MULTIPLICATION DES NOMBRES DECIMAUX

54. La multiplication des nombres décimaux s’effectue comme celle des nombres entiers, sans faire attention à la virgule, mais

di lorsque l’opération est finie, il faut séparer, à droite du produit,

MN autant de décimales qu’ y en a dans les deux facteurs. Par

D exemple, s’il s’agit de multiplier 5,25 par 3,7, l'opération se ré-

duit à multiplier 525 par 37, et le produit sera 19425 ; mais, er supprimant la virgule, le multiplicande 5,25 est devenu 100 fois plus fort ; le multiplicateur 3,7 est devenu dix plus fort (51), donc le produit est d’une part 100 fois trop fort, d’une autre, 10 fois trop fort, et par conséquent mille fois trop fort. Il faut donc, pour rendre au p:s'uit sa juste valeur, le diviser par mille, en séparant à sa.droii. décimales (52), et il vient pour produit demandé 19,425. (C’est le contraire de ce que nous avons dit au No. 21.)

Remarque.—Lorsque le produit obtenu de la manière précédente ne contient pas assez de chiffres pour pouvoir en séparer le nombre exigé, on y supplée en mettant à gauche du nombre autant de Zéros qu’il est nécessaire.

Examples.

2515 Produit 0,000060 120 503 96

Produit 7,545 Produit 9,720 | (Voyez le No. 41.)

DIVISION DES DECIMALES.

:b5. La division des nombres démimaux présente plusieurs cas :

1°. Quand le dividende est le diviseur contiennent le même nombre de chiffres décimaux, on supprime la virgule de part et d'autre, ct l’on fait la division comme si c’étaient deux nombres entiers, sans rien changer au quotient. Ainsi pour diviser 12,75 par 4,25, on divesera 1275 par 425, et le quotient véritable sera 3; car, en supprimant la virgule dans 12,75, on rend ce dividende 100 fois plus fort, mais, par le même raison; le diviseur 4,25 devient aussi 100 fois plus fort, donc il y a Compensation. D'ailleurs le quotient peut être représenté de cette manière 121$; or nous savons qu'on peut multipher le deux termes d’une fraction ordinaire, par le même nombre, sans en changer la valeur, donc ?£2+ — !?2£,et, en extrayant les entiers, om a3. De plus les nombres 12,75 éf 4,25 sont équivalens aux fractions 1975, #85 (39 et 49)< Ces fractions ayant le même dénominateur, pour les disiser, 1l suffit de se rappeler ce qui a

été dit au No. 45.

RAISONNEE. 51

vi ep 4 2°. Lorsque le dividende et le diviseur ne contiennent pas le

us fort (51) WA même nombre de chifires décimuux, on met des 0 à droite de ce- Se dire 10 lui qui a le moins de décimales (50), et la division rentre dans Il faut déne < le cas précédent. Soit à diviser 12,6 par 0,0054 : en complétés mille dt MN} ant les décimales, on a 12,6000 : 0,0064, ou, ce qui est la même sa produit «1 chose, 126000 à diviser par 54, dont le quotient est 3500 (43). uéatnne dit D 3°. Enfin pour diviser un entier par une fraction et une frac-

tion par un entier, on opère comme nous venons de le faire. 15 divisé par 0,0005 égale 30000 (43).

nière précéen séparer È Remarquons cependant qu’il n’est pas absolument nécessaire de compléter du nombre . les décimales : par exemple, s’il s’agit de diviser 125 par 0,05, on peut diviser 0: 125 par 5, le quotient est 25, mais 100 fois trop petit (43) ; il faudra donc le 4 multiplier par 100 (12), ce cui donnera 2500. Pareillement 4,375 à diviser » par 25, on divisera 4375 par 25, mais le quotient 175 sera mille fois trop fort ; il faudra donc le ramener à sa Juste valeur, en le divisant par 1000 (54), et il 24 viendra 0,175.

0,405 de preuves de ces opérations se font comme celles des nombres entiers aide 0 .(28). 120 ie 96 REDUCTION DES FRACTIONS ORDINAIRES EN FRACTIONS era DECIMALES.

: 56. Les fractions ordinaires, ainsi que nous l'avons dit, indi- ! quent le quotient du numérateur par le dénominateur. Le quo- » tient de 107 par 4 est 197 : En effectuant la division, on a 26 4. Si nous voulons réduire la fraction # en décimale, nous n’avons qu’à réduire le numérateur 3 en dixièmes, en le multipliant par 10, ce que l’on fait en mettant un 0 à droite de 3, et l’on a 30

te plusieurs

Fa même } dixièmes dont le quart est 0,7 et il reste 2 dixièmes, qu’on mule part et tiplie encore par 10, pour les réduire en centièmes, ce qui donne

ns Me LS 20 centièmes, dont le À est 0,05 que l’on place à droite des 0,7 iviser 12,75 et l’on a 0,75. En sorte que le quotient 26 $ se trouve exprimé itable sera | par 26,75.

; ä divi- } Soit encore Z à reduire en décimales ; on dispose le calcul de en la manière suivante :

sation.

e manière ses ï

'ux termes - — | 0.876

changer la 60

entiers, om 56

ralens aux Re

tle même A} br

er Ce qui à

, me Le. à ,

7 ne pouvant contenir 8, il s’ensuit qu’il n’y aura pas d’entiers, on met un 0 pour en tenir la place et une virgule ; on ajoute un 0 à 7 pour le réduire en dixièmes ; 70 contient 8 fois 8, qui ôté de 70 reste 6 dixièmes qui valent 60 centièmes, lesquels contiennent 7 fois le diviseur, et il reste 4, qu’on multiplie encore par 10, pour avoir des millièmes ; 40 divisés par 8 donnent 5 millièmes, et il ne reste plus rien. Donc Z = 0,875.

Règle.—Pour réduire une fraction ordinaire en décimales, on divise le numérateur par le dénominateur, en convertissant successivement les restes en dixièmes, en centièmes, en millièmes, ete. ce qui s’effectue en mettant un 0. Lorsque la fraction ordinaire ne contient pas d’entiers, la fraction décimale n’en a pas non plus. Quand on divise un nombre quelconque, après avoir fini la division, s’il y & un reste, on met une virgule à droite de la partie entière du quotient, et l’on continue la division pour avoir la partie décimale, comme nous venons de le voir. Si, après avoir ajouté un 0, le reste ne contenait pas le diviseur, avant d’ajouter un autre 0, il faudrait mettre un 0 au quotient.

De cette manière, on trouvera que le quotient exact de 324

par 25 est 12,96.

7 divisé par 16 = 0,4375.

Ce sont des fractions décimales finies.

57. Lorsqu’en réduisant ainsi le reste d’une division en décimale, on parvient à un reste 0, le nombre décimal est le quotient exact de la division. Mais il arrive souvent qu’en opérant ainsi, le calcul ne se termine pas ; par exemple, si l’on veut réduire en décimales les fractions %, #, 4, 5, on aura pour la 1re.

50 12 80 | 0,416666, etc ;

Pour la 2e. ona: à = 0,33333, etc ;

La 3e. donnera } = 0,11111, etc ;

Et enfin le 4e. fournit -#- — 0,45454545, etc.

On voit que les mêmes chiffres déjà obtenus au quotient se reproduisent sans cesse, et que l’on ne parviendra jamais à épuiser le dividende, parceque l’unité est divisible jusqu’a l'infini.

Ces sortes de fractions s’appellent périodiques.

Celles dont la période commence immédiatement après la virgule,se nomment fractions périodiques simples ou ordinaires,telles

d’entiers, joute un 0 3, qui Ôté quels conlie encore donnent 5

livise le nues restes en 1ettant un 0. m décimale après avoir a partie enie décimale, ste ne contre un O0 au

t de 324

en décie quotient rant ainsi, réduire en >,

otient se is à épuiinfini.

ès la virires, telles

RAISONNEL. 53

sont les trois dernières. La première est une fraction décimale périodique mixte, parceque la période ne se montre qu'après les centièmes.

De sorte que, plus on poussera loin ces divisions, plus on approchera du quotient véritable, mais il ne sera jamais possible de l’assigner exactement, et une fraction ordinaire réduite ainsi en décimales, ne sera pas rigoureusement égale à la fraction pro-

osée.

: 68. Cependant, pour la pratique, on se contente de cette réduction, et l’on ne va guère plus loin que les millièmes, et même dans le commerce, on ne dépasse presque jamais les centièmes. Car ce que l’on néglige ne vaut jamais une unité de l’ordre auquel on s’arrête.

Ainsi, on dit que le quotient de 11 par 7 est 1,5 à un dixième près, c’est-à-dire que ce qui manque ne vaut pas un dixième ; poussant la division jusqu’aux centièmes, on obtient 1,57, quotient exact à moins d’un centième, puisque ce qui manque ne vaut pas un centième. Si l’on veut approcher encore plus, on ira jusqu'aux millièmes, et l’on aura 1,571, et ainsi de suite. Pareillement ? = 0,2857 à moins de un dix millième près. Si l’on ne veut conserver que deux chiffres décimaux dans cette fraction, on aura 0,28, fraction un peu plus petite que ?. Comme le chiffrs qui est après les centièmes, dans 0,2857, est 5 suivi d’un autre chiffre significatif, on peut augmenter de 1 le dernier chiffre décimal que l’on conserve, et l’on a 0,29 ; dans ce cas, la fraction 0,29 se trouve un peu plus forte que #, mais dans Pun et l’autre cas, la différence ne saurait être d’un demi-centième. Quoiqu’on veuille ne conserver que 2 décimales dans le nombre 1,571, il ne faut pas augmenter le 7, parce que le chiffre qui vient après lui n’est pas 6 ; il faudrait écrire 1,57, etc.