D'APRES M. D£ JONQUIÈRES

{Journal de Mathématiques pures et appliquées, février i858.)

I. Théorèmes et problèmes connus ^^ervani de Lemmes, Voir Noui^elles annales, t. XII, p. 24, 90, 278, 358.

I®. Étant donnés cinq points d'une conique et une droite, on peut trouver les deux points d'intersection sans

( 46 ) décrire la conique^ points réels, distincts, doubles ou imaginaires.

2°. Quatre points étant donnés, on peut trouver généralement un cinquième point tel , qu^en dirigeant de ce point quatre droites vers les quatre points on forme un faisceau, dont le rapport anharmonique soit donné, le lieu du cinquième point est une conique passant par les quatre points donnés [Nouvelles j4 anales) . Cette conique est dite capable du rapport anharmonique donné.

3°. Deux coniques données chacune par cinq points et ayant trois de ces points en commun , on peut construire géométriquement le quatrième point commun.

4^. Etant donnés deux systèmes de six points, chacun en involution et ayant un segment commun , connaissant les segments non communs, on peut construire géométriquement le segment commun.

5®. Un faisceau de quatre plans étant coupé par une droite quel conque, les quatre points d^intersection donnent un rapport anharmonique égal au rapport anharmonique du faisceau de plans.

6°. Trois surfaces du deuxième degré passant par huit points quelconques , se coupent suivant la même courhe, et une droite les coupe en six points en involution.

7^. Deux faisceaux de plans homographiques étant donnés y les plans homologues se coupent suivant des droites situées sur un hyperboloïde dont font partie les deux arêtes des faisceaux.

8^. Six points étant en involution, connaissant deux segments et un point du troisième segment, on peut déterminer le second point de ce segment.

II. Problème. Étant donnés une génératrice rectiligne A et six points a,, aj, 33, 34, ag, a^ d'un hyperbo^

(47) loïde à une nappe y construire les autres génératrices rectilignes de cette sw^ace.

Solution. 1°. Menons par la droite A et les cinq premiers points, les cinq plans Ai, As, As, A^, As et par âe, les quatre droites a^ ae, a, as, a^ Aq, ai, a^ ; coupons ces quatre droites par un plan quelconque P en quatre points 0^1, â^S) <3^8) ^4) concevons une conique G passant par ces quatre points eicapable du rapport anharmonique, donni^ par les plans Ai, As?. As, A4 \ soit un cône (a^ C) ayant pour sommet a^ et pour base la conique C; tous les faisceaux des plans qui passent par une arête quelconque de ce cône et par les quatre points ai, «si «s» «*? donnent un rapport anharmonique égal à celui des quatre plans Al, As, As, A* (i;oir ci -dessus 5°).

2^. Au plan A4 substituons le plan A5 et conservons les trois plans Ai , As , As et le même plan P-, on aura quatre points «1, as,as, as, une conique Ci, et un cône (fCt) capable du rapport anharmonique des quatre plans Ai , As, Asi As ', les deux coniques C et Ci ont en commun les trois points ai , as, «Si on peut donc construire le quatrième point d*intersection B [voir ci-dessus 3**); as B est donc une arête commune aux deux cônes, donc le faisceau pcntaèdre fourni par la droite A et les cinq points a^ as, as, a^^ Ui est homographique au faisceau formé par la droite asB et les mêmes cinq points; donc les cinq plans homologues se coupent suivant des droites passant par les cinq points et situés sur un hyperboloïde dont font partie les arêtes A et a^B (voir ci-dessus 7**) ; comme le plan P est arbitraire, on peut obtenir une infinité d'éléments rectilignes. c. Q. F. T.

IIL Problème. Étant donnés un clément rectiligne A et six points ai^as, . . . , ^e d'un hyperboloïde à une nappe, trouv^er les deux points d'intersection de V hyperboloïde ai^ec une droite donnée.

(48) Solution. Par la droite donnée, on mène un plan quelconque, on détermine d'après le problème précédent cinq génératrices rectilignesderhyperboloïde; les intersections de ces génératrices avec le plan donnent cinq points qui déterminent ime conique, et sans la décrire on trouve les intersections avec la droite donnée ['voir ci-dessus i°).

IV. Problème. Étant donnés neuf points ai, a,,. . ., a» d'une surface du second degré S et une droite aj 0 menée par l'un ai de ces points ^ construire le deuxième point d'intersection bi de cette droite a\^ec la surface.

Solution, Concevons l'hyperboloïde à une nappe H qui passe par la droite a^ a^ et par les six points a^^ a^, «g, «e» ^7 5 ^8 et un second byperboloïde K qui passe parla droite a^ a^ et par les six points a^, a4, a^, a^^ a^^ ag; les trois surfaces S, H, K, ont en commun les huit points «,, «8î ^89 «4 5 «5î <3Î6 9 <357, «g ^ douc uuc dpoitc quelconque les rencontre en six points en involution [voir ci-dessus 6^) \ la droite a^ O coupe donc les surfaces H, K, S, en six points h, Al, K, Rj, ai, ftj en involution par le problème précédent, on trouve les quatre points A, /ii, K, Kj; le point Ox est donné, on peut donc construire le point ij ( voir ci-dessus 8° ) .

V. Étant donnés neuf points aj, a,,..., a», d'une surface du second degré S et une droite quelconque 01, troui^er les points d'intersection lyW de cette droite avecn la surface.

Solution. Soient les quatre hyperboloïdes à une nappe déterminés

H par la droite «j «9 et les six points as, «4, ag^fle, «7, «8 î K par la droite a^ a^ et les six points a^ , a4, ag, ag , a?, a^ ; H' par la droite a4 a^ et les six points a^^a^ya^y «e^ «7> o» ; K' par la droite a^ a^ et les six points a„ aj,ai, a^^a-^^a^ :

( 49 ) la droite 0/ coupe les trois surfaces H, K, S, qui ont huit points communs eu six points en involution. Soient mm', //w\ XX' les trois segments^ pour la même raison, la droite 0/ coupe les trois surfaces H', K', S en six points en involution •, soient /?/>', qq'^ XX' les trois segments ; dans ces deux systèmes^ les segments mm\ nn\ pp'^ qq' sont connus d'après le problème III et le troisième segment étant commun aux deux systèmes, on peut le construire (voir ci-dessus 4°) \ donc lespointsXet X' sont déterminés.

VI. Problème. O étant un point quelconque de /'c5pace, construire : i^la conique (ï intersection delà surface S {problèmes) avec le plan mené par les droites Oa^^Oai^ a® la polaire du point O relativ^ement à cette conique.

Solution. On détermine les intersections a^, a^, des droites Oa^, Oa%^ avec la surface (problème lY) et les intersections X, X' d'une droite quelconque O/, située dans le plan de la conique, avec la surface S (problème V); on connaît donc six points, ai, ag, a,, a,, X, X| de la conique que nous désignons par S; sur la droite O^i a, on prend le point a tel, que les deux segments O a, a^ a, , donnent un rapport harmonique 5 on prend de même un point P sur la droite Oa^ a\ tel, que les segments Oj3, a%à^ donnent un rapport harmonique; la droite a|3 sera la polaire cherchée du point O ; nous la désignons par L.

VII. Problème final. Étant donnés neuf points a^y as y ... 9 ag â!une surface du second degré et un dixième point quelconque O , reconnaître si ce point est au dedans, au dehors de la surface ou dessus.

Solution. On détermine Fintersection de L avec S du problème VI (voir ci-dessus 1°) ; si les points d'intersection sont réels et distincts, le point O est en dehors de

nuUeiin mathématique, t. IV. ( JuiUet 18S8.) 7

( 5o ) la surface -, si le point d'iniersection est double, le point O est sur la surface; si les points d'intersection sont imaginaires, le point P est dans rinlérieur de la surface S.

BIBLIOGRAPHIE

Tables de Logaiuthmes a cinq décimales pour les vou- BRES ET LES LIGNES TRiGON0MÉTRiQT)Es, suivics des Logarithmes d'addition et de soustraction ou Logarithmes de Gauss et de diverses Tables usuelles ; par /. Hoûel, ancien élève de l'Ecole Normale, docteur es Sciences. In-8. Paris, Mallet-Bachelier; i858, Prix : 2 francs.

La Table de logarithmes, originale et unique, calculée par Napier, donnait avec sept fîgures^, ou, pour parler un langage plus moderne mais équivalent, faisait connaître avec sept décimales, les logarithmes des nombres et des lignes trigonométrîques. Briggs, qui, le premier, a compris les idées de Napier, les a propagées par l'enseignement, et s'y est associé en les développant, peut-être même en les améliorant, a publié deux Tables distinctes (*) pour les nombres et pour les lignes irîgonométriques, où les valeurs de la fonction logarithmique sont exprimées par quatorze chiffres décimaux. Depuis cette époque, quelques Tables, très-reslreintes comme développement, ont été calculées avec un plus grand nombre de décimales*, mais aucune, pas même celles construites au Bureau du Cadastre sous la direction de Prony, n'ont fourni, dans une étendue comparable à

(*) Ariihmetica logarithmica, Londini, 1G24; in-folio. — Trigonomiti ra Britannica. Goudde, 1633; in-fclio.

(5i) celle des Tables de Briggs, une approximation équivalente.

Des considérations d'économie au point de vue typographique ont été, au moins jusqu'à la fin du siècle derr nier, le principal motif qui a déterminé à réduire le nombre des décimales dans les Tables successivement extraites des œuvres originales de BriggSL et de Vlacq, Gauss parait avoir traité le premier la question scientifiquement, en vue des applications diverses que ces Tables peuvent recevoir. S'attacbant particulièrement aux Tables qui ne nécessitent pas l'emploi des différences secondes pour l'interpolation, il a très-succinctement^ mais très-nettement, posé les principes qui* en règlent l'usage, et qui déterminent, dans chaque cas, le degré d'approximation qu'on peut espérer d'atteindre (*). Quand on a acquis la parfaite connaissance de ces principes, malheureusement trop peu répandus, on comprend très-bien la raison d'être des diverses Tables logarithmiques, ou le nombre des décimales est plus ou moins resitreint» et on sait en user ou s'en abstenir à propos.

L'illustre auteur de la Theoria motus corporum cœlestium^ longtemps après la publication de cet ouvrage, a déclaré dans les annales de Schumacher (**) , qu'il ne faisait jamais usage des Tables de Callet, et à plus forte raison des grandes Tables de Véga, qu'il les trouvait trop développées 5 que les Tables de Shervvin lui avaient toujours suffi ; qu'il croyait digne d'encouragement la publication de Tables à cinq ou six décimales, et qu'encore il

(*) Theoria moins corporum cœUnium , p. 36 et seq. Hamburgi, 1809; in-4-

(**) Asironomische Sachrichterty t. 1*'. — En écrivant Tarticle auquel je fais allusion, Gauss semble avoir perdu de vue que^ dans la Theoria, les logarithmes sont donnés avec sept décimales, et qu'il y fait un grand éloge des Ifables trigonométrtques de Taylor, construites aussi avec sept décimales.

( 5. ) y désirerait la suppression des parties proportipimelles. De pareilles Tables sont en effet sans danger, quand.on sait bien nettement le degré d'approximation qu'elles peuvent donner, et le degré de précision que l'on veut atteindre. Elles présentent d'ailleurs d'incontestables avantages sous le rapport de la célérité et de la sûreté du calcul.

Les Tables a cinq décimales, annoncées en tète de cet article, ne satisfont qu'en partie au vœu exprimé par Gauss, puisqu'elles contiennent les parties proportion^ nelles ^ mais le grand géomètre aurait sans doute excusé ce luxe arithmétique, en considération de la parfaite convenance des dispositions générales et de la correction des détails d'exécution. On ne pouvait pas moins attendre de l'auteur de cette publication, qui s'est déjà fait avantageusement connaître par d'intéressants travaux sur la mécanique céleste, et par la traduction de plusieurs Mémoires de M, Lejeune-Dirichlet, relatifs aux parties les plus élevées des mathématiques.

Les Tables de Lalande, qui composent le fond du nouveau recueil, ont été publiées dans l'origine sous le format in-i8 5 elles comprenaient uniquement les logih riihmes des nombres entiers de i à loooo, et les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes de G à 45 degrés. M. Hoûel y a apporté diverses modifications que, dans son Avertissement, il énumère ainsi qu il ^uit :

« 1". L'agrandissement du format, qui, en diminuant )> de beaucoup le nombre des pa^es à feuilleter, nous a » en outre permis diverses additions utiles •,

» 2^. La suppression des caractéristiques dans la 7) Table des logarithmes des nombres ;

» 3*^. L'introduction de Tables auxiliaires donnant les » parties proportionnelles des différences, non-seulement

( 53 ) )) pour les logarithmes des nombres, maïs encore pour » ceux des lignes trigonométriques 5

» 4*^- Le rétablissement, dans les Tables trigonomé- » triques, des logarithmes des sécantes, que le défaut )) d'espace avait fait supprimer par la plupart des au- )) teurs , et qui sont cependant très-commodes , en dis- » pensant de l'emploi des compléments arithmétiques » dans les calculs de trigonométrie 5

» 5*^. La Table des logarithmes des nombres a été pro- » longée jusqu'à 10800, nombre de secondes contenues )) dans 3 degrés ;

» 6°. En tète des diverses colonnes de cette Table, » nous avons inscrit les valeurs correspondantes des lo- » garithmes des rapports du sinus et de la tangente à l'arc )i exprimé en secondes, et par ce moyen cette Table peut » remplacer avantageusement, pour les trois premiers >i degrés, la Table trigonométrique proprement dite;

» 7**. Pour les petits arcs, l'usage des lignes trigonomé- )> triques naturelles est souvent plus commode que celui )) de leurs logarithmes, ceux-ci se prêtant mal à Tinlern polalîon. Nous donnons en conséquence, dans nos Ta- » blés trigonométriques, les valeurs naturelles des sinus )i et des tangentes pour les trois premiers degrés. »

Parmi les additions faites par M. Hoûel à la collection de Lalande, on remarque spécialement une Table de logarithmes d'addition et de soustraction, c'est-à-dire une Table destinée à faciliter la recherche du logarithme de la somme ou de la différence de deux nombres, connus seulement par leurs logarithmes. C'est la première édition française des Tables de ce genre, qui sont aujourd'hui assez répandues en Allemagne et en Angleterre. A ce propos je suis bien aise d'avoir l'occasion de placer une critique, ne serait-ce que pour rompre la monotonie de cet article.

Personne ne sait mieux que M. Hoûel à qui appartient ridée des logarithmes d'addition et de soustraction, qui, le premier, a indiqué la forme à donner aux Tables, et en quels termes Gauss cite Leonelli dans les quelques lignes qui précèdent ses Tables de 1812. Comment se fait-il alors que M. Hoûel écrive, dans l'Avertissement ; « Les logarithmes inventés par Leonelli, et auxquels » l'illustre Gauss a donné son nom, » et, daiis le titre comme dans l'Introduction, u Table des logarithmes <y addition et de soustraction ou logarithmes de Gauss? » Je crois qu'il ne faut laisser usurper le bien de personne, quand on peut le défendre, et qu'on doit exercer une vigilance plus scrupuleuse encore, lorsqu'il s'agit de maintenir le bien des pauvres. Je demanderai donc à M. Hoûel, lors d'un nouveau tirage qui ne se fera sans doute pas attendre, de substituer le nom de Leonelli à celui de Gauss, dans le titre, aux pages xxii et suivantes de son Introduction, et de rectifier Terreur de fait que tend à accréditer la rédaction amphibologique, à la page t de l'Avertissement ; erreur plus dommageable en réalité à la mémoire de Gauss que la rectification 11e sera profitable a la mémoire de Leonelli. Il serait injuste en effet de rendre Gauss responsable de l'usage que les Allemands ont fait de son nom dans cette circonstance. La locution logarithmes de Gauss a également cours en Angleterre; mais, de l'autre côté du détroit, l'érudition mathématique n'est pas en faveur, si j'en juge par la préface de certaines Tables très-estimées, où l'on décore du uoni ambitieux de méthodes de nos contemporains, MM. James, John, William, etc., des procédés de calcul qui ont été donnés, les uns par Briggs, en 16249 ^^^ autres par Flower, en 1771 (*).

(*) Pourquoi àivQ formules de Cardan et pas de TartagUa. Tu.

Après celle petite satisfaction donnée à mon irritation, je me trouve plus à Taise pour dire le bien que je pense du travail personnel de M. Hoûel, et pour eu indiquer succinctement Tutilité.

On sait que les Tables dès logarithmes de Leonelli fournissent une relation entre les trois fonctions A, B, C

qui représentent respectivement logor, log ( i-f-~)j

log(i-h:r). Dans les Tables calculées primitivement par Gauss, d'après les idées de Leonelli , puis étendues par Matthiessen, la quantité A est prise pour argument, et on trouve en regard les valeurs correspondantes de B et de C. Plus tard, Zech a établi deux Tables séparées, l'une pour l'addition, l'autre pour la soustraction : la première a pour argument A et donne la valeur de B; la seconde a pour argument B et donne la valeur de C. Cette séparation, typograpbiquement nécessaire pour des Tables à double entrée, comme celles de Zech, était motivée d'une manière générale par la différence d'étendue que chacune des fonctions doit occuper dans l'échelle numérique, et par la simplication qu'elle amène dans le calcul des parties proportionnelles. Ces dernières considérations suffisaient pour déterminer M. Hoûel à adopter la séparation, encore bien que ses Tables dussent être à simple entrée ; mais il a encore amélioré la disposition de Zech, en prenant le nombre C pour argument de la seconde Table, dont il a pu ainsi diminuer l'étendue, sans restreindre le degré d'approximation qu'elle doit fournir. Les Tables d'addiiion et de soustraction servent nonseulement à résoudre, plus rapidement que par tous autres procédés, le problème : Etant donnés log m et log «, trouver log [m±n)\ elles donnent en outre une solution plus approchée que celles que l'on pourrait déduire de ces autres procédés, si on les mettait en oeuvre à l'aide de Ta-

( 56) bles vulgaires qui ne comprendraient pas plus de chiffres décimaux que les Tables spéciales. M. Hoûel a donc accompli une œuvre utile en cherchant à faire fructifier, en France, une idée qui, après y avoir germé il y a plus d'un demi-siècle, a été étouffée sous le jugement trop précipité de Delambre.

Les Tables à cinq décimales de M. Hoûel peuvent fournir, avec cinq figures exactes, le logarithme d'un nombre ou le nombre d'un logarithme, et faire connaître, à 5 secondes près, un arc donné par le logarithme de son sinus. Ainsi elles suffisent largement aux besoins des ingénieurs civils et militaires, des architectes, des arpenteurs-géomètres ^ etc., dont les travaux reposent sur des opérations et sur des formules, qui sont loin, en général, de présenter un pareil degré d'approximation. A plus forte raison peuvent-elles suffire aux nécessités de l'instruction publique, car les élèves trouveront, dans les diverses parties qui les composent, le moyen d*approfondir et d'appliquer tous les principes qui leur sont enseignés. Sous ce dernier rapport, le prix minime auquel l'ouvrage est mis en vente, n'est pas une considération à dédaigner.

Les Tables de M. Hoûel sont imprimées avec le soin et avec la correction que Ton est habitué à rencontrer dans les publications mathématiques qui émanent de la maison Mallet-Bachclier. Je regrette seulement qu'on ait adopté, pour les divisions principales, dans chaque page, des filets verticaux aussi larges que ceux de l'encadrement. Par un effet de contraste, les caractères pâlissent, et l'œil ressent quelque fatigue de la répétition et de la continuité des tons noirs. Je soumets cette réflexion à l'habile Directeur de l'imprimerie, persuadé qu'il trouvera, sans grands frais, un remède à l'inconvénient que je signale.

F. Lefort.

Paris, le 5 juillet i858.

BI06RAPHIE.

BRAMER ( Benjamin}.

Né à Feldsberg (Hesse) en i588, élevé dès son enfance dans la maison de son beau-frère Burgi , alors horloger du landgrave WilhelmlV, à Cassel, et célèbre second inventeur des logarithmes. En i6o3 Bramer alla avec Burgi à Prague -, mais en i6i i , lor^ de la mortde sa sœur^ Bramer revint dans son pays, et en 1612 fut placé comme architecte à Marburg. On a de lui :

1 . Prohlewa , wie aus hékannt gegebenem sinu eines grades, minuten oder secundén aile folgenden sinusaufs laichteste zii finden und der canon sinuurrt zu absoli^i^ ren seye , zu Marburg . 1 6 1 4 •

« Problème , connaissant le sinus d'un arc donné en degrés 5 minutes et secondes, on peut en déduire de la manière la plus facile les sinus suivants et construire une Table de sinus. »

2. Benjamin Brameri Beschreibung eines sehr leichten perspectii^'und grundt^eissenden instruments auff einem stande : auff herrn Johan Faulhabei^rs ^ bestellten Ingénieurs desHey. Beichs stadt Ulm, weitere continuation seines mathematischen Kunstspiegels, g^or^ dnet. Gedruchtzu Cassel durch Johan TFessel , und zu Franckfurt bey Eberhard Kiesern , kupferstechern , zu finden im Jahr i6i^o.

« Description d'un instrument très-commode pour prendre la perspective et lever des plans d'une seule station; arrangée comme continuation ultérieure du

Bulletin mathématique, t. IV. (Août i858. ) 8

( 58 ) miroir artificiel mathématique de Jean Faulhaber , ingénieur en lître de la ville du Saint-Empire, Ulm. Imprimé à Cassel chez Jean Wessel et se trouve à Francfort chez Eberhard Kieser, graveur en cuivre. »

L'ouvrage est dédié au célèbre Faulhaber, et il dit en commençant que dans les mathématiques on rencontre beaucoup de choses cachées et merveilleuses; entre autres, de réduire la multiplication, la division, l'extraction des racines, à desimpies additions, soustractions, divisions, etc., et cela au moyen de deux progressions, l'une arithmétique commençant paro, et l'autre géométrique commençant par i ; et il donne pour exemple

et il ajoute :

Ans diesem fundament hat mein lieber schwager &4V praeceptor Johst Burgi^ vor zwanzig und m,ehr jahren, eine schône progresstahul mi tihren differenzen "uon lo zu 10 m 9 ziffern calculirty auch zu Prag ohne beiichtin anno 1620 druchen lassen ; und ist also die invention der Burgi logarithj nicht des Neperi, soudern des gedachten [wie solches vielen vissend^ und ihne auch herrn Kep^ plerees zeignuss giht) lange zuvor erfunden.

« C'est sur ce principe que mon cher beau-frère et précepteur Jobst Burgi, il y a vingt ans et davantage, a calculé avec 9 chiffres une belle Table de progression avec les différences de 10 en 10 et qu'il a fait imprimera Prague en 1620 , et ainsi l'invention des logarithmes n'est pas de Neper mais de Burgi ci -mentionné (comme le savent plusieurs et comme Keppler lui en a aussi donné témoignage) qui a fait cette invention longtemps auparavant.

3. Anhang eines berichts von M, Jobsten Burgi geometrische Triangidarinstrument ^ addition d'un rapport sur un instrument géométrico-triangulairedeM. Jobsl Burgi) dédié à Wilhelm IV en 16485 il a calculé les sinus de deux secondes en deux secondes.

4. Apollonius Cattus oder geometrischen Wegweîser, 3 vol. in-4. Cassel, i634-48 (*).

i^, Werden die Fundamenta der conischen sectionen, so von Apollonius Pergaeus mit schweren, ab absurde genomenen démon trationen dargethan, nunmehr aus leichten Euclidischen grunden erwiesen -,

2®. Wîrd gewiesen eine neue leichte u. sehr bequeme weise allerhand Sonnenuhren, dieselben fallen se seltzam sie woUen , auf einen cylinder zu schneiden und auf zu reissen;

3^. Anhang eines berichts von M. Jobsten Burgi geom. triangular-instrument, zu jur leicht, kaizen doch gewissen land und feldmessen, w^ie auch andere liôhen, Tieffen, Langen und Breîlen zu eremessen dienlich. Cest une nouvelle édition. Cassel, 1684*

5. Etliche geometriche quaestiones, so bishero nicht ùblich gewesen , 4- Marburg, 16 18.