SUR LA DEKSITÉ DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS A UNE CRANDEUR DONNÉE

Par m, Paul LÉVY.

Fartons de la décomposition en facteurs premiers du produit n ! L'exposant d'un facteur premier a dans cette décomposition est

\jV[i\-m

[:r] désignant, d'après une notation de Gauss, la partie entière Ae x] le dernier terme non nul est le terme de

rang j-5— • On peut donc écrire

a représentant successivement tous les nombres premiers inférieurs à n.

Cherchons une valeur approchée du second membre.

Pour cela, remplaçons le coefficient de Joga, que nous désignerons par A, par la valeur plus grande

aUogaJ

Les termes de cette somme sont en progression géométrique. Les/? premiers ont pour somme

n ~ ôJ'

*'"» TTI'

a Ann. de Ma{hémat,, 4' série, t. VI. (Septembre 1906.) 2.5

( 386 ) L'expression (2) s'obtieDt en donnant à /> la valeur

[lognl

on augmenlrra une seconde fois A en remplaçant/?' par la valeur plus grande

loga

puisque Sp croît avec /?; il vient ainsi

Cherchons maintenant une limite de Terreur commise. L'erreur commise dans la première approximation est inférieure au nombre />' des termes. L'erreur

commise dans Ja seconde est Sp' — Sp'\ je dis qu'elle est inférieure à p^ — /?'. Pour le voir, traçons la courbe représentant la variation de Sp en fonction de/>. Figurons sur cette courbe les points M', P, M d'abscisses croissantes/?''— \, p' p^^ , Ou a

Sp — Sp-x = — >

d'où

Sp' — *^r, = i =/>' — «/jf* — r».

Le coefficient angulaire de la droite MM' est donc égal à Punité. Celui de MPest alors inférieur à Tunité, et

'p' — ip^p' — p,

comme nous Tavons annoncé.

L'erreur commise sur la valeur de A est donc inférieure à

et Ton a

1 — I Joga

d'où, en tenant compte de Tégalité (i), et en appelant V le nombre des facteurs premiers distincts de n\

log/i!< > logx < !og/i! -h viogii

ou

L'on peut de cette inégalité déduire une valeur approchée de la densité des nombres premiers entre o

et n. Il semble intuitif que Texpressiou y^ ^ ^ dans

laquelle a représente successivement tous les nombres premiers inférieurs à n, aura une valeur plus ou moins grande suivant que cette densité sera plus ou moins grande. Cependant, comme les nombres premiers sont en groupements plus denses dans le voisinage de certaines valeurs, il peut y avoir dans la somme surtout des termes de faibles valeurs, ou au contraire plus de termes plus grands, et le nombre des termes n'est pas

( 388 ) en rapport bien défini avec la valeur de la somme. II importe donc de préciser ce raisonnement.

Soit a, , a2, ..., ay, ... la suite des nombres premiers rangés par ordre de grandeur; considérons, par une sorte d'inversion du problème, v comme variable, et Ov comme fonction inconnue. On peut, dans l'inégalité (3), remplacer n par Oy. Il vient ainsi

(4) ^og^v^ ^y 'og«/ ^ loggy' , vlogoty

^ ttv — I ^ a/ — - 1 «v — 1 av — I *

Essayons de voir si une suite ^i, ^2) • • •) ^v« • - • de croissance plus rapide que la suite des a, et telle que

satisfait à cette inégalité. Les ^ peuvent d'ailleurs n'être pas entiers, on remplace alors p! par la fonction eulérienne r(i -+- P).

La fonction ■ ^ __ , qui ne diffère de loga? que

d'une grandeur, ne devenant pas infinie avec x, croît avec a?, à partir d'une certaine valeur de a:, tandis que

— — décroît. Il s'ensuit que, si l'on remplace les a par

les ^, sans changer la valeur de v, les membres extrêmes de l'inégalilé (4) augmentent et le second membre diminue. Il pourra alors se faire que la première partie de l'inégalité ne soit plus vérifiée; cela pourrait au contraire avoir lieu pour la seconde si la croissance des ^ n'était pas assez rapide. On voit ainsi comment l'on saura si une suite arbitrairement formée est de croissance trop rapide ou trop lente.

La série dont le terme général est - est divergente.

D'autre part, le rapport -^ devient infini avecv. Ces ré-

(389) sultats s'établissent aisémeut, et nous les supposerons connus. L'idée la plus naturelle est donc de poser, pour le premier essai,

Pv =vlogv.

Introduisons un paramètre X et posons

^ = Xvlogv.

Proposons-nous de calculer les quantités qui figurent dans l'inégalité (4) avec des erreurs ne devenant pas

infinies. On peut alors remplacer — -q-^^ par

log^v(*)î ^" P^"*^ alors remplacer ^^' par ^f > la différence q ,q "^^ ^ étant le terme grénéral d'une série convergente, puisque P/ > i; ^ q ^ peut à son tour

être remplacé par / — |^rfv. Le premier membre de l'inégalité (4) devient alors

logv -+- log logv -h logX;

le troi-iième n'en diffère que d'une quantité finie. Le second devient

J ly J Avlogv J Avlogv

ou

On en déduit que, pour X > i , la première partie de l'inégalité (4) n'étant pas vérifiée, l'on a un mode de croissance trop rapide. Le contraire a lieu pour X= i.

(^) On peut remarquer que iogp, devient infini pour v =i. Mais il est évident que le raisonnement subsiste tout de même.

( 390 ) Oa est donc conduit à poser en second lieu

^ = v[logv-H(p(v)],

cp(v) étant une fonction de croissance moins rapide que logv, et que nous supposerons au plus de Tordre de grandeur de log logv.

La valeur approchée du premier et du troisième membre est toujours

logv-t- log logv.

Cherchons celle du second membre. On a

^ vlogvj logv

et

d'où

log Pv = log V 4- log logv H- log IH- ^^ =.logv-+-loglogvH-^...,

log^v l ^ log logv --<p(v) Pv V V logv

les principaux termes non écrits contiennent au dénominateur v(logv)*, et les numérateurs, d'après l'hypothèse faite sur f (v), sont au plus de l'ordre de grandeur de (loglogv)^; ces termes croissent donc moins

rapidement que —, ^î^i^f o- étant compris entre o et i.

Leur intégrale est donc convergente pourv infini, et le second membre peut s'écrire, en ne négligeant aucune partie infinie,

(5) iogv+ r'°g'°g;-y(-)rfv.

J vlogv

Si nous posons

cp(v) = loglogv--i,

(391 ) valeur qui justifie Fhypothèse faite a priori sur <p(v), nous obtenons pour le second membre logv-f-loglogv. La suite des ^ ainsi formée vérifie alors l'inégalité (4), à condition d'ajouter des constantes convenablement choisies aux membres extrêmes. Il ne peut en être de même d'aucune autre suite formée en ajoutant à cp(v) une fonction de signe coostant et constamment supérieure en module à un nombre fixe p, car alors la valeur approchée (5) du second membre se trouve augmentée ou diminuée d*une quantité supérieure à

= ? log logv,

' logv

c'est-à-dire devenant infinie.

On peut donc admettre que la suite

P„ Pa, ..., Pv =v(logv -^- log logv — I)

donne une idée approchée de la croissance des nombres premiers. Par inversion de cette formule, les expressions

log/i — I logn (logn)*

peuvent être prises comme valeurs approchées du nombre d'entiers premiers inférieurs à n.

Riemann a donné pour celte même grandeur la valeur

Lï(a?) — i Le U«) — . . .h- (— i)^ JL Le (a?^),

r dx

hi{x) désignant le logarillime intégral / j , et en

prenant pour m tous les nombres entiers qui ne sont multiples d'aucun carré parfait.

Les termes les plus importants de Li{x), qui sont aussi les plus importants de la fonction définie par ce

(392) développement, sont

logx (logic)'

Ce sont ces deux premiers termes que nous venons de retrouver par une méthode relativement élémentaire.

[L»lb]

NOTE SUR L'HYPERBOLE ÉQUILATÈRE INVERSE D UNE DROITE OS PAR RAPPORT A UN TRIANGLE ABC ET SUR LE TRIANGLE PÉDAL DU POINT S;

Par m. a. VACQUANT.

Cette Note peut faire suite à un article de M. G. Fontené, complété par un article de M. R. B. (A*. A,, 1906, p. 55 à 61). En conservant les notations de M. Fontené, on peut énoncer la question de la façon suivante :

Soit DEF le triangle pédal relatif au point S et au triangle ABC inscrit dans le cercle de centre O ; soient M, N, P les milieux des côtés du triangle ABC; soient a^ b, c les intersections des droites NP et EF, PM et FD, MD et DE, les trois droites Da, Eè, Fc concourent en un même point K' qui reste le même quand le point S décrit une droite OA. Si S< etS*i sont les points de rencontre de OA avec le cercle O circonscrit au triangle ABC, K' est le point de rencontre des droites de Simson A, et Aa relatives à S< et S2, et ¥J est le centre de Vhy-

(393) perbole équilatère ins^erse de OA par rapport au triangle ABC.

Quand le point S décrit la droite OA, la droite DE enveloppe une parabole tangente aux droites CA, CB et MN, car les divisions D et E, semblables à la division S, sont semblables, et, quand S vient en O, DE devient MN. La tangente variable DE à cette parabole détermine sur les tangentes fixes MN et BC des divisions homographiques c et D qui sont semblables. D^autre part, les divisions F et D sont semblables, comme semblables à la division décrite par S sur OA ; les divisions F et Cy semblables à la division D, sont semblables, et comme les droites BA et MN décrites respectivement par les points F et c sont parallèles, la droite ¥c passe par un point fixe K'. En supposant le point S en S| ou S2 sur le cercle circonscrit au triangle ABC, les points correspondants D^, E|, F, sont en ligne droite, ainsi que Dj, E2, F2; ces deux droites A^ et A2, étant les droites de Simson relatives à deux points S| et S2 diamétralement opposés du cercle O, sont rectangulaires. Le poini K' est donc le point d'intersection des droites de Simson A^ et Aj. On verrait de même que les droites E6 et Da passent par K' quand S décrit OA. Donc Da, E6, ¥c concourent enK'.

Je dis maintenant que K' est le centre dé l'hyperbole équilatère inverse de OS. Pour le voir, considérons l'hyperbole équilatère tj définie par ses asymptotes K'A,, R'Aa et le point A. Comme N est le milieu de E1E2 et de AC, cette hyperbole passera par C; de même, elle passera par B; étant circonscrite au triangle ABC, elle passera par l'orthocentre H de ce triangle. D'autre part, la conique 7||, inverse de la

( 394 ) droite OA, passe par A, B, G et H, car H est l'inverse de O ; c'est donc une hyperbole équilatère, comme on le voit autrement en remarquant que les directions asjmptotiques de y^i sont A{ et A2, car, si S' est l'inverse de S, on sait que AS' est perpendiculaire à EF ; quand S vient en S|, son inverse S\ est à Tinfini dans la direction perpendiculaire à la droite ËfF| ou A|, c'est-à-dire dans la direction A2; de même, quand S vient en S2, S^ est à l'infini dans la direction A|. Les h^'perboles équilatères t\ et 7||, ayant quatre points communs A, B, C, H et mêmes directions asjmptotiques, coïncident.

Enfin, on sait que le point K' appartient à la fois au cercle circonscrit au triangle MNP et au cercle circonscrit au triangle DEF ; généralement, on peut dire que les cercles circonscrits aux triangles tels que DEF passent par le point fixe K' quand S décrit OA. En particulier, cette importante propriété du point K' a été démontrée élémentairement par M. R. B. dans l'article déjà cité (iV. A,, 1906, p. 09).