour l'année; seulement, de quatre ans en quatre ans, on ajoute un jour complémentaire à Tannée pour rattraper les fractions de jour perdues et remettre la date en concordance avec la révolution de la terre autour du soleil. La règle est donc qu'après trois années communes de 365 jours, vient une année de 366 jours, nommée année tosextile. Une autre période commence alors, pareillement composée de trois années de 365 jours et d'une quatrième de 366, et ainsi de suite. Or, sur quatre nombres consécutifs, trois ne sont pas divisibles par 4, et le quatrième l'est. De là, cette règle très-simple pour trouver les années qui doivent être bissextiles, c'est-à-dire compter 366 jours :

Si le millésime de l'année est divisible par 4, ou, ce (jui revient au même, si les deux derniers chiffres du millésime forment un nombre divisible par 4 (1), l'année est bissextile; dans le cas contraire ^ c'est une année commune.

Ainsi les années i872, 1876, 4880, 1884, 1888 etc., seront bissextiles, tandis que les années 1870, 1871, 1873, ^874, 1875, etc., seront des années communes.

Les années séculaires 1800, 1900, 2000, etc., devraient ôtre toutes de 366 jours d'.après cette règle, car leur millésime est divisible par 4. Pour compenser l'erreur que l'on fait en plus en comptant 5**, 48", 50*, pour un quart de jour, on est convenu de supprimer quelques bissextiles correspondant aux années séculaires. Pour opérer celte suppression, on suit la règle que voici :

On néglige les deux zéros de l'année séculaire, et, si les (chiffres restants forment un nombre divisible par k, l'année cmj)te 366 jours; dans le cas contraire, elle en compte 3(i5.

Ainsi Tan 1600 a été bissextile ; 1700, 1800 ne l'ont pas été; 1900 ne le sera pas non plus; mais 2000 le sera.

^e jour complémentaire s'ajoute au mois de février, qui

(^) Voir, à ce sujet, le caractîîre de divisibilité par 4, cliap. xx.

161 NOUVELLE ABITHMÉTIQUB.

compte ainsi ^^ jours dans les années communes^ etHèjoun dans les années bissextiles.

A. Mois. L'année se divise en îl mois, savoir : janvier, février, mars, avril, mai, juin, juillet, août, septembre, octobre, novembre et décembre.

L'inégale valeur des mois est parfois embarrassante : les uns comptent 31 jours, les autres 30; février en compte 28 ou 29 suivant Tannée. Pour trouver les mois qui ont 31 jours et ceux qui en ont 30, on a recours au moyen que voici :

On ferme le poing de la main gauche. A leur origine, les quatre doigts autres que le pouce forment chacun une sailHe ou hosse, séparée par un creux de la bosse suivante. On place l'index de la main droite à tour de rôle sur ces bosses et sur ces creux à partir du doigt voisin du pouce, et l'on dénomme en même femfjs dans leur ordre les rnois de l'année .'janvier, féviner, murs, etc. Quand la série des quaht doigts est épuifée, on revient au point de départ en poursuivant l'appel des douze mois sur les bosses et les creux. Tous les mois qui dans cette éfiumération coiTCspondent à des bosses sont de 34 jours; fous ceux qui corresponaent à des creux sont de 30 jours. Il faut en excepter févriei\ dont la place est au premier creux. Il a 29 jou7*s dans les aimées bissextiles, 28 dans les années f'ommunes.

Les mois se subdivisent en semaines de 7 jours. L'année commune comprend 52 semaines et 1 jour,

5. Siècle. — Ère. On appelle siècle ime durée de iOO ans. — On nomme ère le point de départ de la supputation des an* 7iées.

Dans leur chronologie, les anciens Romains comptaient, à partir de la fondation ^de Rome, remontant à 753 ans avant Jésus-Christ. Il suffit donc d'ajouter 753 au millésime de notre année pour rapporter la date à la fondation de Rome.

Dans toute la chrétienté, la chronologie a pour origine la naissance de Jésus-Christ. C'est ce qu'on nomme i*ère chrétienne.

L'ère des Musulmans s'appelle Hégire. Elle correspond à Tan 622 de l'ère chrétienne.

6. Addition. Les mesures du temps n'étant pas conf A Ifl numération décimale, nous allons d05u;ïer

ESURE DU TEMPS ET MESUEE ANGULAIRE. 163

exemples des quatre opérations sur ces quan-

\ somme de 3J 18*^ 5°» 32^ et de 2i \^ 20» 47*. e les deux nombres l'un sous l'autre de manière lités de même ordre se correspondent.

ant par les unités les plus faibles, on dit: 32* et D^ En 79" il y a 1" qui vaut 60". On retient cette )ur la porter à la colonne suivante, et l'on écrit \ restent au rang des secondes, mtes donnent pour somme 25, qui^ font 26 avec

retenue. 26"* ne renfermant pas *d'heures, on ombre tel qu'il est.

res donnent pour somme 34»», nombre équivajour de 24»», plus 10 \ On écrit 10 »" au rang des

l'on retient 1 jour. Ce jour de retenue et les !S deux nombres donnent pour somme 6i;

TRACTION. Soit à retrancher 4 J 7»» 35"» 12" de *" 25*. On écrit le plus petit nombre sous le plus manière que les unités de même ordre se corit.

suite la soustraction des secondes, puis celles des les heures, des jours^ ce qui ne présente aucune dans le cas actuel, parce que chaque nombre inut se retrancher du nombre supérieur correspon-

cas contraire, on a recours à un artifice de calué dans l'exemple ci-après.

n ne peut soustraire 56* de 13*, on prend K miles 57»° du nombre supérieur et on la réduit en

164 NOUVELLE ARITûBiÉTIQUE.

60' que Ton ajoute au i3'. La somme est 73*. On retranche maintenant 56* de 73*. Le reste est ilK

On passe au rang des minutes, en se rappelant qu'on a pris 1 unité sur les 57 " et que par conséquent ce nombre ne doit plus compter que pour 56. 20 ôtés de 56, il reste 36.

Pourlesheureslamèmedifiiculté se présente : on ne peut retrancher 21^ de 2**. On prend alors 1 jour sur les 8' du nombre supérieur, on réduit ce jour en 24 \ ce quifait26^ avec les2*' dunombre proposé. 21»» ôtées de 26**, il reste 5\

On passe au rang des jours en se rappelant qu'on a pris une unité sur les 8J et que, par suite, ce nombre ne compte maintenant que pour 7J. 3J ôtés de 7J, il reste 4J.

Soit. encore la soustraction suivante.

5J ih^ 3t)" 51»

Comme le nombre supérieur ne renferme ni heures, pi minutes, ni secondes, d'où l'on puisse soustraire les unités correspondantes du nombre inférieur, on prend V sur les 12J, et on le réduit en 24*». De ces 24**, on en taisse23 au rang des heures, et Ton réduit la vingt- quatrième en 60°». De ces 60", on en laisse 59 au rang des minutes, et la soixantième est réduite en 60* que l'on écrit au rang des secondes. Le nombre supérieur devient ainsi :

Mi 23*» 59«» 60«

d'où l'on peut soustraire sans difficulté le nombre proposé.

ni 23*» 59°» 60»; 5i 15»» ae»» 51»

8. Multiplication. Proposons-nous de répéter 4 fois le nombres 14*» 52" 8^

Ui 11*» 28"» 32»

En multipliant les 8* par 4 on obtient 32*. Le nombre ne contenant pas de minutes est écrit tel quel.

En multipliant 52"» par 4, on obtient 20(S"', nombre qui contient des heures. On divise donc 208 °» par 60 pour savoir combien d'heures ces 280" représentent. Lerésul-

tat est 3** avec un reste de 28". On écrit les 28" à leur rang et Ton retient les 3 ^.

En multipliant 14** par 4 on obtient 56^, qui, ajoutées aux 3^ de retenue, font 59*". Ce nombre contient des jours. On le divise donc par 24 pour savoir combien de jours il représente. Le résultat est 2' avec un reste égal à 11**. On écrit ce reste au rang des heures et Ton retient 2^.

Le produit de 3J par 4 est de 12J , qui ajoutés aux 2J de retenue, font 14^.

9. Division. Soit à diviser 17^ 1^ 31" 16" en 4 parties égales.

On dit : le quart de 17J est de 4J pour !&, et il reste IJ.

On réduit cejour de reste en 24^, qui, ajoutées aux 7^ du nombre proposé, font 'S\^. Le quart de 31** est de 7^ pour 28*", et il reste 3*. On écrit 7** au quotient.

Il reste 3\ que Ton réduit en minutes en les multipliant par 60. Cela fait 180", qui, ajoutées aux 31" du dividende, font 211". Le quart de 2 1 1" est 52", que Ton écrit au quotient et il reste 3".

On réduit ces 3" en secondes en les multipliant par 60. Cela fait 180*, qui, ajoutées aux i6' du dividende, font 196'. Le quart de 196" est de 49% que Ton écrit au quotient.

Comme second exemple proposons-nous de diviser 162J en 25 parties égales.

ÎS-O"»

6J il»» 31" 12^

En dîrâant 163^^ par 25. on tronre poar quotient 6i avec un reste de li> que Ton réduit en heores en le mulUptiant par 14. On obtient ainsi 188^, qa'il faut diTÎser par S.

Le quotient est 1 1^ arec un reste de 13^ que l'on rédaH en minutes en le muttipliant par W. Le produit est de 780 '^r qu'il faut diviser par 25.

Le quotient est 31*. avec un reste de 5* que Ton réduit en secondes en le multipliant par 60. Le résultat est 300*, qu'il faut diviser par 25. Le q[uotient est 12' sans reste..

Soit enfin à chercher combien de fois la durée 2^ 7^ 16" est comprise dans la dorée I9> 5^ 40*^.

Dans ce cas, on réduit les deux nombres en unités de la plus petite espèce énoncée, par conséquent en minutes.

On multiplie les 2> du premier nombre par 24 pour le | réduire en heures. Au produit 48, on ajoute les 7^ du nombre. Le résultat 55** est multiplié par GO pour être réduit en minutes. Le résultat est 3300 auquel on ajoute les 16™ du nombre. On a donc 3316* pour représenter le premier nombre proposé.

Par un calcul absolument semblable, on trouve que le second nombre correspond à 27700™. Chercher combien de fois la seconde durée comprend la première, c'est donc chercher combien de fois 3316 est contenu daûs 27700. L'opération est maintenant sans difficulté.

£^ ^A^^r^^ ^j g ^^|g ^y^^ un reste*

10. Mesure des angles. On appelle angle l'ouverture plus ou moins grande que laissent entre elles deux lignes droites qui se coupent. Le point où lés deux droites se rencontrent s'appelle le «omwe^ de l'angle, et les deuxdroi« les elles-mêmes s'appellent les-côtés de l'angle. Ainsi, par exemple, les deux droites AB et AC, se rencontrant au point A, s'écartent l'une de l'autre, s'ouvrent et laissent emre elles un intervalle qu'on appelle un angle (iig. SO).

Fig. 20.

On nomme circonférence la ligne courbe que décrit la pointe mobile d'un compas, la seconde pointe étant maintenue en un point fixe appelé centre. Toute droite OA menée du centre à la circonférence prend le nom de rayon. Toute droite, BG, passant par le centre et terminée de part et d'autre à la circonférence, prend le nom de diamètre. Enfin, une portion quelconque de la circonférence, par exemple HK, s'appelle un arc de cercle (fig. 21).

Figr. il

On est convenu de diviser toute circonférence en 360 parties égales appelées degrés ; chaque degré en 60 parties égales, nommées minutes; chaque minute en 60 parties é^a.-

les nommées secondes. 11 ne faut pas confondre la miM j el la seconde de de^ré avec la minute et la seconde rfàenre. . ; Malgré leurs dénominations pareilles, ces valeurs n'ont rien de commun. L'indice du desré est * ; celle de la mi- . «ule est ; celle de la seconde est '. Ainsi 14" 18' 32^ se lit: 14 degrés 18 minutes 32 secondes.

Les degrés ne sont pas des valeurs de longueur s'évaluant au mètre; ils indiquent seulement quelle partiede la circonférence embrasse Tare considéré. On les emploie pour la mesure des angles ou des quantités angulaires.

Pour mesurer un angle sur le papier, on se sert du f^ifjporteur. C'est un demi-cercle transparent en corae, gradué de degré en degré. In diamètre est gravé au bas . de Finstrument. A partir de Tune des extrémités de ce diamètre, les degrés se succèdent depuis jusqu'à 180, moitié de la circonférence entière, ou moitié de 360".

Fig. 2i.

Pour avoir p;\r exemple la mesure de^ l'angle BAC, "on applique le rapporteur sur l'angle, de manière que le centime do r*instrument soit placé au sommet A de l'angle, et que lo diamètre coïncide avec l'un des côtés, avec AC par iixeiuple. Gela foil on lit à quelle division du rapporteur correspond le second côté. D'après la figure, c'est àladiyilion 50. On dit alors que Tangle BAC est de 50 desrés. Pour les observations astronomiques et pour l'arpèDi se seri de très-grands rapporteurs en cuivre, monun trépied, pourvus de lunettes et nommés grapko- "ur ces instruments, la lecture des minutes est

MESURE DU tBMPS ET MESURB ANGULAIRE. 169

le^ et même celle des secondes lorsque les dimenlu demi-cercle gradué sont suffisantes.

Opérations sur les nombres angulaires. Gqs opéra- >ont conduites absolument de la même manière oue ^rations sur le temps^ en ayant soin de se conioria division du degré en 60 minutes, et de la minute secondes. En voici deux exemples, angle est de 43* 27' 55'^. Quelle est la mesure de sa îëme partie? Il faut diviser par 5 le nombre proposé.

tquième de 43* est 8® pour A0% et il reste 3* que Ton ; en minutes en les multipliant par 60. Le produit 0', qui, ajoutées aux 2T du nombre, donnent 207, cinquième de 20T est 41' et il reste 2', que Ton rén secondes" en les multipliant par 60. Le produit est qui, ajoutées aux 55" du nombre, donnent 175". cinquième de 175" est 35" sans reste.

; reste-t-il d'un arc de 45^ après en avoir retranché un e 20° 36' 42" ? — Le grand nombre ne contenant ni tes ni secondes, on prend un degré sur les 45* et on uit en 60'. De ces 60', 59 sont laissées au rang des tes, et l'autre est réduite en 60 secondes. Les 45" sont représentés par 44° 59' 60*, et la soustraction est rad à l'opération ci-après.

RÉSUMÉ

« Jour est le temps que la Terre met à tourner sur elle-même. 11 de eu 24 heures. L'heure se divise en 60 minutes et la minute en

! année est le temps que la Terre met à faire sa réfolutîon autour eil. Ce temps embrasse à très-peu près 365 jours et un quart, rois aqnées de file, on néglige ce quart de jour, et la quatrième tient compte en ajoutant un jour complémentaire à Tannée, qui 5 ainsi 366jouriï au lien de 365. Les années de 366 sont dites \ bissextiles, les autres sont des années communes.

no NOUVELLE ARITHMETIQUE.

4. Les bosses et les trous qui se trouvent à la naissance des qoitie doigts autres que le pouce permettent de trouver les mois qui ont 31 jours et ceux qui en ont 3U. Février a 29 jours dans les annôei t»lssextiles et 28 daus les années communes.

5. Un siècle embrasse 100 ans. On nomme ère le point de départ de la supputation des années. Dans la chrétienté» les années se comptent à partir de la naissance de Jésus-Christ.

6. L'addition se fait en remontant des unités inférieures aux unités supérieures. Si la somme de secondes donne des minutes, on les retirât pour les additionner avec les minutes et l'on écrit le reste au rang des secondes. Si la somme des minutes donne des heures, on les retient pour les additionner avec les heures, et l'on écrit le reste au rang des minutes. Ainsi de suite.

7 . La soustraction se fait en remontant des nnités inférienres aux unités supérieures. Si la soustraction des minutes, par exemple, ne peut se faire directement, on prend i heure sur le nombre des heures, et on la réduit en 60 minutes que Ton ajoute aux minutes des nombrîes. On a soin après de diminuer d'une unité le nombre des heures, ainsi de soite.

8. La multiplication se fait en remontant des unités inférieures aux unités supérieures. Si le produit des secondes contient des minutes, on les retient pour les ajouter au produit des minutes, et l'on écrit le reste au rang des secondes. Si le produit des minutes contient des heures, on les retient pour les ajouter au produit des heures, et l'on écrit le reste au rang des minutes . Ainsi de suite.

9. La division par un nombre ordinaire se fait en descendant des unités supérieures aux unités inférieures. S'il y a un reste après le qaotient des jours, on réduit ce reste en heures en le multipliant par 24i et Ton ajoute le produit aux heures du dividende. S'il y a on restt après le quotient des heures, on le réduit en minutes en le moltipUiot par 60, et l'on ajoute le produit aux minutes du dividende, ainsi de suite.

Si les deux termes de la division représentent l'un et l'autre aiM certaine durée, on les réduit en unités de la plus petite espèce énoncéBi La division se fait après comme d'habitude.

10. La circonférence se divise en 360 degrés. Le degré vaut 60 minutes, la minute vaut 60 secondes. Les degrés, minutes et secondes servent à la mesure des angles.

11. Les opérations sur les nombres représentant des degrés, des minutes, des secondes de circonférence, se font absolument comme les opérations sur les nombres représentant du temps.

EXERCICES

Faire les additions suivantes :