DE LA DIVISION

26. La division est une opération par laquelle, un produit et Pun de ses facteurs étant connus, on peut trouver Vautre facteur.

Le produit donné prend le nom de dividende, et le facteur connu se nomme diviseur. Le résultat de l'opération, ou le facteur cherché, est appelé quotient.

Nous remarquerons que la division n'est pas autre chose que la soustraction ; car, au moyen de la soustraction, on peut faire toute sorte de divisions, comme on peut faire la multiplication par l'addition, ainsi que nous l'avons démontré. De sorte que, l'arithmétique se réduit, à proprement parler, à deux opérations fondamentales.

Soit proposé de diviser G par 2 : 6 étant un produit, et 2 l'un des facteurs, il s'agit de trouver le nombre qui, multiplié par 2, donne 6 au produit ; en d'autres termes, c'est chercher combien de fois il faut ajouter l'unité à 2, pour avoir 6.

• Cette démonstration est nouvelle, mais je la crois fort utile.

RAISONNEE.

Or, d'après ce que nous avons dit (24), il suffit de chercher combien de fois 2 est contenu dans 6 ; à cet effet, on retranche d'abord 2 de 6, ce qui donne 4 ; on ôte 2 de 4, le reste est 2 ; et enfin, 2 ôté de 2 reste 0. Après avoir ôté 3 fois deux de 6, on voit qu'il ne reste plup rien, d'où l'on conclut que 6 contient 3 fois 2, donc, le quotient cherché est 3.

Cet exemple peut s'appliquer à tout autre nombre ; maie ce calcul devenant fort long, quand le diviseur est contenu un grand nombre de fois dans le dividende, voici la manière de simplifier l'opération.

5688 à diviser par 6 : il faut trouver un nombre qui, multiplié par 6, donne pour produit 5688. Ici, le nombre demandé ne peut pas avoir des mille, car 1000 X 6 donnerait 6000, et le dividende n'a que 5688 ; donc le quotient cherché doit avoir moins de 4 chiffres ; mais il peut avoir des centaines ; en effet, 6 X 100 donne 600, nombre plus petit que 5688 ; par conséquent, le nombre qu'il faut multiplier par 6, pour avoir 5688, se trouve compris entre 100 et 1000, c'est-à-dire, plus fort que 100, et moindre que 1000, donc il se compose de 3 chiffres.

Ainsi, après avoir disposé l'opération de la manière suivante :

Dividende, 5688

1er reste, 028

6 Di 948 Quotient

2e reste, 048

3e reste, 00 Je commence par chercher le chiffre de l'ordre le plus élevé, en disant : puisque le quotient doit avoir des centaines, ces centaines ne peuvent se trouver que dans les 56 centaines du dividende ; je prends donc 56 pour dividende partiel, et je trouve que ce nombre contient plus de 9 fois le diviseur, mais il ne peut pas le contenir 10 fois, car 10x6 = 60, et le dividende partiel n'est que 56 ; je pose 9 au quotient, et je multiplie le diviseur 6 par 9, en écrivant le produit 54 sous 56 : je retranche ce produit du dividende partiel, et je trouve 2 de reste. Ayant trouvé le chiffre des centaines du quotient, il faut chercher, de la même manière, celui des dixaines ; pour cela, j'observe que le 2 de reste provenant des retenues qu'on a faites en multipliant les dixaines du quotient par le diviseur, ce 2 doit nécessairement faire partie du second dividende (25) ; ainsi, à

coté de ce 2, je place le 8 des dixaines du dividende, ce qui dorïn^ 23 dixaines ; je cherche combien de fois ce nombre contient le diviseur, et je trouve qu'il y va plus de 4 fois, mais il ne peut pas y aller 5 fois, car 5 x 6 = 30, tandis que je n'ai que 28 ; je pose 4 à droite du 9, et je dis, 4 fois 6 font 24, que j'écris sous 28 ; fesant la soustraction, il reste 4 dixaines, que l'on avait retenues en multipliant les unités du quotient par les unités du diviseur.

Je prends les 8 unités du dividende, et j'ai 48 unités pour nouveau et dernier dividende partiel. 48 contient 8 fois 6, je pose donc 8 unités au quotient ; 6 X 8 — 48 — 48 z± 0, ce qui termine l'opération.

Ainsi, d'après notre définition, 6 x 948 doit donner 5683.

Si l'on avait suivi le premier procédé, il aurait fallu faire 94$ soustractions, ce qui eût également déterminé le quotient. Mais c'est précisément ce que nous venons de faire ; seulement, au lieu de retrancher 6, puis 6, puis, etc., nous avons retranché tout d'un coup 6 fois 900, ensuit 6 fois 40, et enfin 6 fois 8, ce qui est exactement la même chose, mais plus expéditif, puisque au lieu de 948 soustractions, nous n'en avons fait que 3.

Lorsqu'on a a diviser par un nombre d'un seul chiffre, comme ci-dessus, on abrège encore l'opération, en se dispensant d'écrire les dividendes partiels, ainsi que les restes. Pour trouver le quotient de 5688 par 6, on dit : le sixième de 56 est 9 pour 54, je pose 9 centaines au quotient ; il reste 2 centaines qui valent 20 dixaines, lesquelles jointes aux 8 dixaines du dividende, donnent 28, dont le 6e est 4 pour 24, je pose 4 à droite du 9, et il reste 4 dixaines, ou 40 unités, qui jointes aux 8 unités du dividende font 48, dont le 6e est 8, sans reste ; je pose S unités ai? quotient.

2e Exemple. Soit 1689282 à diviser par 369.

En raisonnant comme dans l'exemple précédent, nous voyons d'abord que le quotient doit être compris entre 10000 et 1000, puisque le dividende est moindre que 369 X 10000, et plus grand que 369 X 1000 ; donc ce quotient doit avoir 4 chiffres ; etr pour le trouver plus facilement, nous serons obligés de faire 4 divisions partielles.

Remarquons premièrement que diviser eat le contraire de multiplier, c'està dire que, par la division, on défait ce qui a été fait par la multiplication.—* Or, pour bien comprendre la division, examinons en détail ce qui atrive quand

RAISONNER

•« multiplie un nombre de plusieurs chiffres par an autre qui en a aussi plusieurs j par exemple, 57 X 79,

Nous voyons que le chiffre 3 unités du produit 4503, ne fait pas partie du produit de 57 parles dixaines du multiplicateur ; que ce produit du- multiplicande par les 7 dixaines du multiplicateur, qui est 399 dixaines, se trouve; compris tout entier dans la partie 450 du produit total, qui, en autre du produit de 57 par les 7 dixaines du multiplicateur, contient les 51 dixaines du Ici produit partiel provenant de 57 multiplié par les 9 unités du multiplicateur- Conséquemment, si Ton voulait diviser 4503 par 57, on voit qu'il faudrait chercher le chiffre des dixaines du quotient, dans la partie 450 du dividende, et que cette première divisions partielle donnerait nécessairement un reste, etc. On voit, enfin, que les restes proviennent des retenues que l'on a faites, soit en multipliant chaque chiffre du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, soit en additionnant les produits partiels. Donc, pour pouvoir décomposer un nombre dans toutes ses parties, il faut avoir égard à ce qu'on a fait pour le composer, et faire tout le contraire de ce ou'on fait en premier lieu

Revenons à notre but qui est de diviser 1689282 par 369. Le dividende étant la somme de plusieurs produits partiels, il est clair que si nous connaissions chacun de ces produits, en les divisant séparément par le diviseur, nous aurions chaque chiffre du quotient : mais au moyen de divisions partielles, nous découvrons en quelque sorte tous les produits partiels, puisque nous décomposons le nombre donné en autant de parties principales qu'il y a de chiffres au quotient.

Dividende, 1689.2.8.2. 369 Diviseur.

1er reste,

4578 Quotient.

2e reste, 2878

3e re3te, 2952

4e reste.

Nous savons déjà que le quotient doit se composer de 4 chiffres ; cherchons d'abord le chiffre qui doit exprimer les mille de ce quotient, et raisonnons ainsi : lorsquon a multiplié le diviseur 369 par les mille du quotient, le produit n'a pu être que des mille, et l'on a dû écrire au 4e rang le 1er chiffre qui se tronve à droite de ce produit partiel (18); or le chiffre des mille du quotient doit nécessairement se trouver dans les 1689 mille du dividende ; nous prenons donc les 4 chiffres à gauche pour dividende partiel, nous cherchons combien de fois cette partie du dividende contient le diviseur, en disant : en 1689 combien de fois 369, ou plus .simplement, en 16 centaines combien de fois 3 centaines, parce que la plus forte partie d'un nombre contient la plus forte partie d'un autre nombre, à peu près autant de fois que le 1er nombre contient le 2e, et nous trouvons qu'il y va 5 fois, mais nous rejetons ce nombre comme trop fort, puisque 369 X 5 = 1845, nombre supérieur à 1689 ; nous essayons 4, que nous trouvons bon, vû que 369 X 4 — 1475 ; nous plaçons 4 au quotient, et nous multiplions le diviseur par 4, en écrivant le produit sous 1689 ; la soustraction faite, il reste 213. Ce reste, comme nous venons de le voir, n'appartient point au produit du diviseur 369 par les mille du quotient ; il n'était entré dans la composition du nombre 1689, que par des retenues et par l'addition des produits partiels, et conséquemment aux dépens des autres parties du dividende principal ou produit total ; il doit donc faire partie du 2e dividende partiel, qui contient le chiffre des centaines du quotient. Ainsi, à côté de ce reste, nous abaissons le chiffre qui vient immédiatement après dans le dividende, et nous avons 2132. En 2132 combien de fois 369 ? ou en 21 centaines combien de fois 3 centaines ? au premier coup-d'œil, il semble qu'il y va 7 fois, mais 369 x 7 = 2583, nombre supérieur à 2132, ce qui rend la soustraction impossible, et nous prouve que 7 n'est pas le chiffre des centaines du quotient. Si nous prônons 6, nous nous assurons de la même manière que ce chiffre est encore trop fort, et en prenant 4, nous trouvons qu'il est trop petit, parce que, après avoir multiplié 369 par 4, et avoir retranché le produit 1476 de 2132, le reste 656 est. plus fort que 369, ce qui montre que le dividende partiel 2132 contient le diviseur une fois de plus. Nous prenons donc 5, qui convient, car 369 x 5 — 1845, et, la soustraction faite, il ne reste que 287. Ce reste doit aussi être divisé, mais c'est une partie du produit du diviseur par les dixaines du quotient, laquelle partie avait concouru à la formation du nombre 2132, selon les règles de la multiplication, donc il doit servir à nous faire trouver le chiffre des dixaines de notre quotient. A droite de ce reste, nous descendons les 8 dixaines du

RAISONNEE.

dividende, ce qui nous donne, pour 3e dividende partiel, 2S78 dixaines.

En 2878 combien de fois 369 ? ou en 28 centaines combien 3 centaines ? en tâtonnant comme ci-dessus, nous trouvons qu'il y est contenu 7 fois ; nous posons 7 au quotient à droite du 5, nous multiplions 369 par 7 dont le produit est 2583, que nous retranchons de 2878, et nous avons pour 3e reste 295, à côte' duquel, nous abaissons les 2 unités du dividende, et nous n'avons qu'à savoir combien de fois 2952 contient 369 ; nous voyons qu'il le contient juste 8 fois, attendu que 8 fois 369 font 2952, nombre égal au dernier dividende, et par conséquent le 4e reste est 0.

De sorte que le quotient cherché est 4578, ainsi qu'on peut s'en assurer en multipliant ce nombre par le diviseur.

Dans la pratique, on n'écrit que les chiffres nécessaires à la formation des dividendes partiels.

Exemple. 3e. 925.6.8. 456

Le 1er dividende partiel 925 contenant 2 fois le diviseur 456, on pose 2 au quotient, on multiplie 456 par 2, et au lieu d'écrire le produit, comme nous l'avons fait ci-devant, on le retranche immédiatement, en disant : 2 fois 6 font 12, 12 de 5, on ne peut ; j'emprunte 1 qui vaut 10 et 5 font 15, 12 de 15 reste 3, que je pose sous le 5 et retiens 1 (24 . 25) ; 2 fois 5 font 10, et 1 retenu valent 11 ; 11 de 2, on ne peut ; j'emprunte 1 qui vaut 10 et 2 font 12 ; 11 de 12 reste 1, que je pose sous le 2 et retiens 1 ; 2 fois 4 font 8 et 1 retenu font 9 ; 9 de 9 égale 0.

À côté du reste 13, on abaisse les 6 dixaines du dividende, ce qui fournit le 2e dividende partiel 136 ; mais 136 ne peut pas contenir 456, ce qui prouve que le quotient ne doit pas avoir de dixaines ; alors il faut mettre un 0 au quotient à droite du 2, et ensuite abaisser les 8 unités du dividende, ce qui donne 1368 pour 3e dividende partiel, lequel contient 3 fois le diviseur, et il ne reste rien.

Quand on est obligé d'emprunter 2, 3, 4, etc. on sait qu'ils valent 20, 30, 40, etc.

Les raisonnemens précédens conduisent à cette règle générale : Pour diviser un nombre par un autre, on place le diviseur à droite du dividende, en les séparant par une ligne verticule ; on en tire une autre horizontale sous le diviseur pour le séparer du quotient que l'on écrit dessous. On prend sur la gauche du dividende assez de chiffres pour contenir le divisenr ; on cherche combien ds fois cette partie du dividende contient le diviseur, et l'on écrit sou» le diviseur le chiffre qui indique ce nombre de fois. On multiplie le diviseur par ec chiffre, en écrivant le produit sous le dividende partiel ; aprè3 avoir fait

!a soustraction, on abaisse à droite du reste, le chiffre du dividende qui suit iat partie déjà divisée, ce qui donne un 2e dividende partiel, sur lequel on opère de la même manière que sur le premier ; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'oa ait abaissé tous les chiffres du dividende. Si, après avoir multiplié le diviseur par le chiffre qu'on a mis au quotient, le produit était plus fort que le dividende partiel, ce serait une preuve que ce chiffre est trop fort, et il faudrait l'effacer pour y en mettre un autre. Si, au contraire, le reste de la soustraction était plus fort que le diviseur, ou s'il lui était seulement égal, on conclurait que le chiffre mis au quotient est trop petit, et il faudrait en conséquence l'augmenter. Lorsqu'après avoir abaissé un chiffre, le dividende partiel est trop petit pour pouvoir contenir le diviseur, avant d'abaisser un autre chiffre, il faut mettre un 0 au quotient, afin de conserver aux chiffres trouvés précédemment le rang qu'ils doivent occuper.

Ire Question. — Combien 684 mois font-ils d'années 1

Réponse : Puisque une année se compose de 12 mois, il est clair qu'il y aura 12 fois moins d'années que de mois : il faut donc trouver un nombre 12 fois plus petit que 684, c'est-à-dire^ décomposer 684 en 12 parties égales : e» d'autres termes, il s'agit de chercher le nombre qui, multiplié par 12, donne

Ainsi, en divisant 684 par 12, on trouve 57 ans.

2e Question.— 27 aunes de drap ont été payées 405 francs ; combien cela fait-il par aune 1

Réponse : Si l'on connaissait le prix d'une aune, on voit qu'il faudrait répéter ce prix 27 fois pour avoir 405 fr. ; or connaissant le produit 405 et le facteur 27, il est facile de trouver l'autre facteur.