TABLES DE MULTIPLICATION

Sens horizontal.

90 N0HBBSS EKTIEHS.

Pour former cette table, on écrit les 9 premiers nonibres 1, 2; 3^ 4, 5j 6, 7^ 8^ 9^ sur tlne ligno horizonlalsi

On ajoute chacun de ces noiilbres à lui*mème^ ce qui dotane la seconde ligne horizeutàie^ composée par conséquent des produits de chacun des neuf pr^miiBtb nombres par 2.

En ajoutant chacun des nonibres de la deuxièinë ligne horizontale aVeo le nombre correspondant de la première, on forme la trbisième ligne ^ composée des produits des 9 premiers nombres par 3.

On coDtiûue ainsi eh ajoutant chacun des nombres de la dernière ligne horizontale formée ayeb le nombre correspondant de la première.

Ainsi, les nombres d'une ligne queleonqub boriiéfitale sont les produits des premiers nombres par le ndmbre qui commence cette ligne.

80. D'après cela, si l'on veut trouver le produit de 7 par 6, par exemple, on prend le multiplicande 7 dans la première ligne horizonlale, le multiplicateur 6 dans la première colonne verticale à gauche; on suit la cdlonne verticale comniençadt par 7, la ligné horizontale conlmençant par 6t et le nombre 42, sur leqiiel les deui directions se iéunissent, est le produit cherché.

Cfcmme il est de toute importance cfuë lés élèveâ connaisseiit bien la iaule de muliiplication, on devi'a les exercer à la former euxmêdies, et on les interrogera fréquemmeiit pour s'assurer qh'iis la poséèdent parfaitement.

81. RÈGLE. — Pour muUiplUr un nombre d'autant de chiffres quon voudra par un nombre d'un seul chiffre, on multiplie successivement^ eti commençant par la droite y chacun des chiffres du muUipUcande par le chiffre du multiplicateur.

Si le produU d'un des chiffres dii multiplicande par le multiplicateur n'excède pas 9, on écrit le produit tel qu'on le trouve ; s'il excède 9, on n'écrit que les unités et on reporte les dizaines au produit suivant,

feyEMP tB. — Soit 5039 à moliiplibr par 7*

KëMiftISS filTfiraË. Il

J'éèKs l8 nmltiplieiitide 5039 «t ati'^èsëus lé itinltiplioàteur 7^ pais je souligne te tout pour le eépâiref éci résultat,

dôâ73

Èùétiitè commençant par la droite, je flià 1 1 fois 9 unit js îôai 6â unités, je posh 3 et je retiënâ 6 diiàinëâ pàh^ les fëijorter au produit suivant eii disant :

7 foiâ 3 dizaines font 21 dizâiiiéô et è dé retenue fo&l l7; |é |)oèe ^ et je i-etiëns 2.

7 fols font et 2 dé 1-ëtefiuë font 5, que j^éètiâ.

7 fois 5 font 35, que j'écris.

Le produit demandé est dohc 352'/3.

82. t)ÉiiONSTRATlON. — Là règle est |iarfaitéfeehf C6àfbtae à la dèfiiiitiôn. Car, puisqu'il s'agit d'additionner 7 nombres égaux à 5039, si j'écris ces nombîéé en colonne, d'après là règle de l'addition, j'auirai le tableàd isuivaiit :

Mais^ au lieu de dire : 9 et 9 font 18; et 9, 27; et 9, 86; et 9, 45; et 9, 54; et 9^ 63, j'ai dit tout d'un coup : 7 fois 9 font 63, et ainsi des autres colonnes.

On commence l'opération par la droite, précisément comme dans l'addition et pour la même raison.

83. RÈGLE GÉNÉRALE. — Pour multiplier un nombre entier quelconque par un nombre exprimé par 1 suivi d*au^ tant de zéros que l'on voudra^ il suffit d'écrire à la droite du multipltcande autant de zcro$ (juHL y en a après 1.

ïhi ëfibt, 1 unit< ihultipliée par 10, lOd, 1000, cfenne

32 NOMBRSS BNTIERS.

10 unités ou 1 dizaine, 100 unités ou 1 centaine, 1000 unités ou 1 mille ; donc 37, par exemple, multiplié par 100, donnera 37 centaines ou 3700.

84. RÈGLE GÉNÉRALE. — Pouv multiplier uYi nombre entier quelconque par un autre, on écrit d'abord lç.muUiplicande et au-dessous le multiplicateur, comme pour les additionner; puis on souligne le tout par un trait horizontal.

Ensuite, commençant par la droite y on multiplie le multiplicande par le premier chiffre à droite du multiplicateur, et Von écrit le premier produit partiel au-dessous de la ligne horizontale {en ayant soin d'écrire le premier chiffre à droite au-dessous du chiffre par lequel on a multiplié).

On multiplie de même tout le multiplicande par le second chiffre du multiplicateur^ et l'on écrit ce second produit partiel au-dessous du premier^ en avançant le premier chiffre d'un rang vers la gauche.

On continue ainsi jusqu'à ce qu*on ait épuisé tous les chiffres du multiplicateur, en ayant soin d'avancer chaque produit partiel d'un rang vers la gauche par rapport au produit partiel qui précède.

Cela fait, on souligne tou^ les produits partiels et l'on en fait l'addition.

Le résultat qu'on trouve est le produit des deux nombres proposés. *

8IS. ExEifPLE. — Soit proposé de multiplier589 par 365. J'écris le multiplicande 589 et au-dessous le multiplicateur 365, comme pour l'addition; puis je souligne le tout, ainsi qu'on le voit dans le tableau suivant :

Bnsuittt commençant par la droita, je dis : 5 fois 9, 45,

je pose 5 sous le chiffre 5 du multiplicateur et je retiens 4;

5 fois^S", 40, et 4, 44; je pose 4 et je retiens 4 ; 5 fois 5, 25, et 4, 29, que j'écris.

Passant au deuxième chiffre du multiplicateur, je dis :

6 fois 9. font 54, je pose le chiffre 4 sous ie second chiffre 4 du produit partiel précédent, avançant ainsi d'un rang vers la gauche le produit partiel que je forme, et je retiens 5; continuant, 6 fois 8 font 48, et 5 de retenue, 53; je pose 3 et retiens 5; 6 fois 5 font 30, et 5 de retenue, 35, que j'écris.

Enfin, passant au troisième chiffre, je dis : 3 fois 9, 27; j'écris le chiffre 7 sons le chiffre 3 du produit partiel précédent, et je retiens 2; 3 fois 8, 24, et 2 de retenue, 26; je pose 6 et retiens 2 ; 3 fois 5, 15, et 2 de retenue 17, que j'écris.

Je souligne les trois produits partiels, je les additionne et je trouve 214985, qui est le produit demandé.

86. DÉMONSTRATION. — En effet, multiplier 589 par 365, c'est prendre 365 fois le nombre 589, ou, ce qui revient au même, prendre 589 d'ahord 5 fois, puis 60 fois, puis enfin 300 fois, et faire la somme de ces trois produits partiels.

J'ai d'abord pris 5 fois le multiplicande, d'après la règle, n° 82 , ce qui donne 2945;

Ensuite, je remarque que, pour prendre 589 60 fois ou 6 fois 10 fois, on peut le prendre d'abord 10 fois, ce qui se fait sur-le-champ en écrivant par la pensée à la droite du multiplicande, ce qui donne 5890; et ensuite prendre oe résultat 6 fois. Or, en multipliant par 6, je dirai : 6 fois font que je devrais écrire sous le 5 du produit partiel précédent; mais, comme je dois faire une addition, je puis omettre ce et n'écrire que les produits des chiffres suivants.

De même, pour prendre 300 fois ou 3 fois 100 ibis 589, JB le prends 100 fois, ce qui donne 58900, et je multiplie ce résultat par 3; maïs les deux zéros ne changeraient rien à la somme des trois produits partiels; je puis donc les omettre et passer tout de suite au troisième chiffre.

a4 NQMî^çes jçNnsps.

87. On.commexice rqpératiam parla, 4raite pow «uivre le même ordre que dans les opération^ précédentes; car il est indifférent de commencer par tel chiffre du multiplicateur que Ton voudra, pourvu que Ton fasse biQn attention au rang que doit occuper le premier chiffra du produit partiel que Ton forme.

Si on opérait de gaucl^e à droite, les prodaits partiels seraient avancée d'un rang vers la droite, l'u^ P*r rapport à l'autre.

Cette disposition serait même préférable en vue de la division.

88. Il ne faut pas se tromper sur la valeur des produite partiels qu'on obtient par l'application de la règle. Ainsi, par exemple, 353^ ne représ^ente que 6 fois le multiplicande, tandis que c'est 35340 qui représente 60 fois ce nombl*ë.

Si Ton faisait la âomnae des troifi produtti partiels, tels qu'ils devraient être éferits, si les lérois à la droite dù deuxième et du trôisièmè produit partiel a'étdient pas sous-eofceadu», on obtiendrait 6^6 + 8=14 fbiô te nàdltiplicande, au lieu de 366 fois, comme le donne le vrAi résultat*

80* On peut remarepier qu'il suffirait de changer l'ôi'irc et la disposition des produits partiel», si Ton voulait ftvoîf le produit de 589 par tous les nombres qu'on peut ebtenir en changeant l'ordre des chiffres du multipHcatélir, tels que 356, 536, 653, 635, 563.

80. Premier supplément a la règle généraliî.— - S*<1 y a dans le multiplicateur des aèros placés ent^e d'av^IreB chiffres significatifs, on m tient pas compte de ce^ zéros danà la mulUpHcàtUmy et l'on passe am chiffre Hgni/lèatif suî* vantyen observant d'ceoancer le produit partiel correspond' dant d'autant de rangs plus un ^ vers la gauche, qu'il y a de zéros in^rmédicdres.

On appelle significatifs tous les chiffres excepté le zéro. Cette dénomination n'est pas tout à fait exacte, car le zéro a aussi sa signification, et mèm6 Uès-importante, dans la représentation des nombres par les chiffre».

ApPI*C4TIQJI.. Soit ^ «lultiplier 94Q7 p|>r 8005- .

:f* — rr:^

IfcB 269035

Je muUiplîe a^atord le miiltiplîcan(ie par 5^ ce qui donne 47035; puis, passant tout de suitjB au chiffre 3, je dis : 3 fois 7, 21^ j« ftm l «ous h <iiHffre 7 en l'avançant de deux rangs plus un, c'est-à-dire trois rangs vers la gauche.

91. DÉMONStRATïON. — Eh èé*et, après avoir pris 5 fois le multiplicande, il restait à le prendre 3000 fois; ce qui se fait en écrivant par la pensée tî*oîs zéros à la droite du multiplicande, puis multipliant le résultat 9"40'^00O par â, ce qui âd^nera Ma &dmbrè Uttûivé paï* troiè iér^. En omettant ces trois zéros , on devra placer le chiffre sui^ftfil h g^udxe au quatri^clae rang^ c'ëst^*-dire ^u'oa iivimetra le premier chiffre du produit de tr^iis i'aiigs vèr« U g a«Qbtf^ et enâii d'tutaii^ do raogs pk» w (fti'il jF ft de •sérHi -

Âtt surplus^ on évittrra tont« erfeiK* à ^ aujet «i ToV prend soin d'écrire le premier chiffre dé ^ribftquet prod«ii partiel loua h àâSm par leituel on muffipUe*

OS. Deuxième ^supBLÉnsffT a la règls générai^; -^ Lorsque le muhipUcév46 ou le ntuUipHcatBur^ ou mérm tdtv les deux y sont termina par de^ tèHh^ m fttutliplie i$s dûttûs nombres snm WnW compte dès térôk ; mais quand on & éttsnu lé produit^ ofi écrit à sa droite autant de zéro^^'U ^ en a à la fin du multiplicande et du mult^tieûtéuré

ExE]$iï>LÊ. — . ëoît 450Ô0 à multiplier par 7300

i m ot '

3285000ÛO , .

On multipliB ©©âm^ «'il »'y awl que 4^ i ^ijaûplier

par 73, ce qui donne 3285 , et , t droite de ce produit., j'écris 5 zéros, trois pour le multiplicande et deux pour le multiplicateur.

Démonstration. — En effet, pour multiplier 45000 par 7300, je multiplie d'abord par 100, ce qui donne 4500000, résultat qu'il faut prendre 73 fois; or, dans l'addition de 73 nombres égaux à 4500000 , les 5 zéros qui terminent ce nombre se retrouveront nécessairement dans la somme.

2" Usage de la maltiplication.

93. Parmi les questions très-nombreuses où la multiplication doit être employée, il faut remarquer les suivantes :

1® Rendre un nombre quelconque un nombre donné de fois plus grand.

On devrait dire plus co^ectement : un nombre donné de fois aussi grand.

2^ Connaissant le prix d'un seul objet, calculer le prix d'un nombre donné d'objets.

3* Sachant combien d'objets on peut acheter pour 1 franc, déterminer le nombre d'objets qu'on pourrait avoir pour une somme donnée.

Par exemple, si l'on sait qu'un objet coûte 25 francs ^ pour avoir le prix de 348 objets de même espèce, il faudra multiplier 25 francs par 348. Car le prix demandé se com^ posera évidemment de 848 fois 25 francs.

Si pour 1 franc on a 38 objets, pour 59 francs on aura 59 fois 38 de ces mêmes objets, et par conséquent il faudra multiplier 38 par 59.

Le raisonnement fait donc toujours connaître quel est celui des deux nombres donnés Qui doit être pris pour multiplicande. t

94. Remarque essentielle . — Dam toute multiplication, le multiplicateur est toujours un nombre abstrait y et le produit est toujours de la même espèce que le multiplicande; cela est évident de soi-^méme; ainsi la xnultipUca-

tion^ dans les cas précédents, n*étant qu'une addition abrégée, si Ton écrivait en colonne autant de nombres égaux au multiplicande qu'il est indiqué par le multiplicateur, ce dernier nombre ne paraîtrait pas dajis le calcul.

95. Théorème. — Le produit de deux nombres (considérés comme des nombres abstraits) ne change pas^ quand on intervertit V ordre des deux facteurs^ c'est-à-dire quand on prend le premier pour multiplicande et le second pour multiplicateur, ou réciproquement le second pour multiplicande et le premier pour multiplicateur.

Démonstration. — Je dis que le produit de 7 par 9, par exemple, est égal au produit de 9 par 7, et, pour me servir des signes convenus, que 7X9 = 9X7.

En effet, décomposant 7 en ses unités, j'aurai

qu'il s'agit de répéter 9 fois ; or, chaque unité prise 9 fois donnera 9 unités : j'aurai donc autant de fois 9 unités, c'est-à-dire

ou 9 unités répétées 7 fois, et enfin 9X7.

Donc, 7X9 = 9X7, ce qu'il fallait démontrer.

Un raisonnement parfaitement semblable "pouvant s'appliquer à deux nombres quelcongues , quelque grands qu'on les prenne, le théorème est démontré et peut être établi en principe.

3** Preuve de la multiplication.

96. RÈGLE. — La preuve delà multiplication se fait par la multiplication des mêmes nombres , mais en renversant l'ordre des facteurs ^ c'est-à-dire en prenant le multiplia cande pour le multiplicateur,' et réciproquement.

DÉMONSTRATION.-^ En effet, le produit de deiHc factettrs ne change pas quand on intervertit l'ordre des facteuts.

97. pROfiLÈME. — On a vendu 34^ balles de coton à 67 francs la balle. Combien a-t-on retiré de cette veixteî ,

SoLtfnôN. — Évidemment 348 fois 67 francs; il fâutdoûc multiplier 67 par 348.

Maitiplication.

Preuve.

UZ6

La vente a rapport^ %$316 fn^a«^ 9^ On ^ op4ré owme sur d^^ npmbçef ii|i|tci^ QUÙs, ^u résistât i on a ré^at^li k wm 4^ i*n^é«

Ouestionûftire.

qu'est-ce que la multtplication ? (76) Qu'est-ce que le multipiicai}(lâ.i; (}&) Qu'est-ce que le multiplicateur? (76) Ç^m^ t ft'apBeUf ^ iféi^\^\ ^ C9\k9

opération? (76) Qa*«6t'6e qu'on entend par facteurs

d'un produit? (7G) Gomment indique- t-qn la multiplication ? (76) . ' . f- .

Qu'entend-on par multipUo^r un uQmlire

quelconque par un nombre entier? (î 7) Qu'est-ce q«|^ U t^» ée aittmpUfi&-

tion?(79> Comment se sert-on de cette table? (8o) ^Ifp^ Ift règi« de la mulliplicaiidn doi

nombres entiers p.^r UU ^qmbre d'u^

Setil cniltïe (tn) Gomment multiplie-tTon un nombre

entier par 10, 100, lOOO, etc.? (Si) Quelle est la règle de la içultiplicatiqn

des nombres ? (84 ) Pourquoi commence- 1- on l'opération

f9F Ift droite? (89)

un chiffre quelconque du moltipli-

ca|eur?(87) Qu arriverait- il si l'on procédait de

iêVckQ ^ drpi^? t^) .

Comment fait-on lorsqu'il y a dans le

multiplioateur des îéroà placée entfè

d'autres chitfres signijio^Uf^?. (fK^ Comment abrége^t-on la multiplication

lolisque le nïuttiplicande et le multi-

plicaieur s^{ teri^inés par des zér

Qittls sont les prindpaQA uatg9lt4e la

multiplication? (03) Comment reconnaît-on le multiplicande

d^uis un probltaie qui conduit i 1»

multiplication? (93^ Faites voir que dans toute multiplication le multipUcsit.eÛEestt<H]>aarsuai

nombre abstrait? (94) pémontrez qu^ le oroduit de deux nom* ' bres ne cnange pas quand on inter>

vertit l'ordre des facteur». (94) Gon^ment ^e fait la preuve de U mol-

:^liwti(?n? (W)

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