REDUCTION DES FRACTIONS DECIMALES EN FRACTIONS * ORDINAIRES

59. Rien n'est plus facile que de mettre une fraction décimale sous la forme d'une fraction ordinaire : il suffit, pour cela, de prendre le nombre décimal pour numérateur, et de lui donner, pour dénominateur, V unité suivie d'autant de 0 qu'il y a de chiffres décimaux dans le nombre proposé.

Ainsi 0,5 = fV;0,25 = TW; 0,375 = TVf%? 0,4375 = rVVVV' etc* ^n simplifiant ces fractions, on trouvera (34 et 35) que 0,5 = J, 0,25 = 0,375 = f , etc. Si le nombre décimal a des entiers, on pourra les écrire d'abord, et ensuite hx fraction

comme nous venons de le faire. Ainsi 15,75 =15 L.4 == 15

j ; 12,5 = 12 5 = 12 Mais si l'on veut avoir les entiers en fraction, il n'y a qu'à faire disparaître la virgule, et l'on aura (39 et 51) 15,75 = VôV» = (34) VV = V = ™ ï î 12>5

Comme on le voit, on retrouve ainsi la fraction génératrice, c'est-à-dire, la fraction ordinaire qui avait fourni la fraction décimale, mais cela n'a lieu que lorsque la fraction décimale est finie.

Les fractions périodiques peuvent s'exprimer en fractions ordinaires de la même manière que celles que nous venons de réduire : ainsi 0,41666

Mais la fraction ainsi réduite n'est j'amais équivalente, non plus que la fraction décimale, à la fraction ordinaire qui a donné naissance à la période, et il n'est pas possible de revenir, de cette manière, à la fraction génératrice. Voici la règle pour y parvenir.

60. D'abord, il faut distinguer si la période est simple ou mixte : dans le 1er. cas, on prend les chiffres de la période pour numérateur, et Von donne pour dénominateur autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période.

Soit proposé de revenir à la fraction ordinaire qui a fourni la fraction périodique simple.

0,272727, etc.

La période se composant de 2 chiffres, nous avons = -fc.

Soit encore 0,33333, etc. ; cette période n'ayant qu'un chiffre, il vient | =

Soit enfin, pour 3e. exemple,

0,285714285714285714, etc.

Ici la période étant formée de 6 chiffres, nous aurons d'après la règle, 2.s AJLJ± * en cherchant le plus grand commun diviseur

& ' 'J 9 9 9 9 9* r te

(35), qui est ici 142S57, et divisant les 2 termes de la fraction par ce commun diviseur, on obtient f , qui est en effet la fraction demandée.

Si la fraction périodique est mixte, on recule la virgule jusqu'au commencement de la période, et Von réduit la période en fraction ordinaire, comme dans le 1er. cas. La partie qui se trouve à gauche de la virgule, est considérée comme un entier, que Von met sous la forme d'une fraction, en lui donnant V unité pour dénominateur, ce qui fournit 2 fractions, mais autant de fois dix fois trop fortes qu'il se trouve de chiffres avant la période (50) ; on les rend donc autant de fois dix fois plus petites, en écrivant un ou plusieurs 0 à droite de leur dénominateur (31).

RAISONNEE. 55

Ces deux fractions, réduites au même dénominateur et réunies, donnent la fraction demandée.

Soit, pour 1er. exemple, la fraction périodique mixte 0,416666, etc.

En suivant la règle, nous aurons d'abord 41,6666, etc. puis Y et f ou ■§, fractions 100 fois trop fortes.

Les rendant 100 fois plus petites, il vient ^gïï ; les réduisant au même dénominateur, nous avons ^-g^ dont la somme

Prenons encore, pour exemple, 0,83333, etc.

Nous avons 8,3333, etc. donc les 2 fractions f et f , mais dix fois trop fortes :

Rendons-les 10 fois plus petites, ce qui nous donnera f*ïï, ou, en les simplifiant, f , -J6 = f J et dont la -somme égale

On arrive encore au même résultat, en reculant la virgule jusqu'après la Ire. période, et en retranchant ensuite la partie non périodique de tout le nombre qui se trouve à gauche de la virgule : la différence que Pon obtient est le numérateur de la fraction. On lui donne pour dénominateur autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période, et autant de 0 qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique.

De cette manière, 0,41666, etc.

nous donnera 416,666, etc.

retranchant 41

Reste, 375, numérateur de la fraction. La période n'ayant qu'un chiffre, et la partie qui précède en ayant deux, nous avons | =r De même 0,8333, etc. vient 83,333 ôter 8

Reste, 75

Donc H = f.

61. Pour nous rendre raison de la légitimité de ces règles, rappelons-nous le No. 29 6°, où nous avons démontré qu'une dixaine égale 9 -f 1 ; que 2 dixaines égalent 9 -f 9 -f- 2 ; 3 dixaines, 9 + 9 x 9 + 3, ... 100 = 99 + 1; 110 = 99 4- 9 + 1, . 1000 = 999 = 1, etc.

Donc J = 0,1111, etc. ; | = 0,2222, etc.

^ = 0,010101, etc ; ïï^ïï = 0,001001, etc.

Considérons de plus que, pour réduire en décimales, notiê multiplions successivement par 10 le numérateur d'une fraction ou le reste d'une division, et poursuivant toujours la division par le même nombre, nous obtenons au quotient des unités de dix en dix fois plus petites, suivant le système de numération, c'està-dire, des fractions de fractions.

Lorsque la fraction décimale est finie, l'unité est donc considérée comme partagée exactement en parties de dix .... , par conséquent, dans ce cas, si nous voulons représenter une fraction décimale finie en fraction ordinaire de même valeur, en prenant le nombre décimale pour numérateur, que Ton considère alors comme entier, il faut lui donner pour dénominateur un nombre composé d'autant de dix que nous avons multiplié de fois par 10.

Quand la fraction est périodique, il est évident qu'elle ne doit pas avoir 10, ou un nombre composé de plusieurs fois 10, puisque l'on ne peut assigner un nombre exact de parties quelque petites qu'elles soient, et qu'ainsi l'unité ne saurait réellement être divisée en parties de 10.

D'ailleurs, si nous représentons par x la valeur de la fraction génératrice de 0,272727, etc. en reculant la virgule de 2 rangs à droite, c'est-à-dire, en prenant les 2 chiffres de la période pour numérateur, nous prenons évidemment un nombre 100 fois plus fort qu'il n'est en réalité ; il faut donc multiplier aussi x par 100, afin de conserver l'égalité de la quantité que nous comparons avec elle-même.

Donc 100 x = 27,2727, etc.

Or 0,2727, etc. = x.

Pour revenir à la fraction ordinaire, nous n'avons pas besoin de la partie qui est à droite de la virgule, puisque ce sont les mêmes chiffres qui se reproduisent à l'infini.

De 100 x — 27,272727, etc. retranchons donc 1 x = 0,272727, etc.

Reste, 99 x = 27,000000

Divisant les deux termes de cette égalité par 99, nous avons x = | = — 3, telle est la valeur de x.

Soit maintenant la fraction périodique mixte 0,41666, etc. : Nous aurons, x =: 0,416666, etc. ;

Reculant la virgule de deux rangs,

Il vient 100 x = 41,6666 ;

Mais 0,6666 = § ou § ;

Donc 100 xzz 41 -f- § \

RAISONNES, bi

Rendons les deux termes de cette dernière équation 1 00 foi» plus petits, ce qui nous donnera

-r JÈâ i 2. — L 2.JL < J. 4« J 2.i. 5

Pour démontrer le second précédé, prenons le même ex' ernple :

Nous avons d'abord x sr 0,416666, etC; Puis, 100 x = 41,6666, etc.

Et enfin 1000 x == 416,6666, etc. ; pour faire disparaître U partie à droite de la virgule, de la 3e. de ces égalité,

1000 x = 416,6666, etc.

Retranchons la 2e. 100 x = 41,6666

Reste, 900 x = 375 . . . .

D'où x s Ali. —

D'après cette méthode nous voyons que* quoique l'on ne puisse jamais obtenir l'unité, quelque loin qu'on pousse la division (on peut en approcher de très-près), ,

la fraction 0,999, etc. ss § sa 1 j

0,00999, etc. = =s X m 0,01.

Ainsi, par exemple, si le quotient d'une division était 24,9999,

etc., on pourrait librement prendre 25 pour quotient exact.

Pareillement le quotient 24,0999, etc. serait 24,1.

Le quotient 24,00999, etc. est 24,01 ; ainsi de suite.

Les nombres terminés à droite par des zéros n'étant divisibles que par 2 ou par 5, ou par le produit de ces 2 nombres, ou le produit de chacun d'eux multiplié plusieurs par lui-même, tel que 4, 8, 16, 32, etc. 25, 125, etc., il s'ensuit qu'une fraction sera périodique toutes les fois que le diviseur n'est pas 2 êu 5, ou formé des seuls facteurs 2 ou 5,