RAISONNES

si le chiffre des dixaines et celui des unités sont divisibles par 4, tout le nombre le sera aussi Par. exemple, 7924 est divisible par 4, parceque 7924 — 7900 24 ; or 7900 et 24 sont les deux parties de 7924, et comme ces deux

parties sont des multiples de 4, 7924 a aussi 4 pour facteur.

30. Tout nombre composé de plus de 3 chiffres est divisible par 8, si les 3 chiffres qui expriment les centaines, les dixaines et les unités, forment ur multiple de Mae un nombre qui a plus de 3 chiffres se compose de mille, de centaines, de dixaines et d’unités ; or les mille ont pour facteur le nombre 8 ; donc si les 3 derniers chiffres sont un multiple de 8, un nombre composé de 4, 5, 6, 7, 8,.... 13 chiffres sera divisible par 8.

Tels sont, par exemple, les nombres 9112, 785120, 3174124, etc. Pour connaître si un nombre est divisible par 8, on essaie de diviser les 3 chiffres à droite par 8, et si la division ne laisse aucun reste, il est certain que tout le nombre est exactement divisible par 8.

5o. Les nombres terminés à droite par 0 ou par 5, sont divisibles par 5.

En effet, en divisant un nombre quelconque par 5, le reste ne peut pas être au-dessus de 4 (26) ; si les dixaines laissent un reste, il ne pourra done valoir que 10, 20, 30, 40, si le chiffre des unités est un 0 ; et si c’est un 5, on aura, pour dernier dividende jartiel, un des nombres 15, 25, 35, 45 ; or tous ces nombres sont divisibles par 5 ; donc tout nombre terminé à droite par O ou par 5, est divisible par 5.

60. Si la valeur absolue des chiffres qui composent un nombre forme une somme divisible par 9, le nombre lui-même est divisible par 9. Ainsi 2678 et 5 49 6 3 sont divisibles par 9, parce que, dans le ler, la somme des chiffres est 18, qui admet 9 pour diviseur ; que les chiffres du 2e donnent 27 qui est aussi divisible par 9.

La raison en est bien simple : chaque dixaine est égale à 9 -E 1; chaque centaine, à 99 Æ 1; chaque mille est égal à 999 E 1; et ainsi de suite,

Or, il est aisé de voir qu’un nombre quelconque est un multiple de 9 augmenté d’autant d'unités qu’il y en a dans la somme des chiffres qui composent ce nombre : donc, si ce nombre d’unités que laisseront nécessairement les divisions partielles, est divisible par 9, le nombre proposé le sera aussi.

Pour rendre cette démonstration plus sensible, observons que le nombre 2673, par exemple, peut se décomposer de la manière suivante: 2000, 600, 70, 3% La 1re partie, divisée par 9, laisse 2 de reste ; la 2e, 6 ; et la 3e, 7. Ces 3 restes réunit avec la 4e partie, égalent la somme des chiffres du nombre 2673, c’est-à-dire 18. Mais le nombre déjà décomposé peut encore se décomposer ainsi qu’il suit :

La réunion de toutes ces parties égale le nombre proposé. Or chacune des 15 1res parties, divisée par 9, donne 1 de reste, il est facile de le voir; il y . donc 15 unités de reste, lesquelles ajoutées avec la 16e partie forment

etc.

à Donc, puisque le reste est divisible par 9, le nombre proposé admet ce même iviseur,

To. Ce que nous venons de dire à l'égard du nombre 9, s'applique aussi au nombre 3, et la démonstration est à peu près la même,

Mais remarquons de plus que, 9 étant un multiple de 3, tout nombre divisible par 9 Fest aussi par 3, quoique tout nombre divisible par 3 ne le soit pas

par 9.

80. Enfin lorsqu'un nombre divise toutes les parties d’une somme, il divise

. Cette somme, parceque le quotient fourni par la division de la somme se eorm-

pose de tous lés quotiens que l’on obtient en divisant ses diverses parties par le même diviseur. Par exemple, 18, 24, 12, 30, 42, 36, étant divisibles par 6, il est certain que la somme 162, provenant de tous ces nombres, est aussi divisible par 6.

s & Ne connaître si un nombre est divisible par 10, 100, 1000, etc. voyez e No. 12.

Noto.—Tout nombre est divisible par lui-même, et donne 1 pour quotient ; mais il n’est jamais divisible par un nombre plus grand que sa moitié.