A DÉCERNER EN
(( Plusieurs géomètres ont étudié le nombre des valeurs » que peut prendre une fonction déterminée de plusieurs )t variables lorsqu'on y permute ces variables de toutes » les manières possibles. Il existe sur ce sujet des théo* » ries remarquables qui suffisent aux applications de cette )) théorie à la démonstration de l'impossibilité de la ré- )) solution par radicaux d'une équation de degré supé- » rieur à quatre^ mais la question générale qu'il faudrait » résoudre serait la suivante :
« Quels peui^ent être les nombres des valeurs des Jonc- » tions bien définies gui contiennent un nombre donné » de lettres, et comment peut-on former les forkctions » pour lesquelles il existe un nombre donné de ^valeurs?
» Sans exiger des concurrents une solution complète, )) qui serait sans doute bien difficile , rAcadémi^ pour- » rait accorder le prix à Tauteur d'un Mémoire qui fe- » rait faire un progrès notable à cette théorie. »
Prix : Médaille d'une valeur de îoo francs.
Les Mémoires devront être remis avant le i®' juillet 1860 , terme de rigueur [Compte rendu des' séances de r Académie des Sciences^ 8 février i858, p. 3oi-3o2).
Note du Rédacteur.
Voir pour la première question Nouvelles Annales, t. n, p. 163,486^ t. VI, p. 4805 t. Vm, p. 68, i32, 3o6; t. XUI, p. 299. Journal de F École Polytechniqucy Cauchy, cahier XVI, p. 75, i8i3 5 Poiwsot, cahier X. Suivants étrangers j t. H, Poiwsot. Compte rendu, 1 1 janvier i853 , p. 65 , PoiKSOT •, Bertrand, p. 79.
Pour la seconde question voir Nouvelles Annales,
(i5) t. XIV, p. 4o3, 4oS\ Seaaet, algèbre supérieure, leçons XI"*, XIX®, XX® ^ les travaux de Ruffini sont le point de départ [voir la, liste de ces travaux dans la Biograp/uc Michaud, article Aii^m'> t. XXXIX, p» 1^78)^ Aubl, OEu\fres complètes^ Luther, Journal de Crelle*, Betti, annales de Tortolinî.
BIBLIOGRAPHIE
AjfNÀLi Di Mâtemâticà vvvik ED ÀPPLicÂTÂ , pubblîcati da Bamaha Tortolini, professore di calcule sublime alFuniversità di Roma*, e compilati da E. Betti aVisa^ JF, Bno5cA« a Pa via, ji. Genocchi a Torîno, B, Tortolinî a Roma. (In continuazione agli Annali di Scienze matematiche e fisiche.) N** 1 (genn. et febbr. i858). Roma, con tipi délia S. C. de Propaganda Fide* In-^4 de S6 pages ^ tome I.
Ces Annales font suite à celles des Scienze matematiche qui datent de janvier i85o et s'arrêtent à décembre 1857. Le format a changé, mais ni le rédacteur ni les collaborateurs, heureusement. La première collection avait pour but de faire connaître au dehors les travaux des savants italiens^ la seconde aura en outre pour mission de faire connaître en Italie les travaux extérieurs. Les noms qu'on lit ci-dessus sont une garantie que ce double but sera complètement atteint.
GOKTEIÎU.
I. Henri Betti. — Mémoire sur les équations algébriques à plusieurs inconnues (p. i à 8).
Etant données deux équations ayant une racine com-
(36) mane, Abei a enseigné la manière de calculer une fpnc^ tion symétrique de cette racine commune [Nouvelles Annales ^ t. XIV, p. 8i et 272).
M. Betti donne la solution générale de cette question : Étant données n -h i équations entre n inconnues , tromper les solutions communes,
Soien^ (i) /« = o, /; = o, /2 = o,..., /„ = o
les/i-4-i équations entre les inconnues Xi, .'Cf,..., j:„, /^ est de degré m^^fi est de degré /«i , f^ est de degré m„ et soient jx solutions communes à ces équations, moins à la première /o = o , et
La première seule 5i représente une solution commune à toutes les /ï + 1 équations.
On démontre ces trois théorèmes qui servent de lemmes.
i*^. Une fonction rationnelle et symétrique de s,, *5 V9 V ^qui^^^^ à une fonction rationnelle et entière de Si.
De même si Ton remplace ^1 par un 5 quelconque.
a®. Une fonction rationnelle et entière de degré quel-' conque de Si équivaut à une fonction rationnelle et entière de toutes les quantités qui entrent dans le système (2); cette fonction contient un seul ternie de degré mi H-mt4-...-h m„ — n, et les autres termes sont de degrés inférieurs.
Désignons par A le déterminant fonctionnel
(37) 3**. Si Fp indique une fonction ^<? Pa ? pa V9 pa ^^' tionnelley entière et as^ec un seul terme de degré
IW, + /Wa -r . . . + /iî„ — /î,
et tous les autres termes de degré inférieur y et désignons par Ap ce que déifient le déterminant fonctionnel en y
remplaçant x^ , Xi , . . . , x„ par aÇ, «î, . • • > ««> ^^ors le terme
de degré le plus élewé dans Fp sera
Ces trois théorèmes fournissent la solution du problème où il s'agit de déterminer une fonction rationnelle quelconque de Si , seule solution commune à toutes les n-^ i équations, et le même procédé peut s'appliquer à plusieurs solutions communes , et Fauteur énonce sans démonstration les conditions nécessaires et suffisantes pour que » -h 1 équations aient t systèmes de solutions communes.
Le travail a le cachet de profondeur particulier à ce savant géomètre; la diversité et la multiplicité des indices rendent la lecture très-pénible.
n. François Brioschi. — JYote sur le développement
d^un déterminant (p, 9.-11).
Posons
Xs — ûr (Xs—ÛrY
^1,1? *>,i» ^2,«> *3,M • • • î ^a,iy *n,i
^i,7nf ^l,2»ï ^'2,2Mj ^"ifiny* • • » ^ii,2nt ^n/a
( 38 ) C'est ce déterminaDt de 4^^* termes qu'on développe ainsi
que -; — et -; — > le tout en fonction des x et des a.
III. F. Brioschi. — Mémoire sur les fonctions abéliennes complètes (p. 12-17).
Al, ai,..., ^sn^i sont an + i nombres réels différents entre eux et tels , qu'on a '
«I <C «a <C ^8 • • • <1 '**« <C ^2«-H- Posons
Q(j?) = A(j? — âf,)(a: — «4). . . (^ — <»»/i), R(x) = P(a:)Q(x), OÙ
Soit
Taire d'une telle courbe prise entre des limites déterminées désignées par les a est une fonction abélienne \ ainsi
est une fonction abélienne de première espèce, et
est une fonction abélienne de deuxième espèce. Si Ton pose
on a les quatre fonctions elliptiques.
L'auteur cite un certain déterminant A dont les élé-
(39) ments sont des fonctioBs abéliennes, et il parvient au résultat curieux
et , pour les fonctions elliptiques ,
RÉSOIUTION des ÉQOÂTIONS TRÀNSCENDAMTES ) par M. A.
Stern, Traduit de Tallemand par M. E. Lévy^ agrégé des Sciences. Paris, i858. In-8 de 85 pages.
En littérature, de judicieuses entraves tendent, doublent les ressorts du génie. Ainsi , au xvii^ siècle, la sévère observation des règles de la grammaire, des préceptes du goût, des lois du rbythme et de l'harmonie dans les vers , des trois unités au tbéâtre ont produit des chefs-d'œuvre. Nous nous sommes débarrassés de ces entraves, où sont nos chefs-d'œuvre? Il en est ainsi dans les sciences exactes. Les anciens s'étaient astreints à n'employer d'autres lignes que la droite et le cercle , d'autres instruments qae la règle et le compas , et ils nous ont légué des chefs-d'œuvre : Euclide, Archimède, Apollonius. On peut rapporter à la même causé Huyghens , Newton ; aux deux lignes , droite et cercle , se rattachent des idées vraies de beauté et des idées chimériques de perfection auxquelles les anciens tenaient avec une ténacité religieuse.
Toutefois ils s'apercevaient que pour des questions qui exigeaient des extractions de racines cubique et quatrième, il fallait absolument d'autres lignes, et Ils eurent recours aux coniques ^ à la conchoïde, à la cissoïde, etc. Archimède considéra même la spirale , une de ces courbes
qu une droite coupe en une infinité de points et qu^on a nommée depuis transcendante y comme dépassant les limites de la géométrie ordinaire. Le célèbre problème de Kepler (*) où il .s'agit d'une relation entre un arc de cercle et sa corde (ou sinus) a donné l'idée des fonctions transcendantes circulaires , de même que la relation entre un arc d'ellipse et sa corde a créé les transcendantes elliptiques, et beaucoup d'autres du genre analogue. Les racines des équations du deuxième, troisième et quatrième degré peuvent s'exprimer soit par des radicaux, soit par des transcendantes circulaires ; mais Abel a démontré que l'équation générale du cinquième degré ne peut plus se résoudre par des combinaisons de radicaux, et M. Hermite vient de publier Timportante découverte que cette résolution peut s'oblenir par des transcendantes elliptiques. Il devient très-probable que la résolution générale des équations de degré supérieur au cinquième dépend aussi de certaines transcendantes; c'est la besogne de l'avenir, d'autant plus importante, que les applications aux sciences physiques mènent presque toujours à des équations transcendantes. La loi mathématique de Fattraction est probablement une fonction de ce genre dont nous ne connaissons que le premier, terme de son développement en série décroissante. L'étude soignée des équations transcendantes est une heureuse innovation de l'enseignement actuel. En 1837, l'Académie de Copenhague a mis au concours la résolution de ces équations. Le Mémoire de M. le D*^ Stern a été couronné, et nous en avons déjà rendu un compte suffisamment étendu ( t. XIV, p. 384,388).
Cette traduction claire , exacte , faite avec intelligence, comble une lacune. Les procédés de RoUe et de Newton
{*) Voir Nouvelles Ànnales,t. XIV, p. 3o3.
deviennent insuffisants pour les équations transcendantes, et tout à fait impraticables ppnr les racines imaginaires. M. Stern fait emploi du théorème de Fouçier, et M. Lévy a eu le bon esprit > guidé par les précieux conseils de M, Gerono , de faire précéder sa traduction d'une exposition de ce ihéorçme, ce qui facilite singulièremem la lecture de l'ouvrage , et le fera sans doute bien accueillir par les professeurs et les élèves.
M. Mathète , professeur au lycée de Clermont , nous a envoyé un Mémoire bien travaillé, contenant un moyen de rendre plus pratique la méthode Sterri et la résolution des équations numériques ei^ généi^al. Nous en parlerons dans les N ombelles yÉnnales.
Apnt ppr «kjet de signaler k\ erreurs BombreQses qai existent daQs les Taktes de Logarithmes de Caliet.
Des études sur les logarithmes , entreprises individuellement et à des points de vue divers, par M. î^efort, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, et par M. Hoiiel, docteur es Sciences, les ont conduits à reconnaître de nombreuses incorrections dans des Tables de Logarithmes fort répandues , et même dans les Tables de Briggs et de Vlacq , que l'on petit appeler fondamentales , car elles ont servi de base à la plupart des Tables modernes, quand ces dernières n'en étaient pas de simples extraits. L'objet de cette Note est de signaler, aux éditeurs et aux savants, les erreurs contenues dans la dernière partie de la Table des logarithmes des nombres de Caliet.
Bulletin mathémaU^uc, X, W . (Juin 1858.) ^
Krrate d« la Table des Irfigarlthiiiet des nombres de 1 à lOS OOO. Partie à 8 déoimalet .
Nota. — Les erreurs portent toutes sur la 8^ décimale, qui est tantôt trop faible,
tantôt trop forte.
MOMBAES
ERREUR
CORRECT
NOMBRES
ERREUR
COREEGT.
NOMBRES
ERREUR
CORRECT
3ooo
3ll
?ll
5ii
fô
Ig
5oo
