SUR L1NVENTI0N MS EXPOSANTS FRACTIONNAIRES OU INCOMMENSURABLES

Par m. PROUHET.

Les exposants fraclioniiaîres ont commencé à être en usage dans la seconde moitié du xvii® siècle , et leur invention est ordinairement attribuée à Wallis,. Cependant celte notation avait déjà été proposée, sinon employée, par Simon Stevin, qui, en faisant une découverte supérieure à son époque , et que lui-même regardait comme prématurée , s'est trouvé en avance de près d'un siècle sur le progrès naturel de la science. Nous disons progrès naturel, car la considération des exposants de nature quelconque ne pouvait être de quelque utilité qu après la découverte des séries infinies et au moment où la représentation, due à Dcscarles, des grandeurs qui varient d^une manière continue, conduisait à introduire la continuité dans les symboles analytiques.

Il est arrivé trop souvent qu'en voyant dans un auteur le germe d'une découverte amenée plus lard à sa maturité, on lui en a attribué tout l'honneur. Une heureuse rencontre, dont le prix est ignoré de celui qui l'a faite, ne doit pas cependant être confondue avec une invention véritable. Pour montrer que Stevin a bien réellement inventé les exposants fi*actionnaircs , et même, ce qui est plus remarquable encore, les exposants incommensurables , nous citerons ses propres paroles , après avoir donné quelques explications sur les notations qu'il emploie.

Stevin (*) désigne l'inconnue d'un problème par le

{*) I/Arithhetiqur de Simon Stevin de Bruges contenant les compulations des nombres Arithmétiques ou vulgaires : aussi l'Algèbre, avec le^

signe (T), et les puissances de celle inconnue par (5), Q)j etc. Le caractère (o) représente une grandeur connue, mais dont la valeur n'est pas assignée. Slevin nous apprend qu'il emprunte ces notations» (ô) excepte, à Rafaël Bombelli (*), Il les préfère,, pour « leur convenable et naturel ordre » , aux caractères bizarres employés par les algébristes de son temps (**). On voit fpie les cliiffres écrits en cercle sont de véritables exposants. Slevin les appelle dénominateurs de> dignités ou puissances.

Quand un problème renferme deux inconnues, la seconde est appelée une quantité post-posée^ et désignée par sec (T); ses puissances sont représentées par sec @, sec @, elc. Une troisième inconnue sera représentée par ter(T), tcr@, etc , et ainsi de suite. Les six ihéorèmes empruntés par Albert Girard à Stevin , qui luimême les avait pris à Cardan, et dont M. Terquem (***) déclare n'avoir pu trouver le sens, n'ayant pas Touvrage de Stevin sous les yeux, sont des théorèmes relatifs à l'élimination d'une inconnue entre deux équations.

équalions de cinc quantitez ensemble les quatre premiers livres d'Aigebre de Diophante d'Alexandrie maintenant prcmi<'r«ment traduictâ en françois. Encore un livre particulier de la pratique d'Arillnnelique contenant entre autres les tables d'interests , la dismcet un Iraiclé des incommensurables grandeurs: avec l'explication du dixiesmc livre d'Euclidc. A Leyde, de rimprimeric de ChristoOe Planlin. CIO 13 LXXW. ln-8 de xvi-656 pages, plus 21 fi pages pour Tappendice.

(*) Histoire des Mathématiques en Italicy t, III, p. 3G3. Les puissances de rinconnuc sont désignées par i i etc.

(**) Alf^èhre de Clavius, Rome, 1G08. Clavius s'excuse de ne pas cm ployer les chiffres pour désigner les puitisanccs, sur ce qu'il y aurait con^ fusion entre ces chiffres et ceux qui représentent des grandeurs. Le cercle de Stevin remédiait à cet inconvénient.

(*"**) Analyse de l'invention nouvelle en Algcbrr, Bulletin de UiffUo' graphie, etc., t. I, p. l/|5.

(Extrait de l'Arithmétique de Stevin, p, i8.)

Que les dighitez ou dekomikàteurs des quautitcz ne sont pas nécessairement nombres entiers^ mais potentiellement nombres rompuz et nombres radicaux quelconques,

11 est assez notoire à ceux qui s'exercent en computations algebraiques ( car c'est à eux que nous parlons ici), que quand il y a à extraire racine quarrée de (T) , ou de (î) , ou bien racine cubique de (2) et de semblables , qu'il faut dire, que c'est racine d'autant. Par exemple racine quarrée de 4 CD se dit s/4 (D > ^^ raison est, qu'il n'y a en use aucunes algebraiques quanti tez qui pour-

roient autrement signitier telles racines. Toutesfois le -

en circle scroit le charictere de racine de (T), parce que le mesme (suivant la reigle dé multiplication des autres quantitez) multiplié en soi donne produict (T), et par

conséquent - en un circle serait le charactere de racine

quarrée de (J)? par ce que telle - en circle multipliée

en soi donne produict (î), et ainsi des autres; de sorte que par tel moien on pour roi t de toutes simples quantitez extraire espèces de raciues quelconques, comme racine

cubique de (2) serait.^ en circle, etc.

Or par la considération de ces choses nous est devenu manifeste ce qui au paravaiit nous estoit plus obscur, à sçavoir que la prime quantité , laquelle les aigebraiciens usent pour l'inférieure ne Test pas, considéré ce qu' consiste potentiellement en eux : mais comme il y a uii infini maicur progrès des quantitez depuis l'unité, ou de

la prime quantité en ascendant, comme © (2) (?)> «tc.^ ainsi il y a semblable infini moindre progrès de la prime quantité en descendant, qui se pourroît signifier par

— j ^9 j en circles, et si pourroit on par les mcsmes procéder comme par dénominateurs entiers.

Or si Tusage de telles quantitez pouvoit avancer en la reiglc de trois algebraique (vulgairement dicte équation) à sçavoirque par icelles un sceust venir au dessus des quantitez © ® ® © (0) de lois de Ferrare (*) (ce qu'avons tenté, mais combien qu'ainsi je pou vois extraire racines de toutes quantitez , toutefois n'y avons peu avenir, comme à son lieu en dirons plus amplement) certes leur usage seroit par raison k concedçr (**)• Mais n'estant cela pour TheUre pas ainsi , userons seulement le& vulgaires entières, d'autant plus que toutes computations se peuvent achever sans icelles. Car à la fin autant faisons par racine de 4 ©? comme par 2 mis devant - en'

circle. Tellement que par ce discours avons voulu manifester ce qui consiste potentiellement en la matière, à fin que par ainsi rendissions le subject plus notoire. Il pourroi t aussi avenir que ceste souvenance câuseroit à un autre quelque avancement

On voit que Stevin concevait très-nettement les exposants des puissances comme formant deux suites infinies , partant de l'unité et comprenant tous les nombres, entiers, fractionnaires, incommensurables (nombres radi-

(*) C'est-à-dire aller au delà de la résolution des équations du quatrième degré donnée par Louis Ferrari.

(**) La notation de Stevin a été adoptée par son disciple Albert Girard Voyce l'article déjà cité de M. Tcrqucni, p. 137.

eaux quelconques). Ccsl là une idée bien remarquable, et qui doit faire considérer le géomètre de Bruges comme un des principaux promoteurs de l'algèbre (*).

NOTE

Historique supplémentaire sur le calcul de tt

(Tolr t. XIV, p. JiO),

Ombrages où Von troui^e ces calculs.

— 25(K Arghimède. — De dimensione circuli.

1464. Regiomontânus. — De quadratura circuit ad-versus Nie. de Cusa (calculé avec 3 décimales).

1586. Rheticds. — Canon doctn'nœ triangulorum.

1597. Adrien Metius. — Manuale geometriœ praclicœ. Lug.-Balav.

1579. Viete. — Canon malhematicus, Parisiis.

1597. Adrian Rom anus. — In Archimedis circul. Mmens, Wurceburgi (112 pages).

1615. Ludovic van Ceulew. — De circulo et adscriptis. Edit. Snellio. Ludg.-Batav.

7621. WiLL. SwELLius. — Cjclometricus de cire, dimensione (calculé avec 34 décimales).

1717. Abr. Sharp. — Philomath, geometiy improved, Loudon.

(*) Klugel , Maihemaiische TVorterbuch , art. Algelra, attribue même les exposants négatifs à Stcvin. C'est probablement une faute d'impression, puisqu'à l'article Potimz on ne parle que des exposants fractionnaires, comme dus à cet auteur.

(47 ) 1706. Machin. — Jones* s synopsis Palinaiiorum ma* theseos, or a new introduction to the mathematics. London, iii-8.

1719. De Lagny. — Mémoires de V Académie des Sciences de Paris ^ p. i55.

1790. De Vega. — N. Act, Peters., t. IX, Hist., p. 4i.

1842. RuTHERFORD. — PfiiL Traus,, i84i, P. 2, p. 283.

Anonyme. Manuscrit de la bibliothèque Rad-

clijje à Oxford,

1844. Dahse. — Journal de Crelle, t. XXVII, p. 198^

Clausen. — Astron. Nachr.^ n^ 184.

1853. Shanks. — Proceedings, R, Society y jan. 20, p. 273.

1853. RicHTER. — Grunert Archi\f.^ t. XXI, p. 119.

1854. RicHTER. — Grunert Archiva .^ t. XXII, p. 473,

et t. xxin, p. 476.

1853. RuTHERFORD. — Procccdings, R. Society^ jan, 20. p. 273.

1855. RicHTER. — Grunert Archiva. ^ t. XXV, p. 472.

1853, Shanks. — Proceedings, R. Society, jan. 20, p. 273.

(Extrait de l'ouvrage : Tables d'intégrales, par Bierens de Hann.)

Abr. Sharp,, né en lôSi, à Little-Horton (Yorkshire), près Bradford, d'une famille considérée , fut placé comme apprenti chez un marchand de Manchester, mais il abandonna bientôt le commerce pour se livrer aux sciences

(48) exactes, et établit une école à Liverpool. II entra ensuite comme teneur de liyres chez un négociant uniquement pour être près de Flamsteed qui demeurait alors chez ce négociant ; de là une liaison qui ne finit qu'avec la mort du célèbre astronome. Nommé en 1688 assistent à l'observatoire de Greenv^ich, il se livra à des travaux qui minèrent sa santé et Tobligèrent à retourner à Horton au foyer natal. Il y érigea un observatoire et le munit de nombreux instruments, œuvres de ses mains. En 1718, il publia, format in-49 sous 1^ nom de A. S. (lettres initiales) : Philomath, geometry improv^ed 1^ hj a large and accurate table of segments ofcircles^ 2® a concts treatise of Polyedra.

Les logarithmes de i à 100, ensuite les nombres pre^ miers de loi à 1 100 et les vingt nombres compris entre 999990 et 1 0000 10 y sont calculés avec 61 décimales. Les planches , très-belles , ont été dessinées et gravées par lui-même. On conserve aux archives de la Société Royale ses tables de sinus , tangentes ou sécantes , calculées pour chaque seconde de la première minute, et aussi remarquables par leurs qualités calligraphiques.

Le polyèdres réguliers et semi-réguliers sont traités avec beaucoup de développements, encore intéressants de nos jours.

C'est en 1699 qu'il calcula ?:, comme objet d'amusement, avec 72 décimales.

Cette extrême faculté calculatrice le mît en correspondance avec Flamsteed, Newton, Halley, Wallis, Hodgson, Sherwin et autres savants du temps. Ces lettres, que la famille possède encore, sont d'autant plus intéressantes, que Sharp écrivait en marge ie contenu de ses réponses.

Il menait une vie fort singulière , très-retirée, presque solitaire et ne s'est pas marié. Dans sa maison cinq chambres étaient destinées à $es occupations scientificpies , et

(49) îl n'était permis même à aucun de ses parents d y mettre le pied; en fait d* étrangers, un certain mathématicien et un certain pharmacien de l'endroit étaient s^s admis. Quand il voulait les voir, frottant avec une pierre un certain endroit de la façade de sa maison c'était le signal. Chaque dimanche, il allait régulièrement à la chapelle des Dissenters à Bradford et tenant une main remplie de demi-pences derrière le dos, les pauvres, sans demander, sans être vus, venaient y puiser. Il observait peu d^ordre dans ses repas. Dans sa chambre de travail, on avait pratiqué une petite ouverture munie d une tablette mobile , sur laquelle le domestique plaçait son dîner, toujours sans parler, et souvent le soir, le domestique remportait le diner sans que Sharp y eut louché, ne voulant pas interrompre un travail commencé. Malgré ce régime et avec une santé débile, il atteignit l'âge de 91 ans et mourut le 18 juillet 1742. Il est le grand-oncle du célèbre artiste Ramsden.

Nouvel argument en faveur de la théorie macrobiotique de Cornaro et de M. Flourens. Le travail intellectuel, loin de nuire, contribue à la longévité-, mais avec la condition indispensable de la sobriété en toutes choses» Sinon , non. On allonge aussi la vie , en adoptant la maxime de Leibnitz :

Pars vitœ, quoties hora perditur, périt.