EXERCICE NUNÉRHHIE SUR LES CONIQUES

Une conique qui passe par les cinq points (i, a), (3,5), (—1,4), (— 3,— i), (—4, 3), les premiers nombres étant des x et les seconds des y^ a pour équation

79a:' — 320^7 -H 3oi/*-h iioix — i665j 4- i586 = o.

(Salmon, Conics, p. 211.)

NOTE

8ir la linite supérieure des racines négatives déduites de la foraule aux différences de Newton;

Pak m. VITASSE,

Professeur au lycée de Tours.

La formule de Newton permet de former un polynôme algébrique de degré m , quand on connaît pour une valeur particulière attribuée à la variable la valeur de sa fonction et de ses m différences. La voici :

/(•^) = r.-H ^-^* Aj, H \^ ^ A'/« H-.

Supposons y pour flxer les idées , que m soit un nombre pair, et que le coefficient de la plus haute puissance de x soit positif. Dans ce cas, la différence de Tordre m est positive, et si Ton se réporte à la manière dont on forme le tableau des différences , on verra que pour une valeur négative de x suffisamment grande, la différence de Tor* dre m — i sera négative, celle de l'ordre m — 2 positive, celle de l'ordre m—- 3 négative, etc., la différence première négative, et la valeur de la fonction positive (*).

Or si H- Xo est la plus petite valeur absolue de la variable pour laquelle toutes ces conditions sont satisfaites, cette valeur sera une limite supérieure des racines négatives.

En effet, si dans la formule qui précède la valeur absolue de X est plus grande que x^ , x — x^^ sera négatif

et aussi — -~ ', et comme Ajo est par hypothèse négatif, le produit ( , ' M Aj^o sei-a positif. Dans le troisième

terme, les facteurs — 7 — % — 7 — ^' — i seront négatifs, et

comme A*^^ est positif, ce terme sera encore positif. Généralement, les termes contenant en facteur une diffé* renée d'ordre pair et positive, contenant aussi un nombre pair de facteurs tous négalifs, seront positifs^ pour une raison analogue, les termes contenant en facteur une différence d'ordre impair seront aussi positifs. Donc f[x) gardera une valeur positive pour toutes les valeurs uégatives de x , qui sont en valeur absolue plus grandes que x^ ; x^ est donc une limite supérieure des racipes négatives. Si m était un nombre impair, on prouverait de la même manière que si pour x^ la fonction et ses différences

(*) Car ces différences sont exprimées par des fonctions alternativement de deg^ré pair cl impair. Tm.

( 3i5 ) de divers ordres sont alternativement négatives et positives, Xq sera une limite supérieure des racines négatives,

Akisi dans tous les cas, la plus petite valeur absolue de Xy pour laquelle la fonction et ses différences auront des valeurs dont les signes sont alternés, sera une limite supérieure des racines négatives.

Si l'on applique cette remarque à l'équation

on trouve que j: = — 4 ^^^ 1^ limite dont il s'agit. La racine négative est en effet comprise entre — 3 et — 4* (^/gèire de Bertrand, p. 377.)