JANVIER
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PARIS, GAUTHIER-VILLAnS, IMPKIMEUH-LlIJHAinE
ne BUREAU DES LONGITUDKS, DK l'ÉCOLE PO I. Y T KCH N lyC E ,
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Les manuscrits non insérés ne sont pas rendus (Ce Hocucil paraît cliacjuc mois.)
Rédacteur de service : M. R. Bricard.
Liste des Correspondants des NOUVELLES ANNALES dans les yiiies où siègent les Facultés des Sciences.
Besançon : M. Et. Delassus. — Bordeaux : M.Padé. — Gaen:M. A. de Saint-Germain.— Clermonl-Ferrand : M. C. Guichard.— Dijon : M. Baire. — Grenoble : M. J. Collet.— Lille : M. Boulanger. — Lyon : M. L. Autonne. —Marseille : M. Sauvage. — Montpellier : M. E. Fabry. —Nancy : M. H. Vogt.— Paris: M. Raffy.— Poitiers : M. Maillard. — Hennés : M. Le Roux. — Toulouse : M. CossEnAT.
AVIS IMPORTANT
Nous sommes heureux d'informer nos lecteurs que M. Gauthier- Villars, éditeur des Nouvelles Annales de Mathématiques y a décidé d'offrir, à litre gracieux, 25 tirages à part aux auteurs des Mémoires insérés dans cette publication, à partir du présent numéro.
Cette mesure n'est pas applicable aux Articles bibliographiques, à ceux qui figurent sous la rubrique Correspondance, aux Énoncés et aux Solutions de questions proposées.
La Rédaction.
DE
MATiSÊiAÎtQUES.
THEORIE ET APPLICATIONS Dli COIN;
Par m. Ch. HALPHKN.
§ I. — Formules relatives au coin.
Le coin est un prisnu! droit solide, à section triangulaire ABC {Jig- i), dont les faces AB et AC sont
engagées entre deux corps solides, et sur lequel agit une force F. Soit Kx la parallèle a F menée par A:
a l'angle BAo: et p l'angle VjKx.
Supposons le coin en écpiilibre limite, c'est-à-dire en équilibre, mais sur le point de se mettre en mouve-
Ann. de Mathémat., \' série, l. VI. (Janvier 1906.) '
ment dans la direction de la force F. Les solides S et S' exercent sur les faces AB et AC des réactions, obliques à cause du frottement; ces réactions ont des résultantes, et les forces R, R', égales et directement opposées à ces résultantes, sont les actions du coin sur S et S'; donc, R et R' forment un système de forces équivalent à F, ce. qu'on peut exprimer par deux équations, obtenues eu projetant sur kx et sur la direction perpendiculaire k S.x.
Soit (p Tangle de R avec la normale à AB, et o' Tangle de R' avec la normale à AC; comme il y a équilibre limite, <p et op' sont les angles de frottement du coin sur S et S'^ nous aurons
F = R sin(<p + a) + R' sin((p'-i- P), R cos(ç -»- a) — R' cos(çp'-h P).
Ce sont deux équations du premier degré en Rel R', dont on tire
Fcos(<p^-hP)
sin(çp -f-a) cos(çp'-î- 3 ) h- sin{cp'-h P) cos(ç -h cl) Fcos(cp^-4- P)
sin((p -h <p'-+- a -h P)
et
F cos(9 -ha)
sin(cp -h çp'-h a -f- p)
En outre, les composantes H et H' des pressions suivant la direction perpendiculaire à Plx ont la même valeur, comme il résulte des équations
tr D / ^ Fcos(cp-ua)cos(9'-h S)
H'= R' cos(^' -+- P) =^^?iiiltiO£2i(lj^J).
^ ^' sin(<p-h 9 H-a -h p)
(3) Cas particulier. — Si le coin a pour section un triangle isoscèle ( fig. 2), et si la force F est appliquée
Fig. a.
suivant la hauteur, on a
Si en outre on suppose «p = jp', on voit que
-- __ F C08'(cp-h a) __ F cos*(<p -h a)
~" sin2(ç-i-a) ~" 2 sin(çp H- a) cos(9 -t- a)
2 tang(a -+- «p)' si l'on supposait le froiteiiient nul, on aurait
2 tang OL valeur sensiblement inférieure à H.
Exemple, — Pour F = 20*"', a = 5**, on a
mais, si l'on prend /= langcp = o,3o, soit çp=i7* (frottement de bois dur sur bois), on n'a en réalité que
Dans ce cas particulier, supposons que lecoiu ait été enfoncé entre deux solides en les écartant; si F cesse d^agir, les solides vont, par suite de leur élasticité naturelle, chercher à se rapprocher, en exerçant sur le coin des efforts, tendant à le faire sauter. Les forces en jeu seront donc les efforts normaux Q, et les forces de froUement/Q, dont les composantes suivant la direction AM tendent respectivement à faire sauter le coin, et à le main tenir en place.
Le coin restera en équilibre, si
/Qcosa^Qsina ou /= tanga ou «p^a.
On dit alors qu'il y a arc-boutement ou coincement : le coin ne sautera que si Ton exerce sur lui une force de bas en haut.
Si, au contraire,
/Qcosa<Qsina ou îp < a, Téquilibre n^aura pas lieu, le coin sautera.
§ II. — Applications pratiques.
Le coin sert, en premier lieu, à exercer des pressions, comme rindique la théorie, en prenant par exemple la disposition indiquée sur la figure 2, le solide de gauche étant buté sur un mur fixe. Bien souvent, après <|ue Ton a obtenu la pression voulue, c\*st-à-dire réalisé un serrage, l'ensemble reste en é(|uilibre par eoïncemeui; il est calé.
Les outils liomméshachc et tranche agissent comme coins vis-à-vis des bois et métaux; par des pressions, ils séparenr la matière en deux après Tavoir fendue.
Les clas^ettes sont des coins que l'on emploie, dans les constructions mécaniques, pour assembler avec
(5) serrage deux pièces. Supposons, par exempK*, qu'on veuille relier deux tiges T et T' {fi^^ 3); on munira T
d'une portion plane, percée d'un Irou rectangulaire, et T' d'une fourche percée également; dans ces ouvertures on enfoncera une clavette. Il faut avoir soin de ménager en j et / des jeux, en taillant les ouvertures en conséquence, afin de pouvoir, en cas d'usure, enfoncer la clavette pour revenir au serrage primitif (raftraper le jeu).
Dans les clavettes, on observe toujours la règle nécessaire pour qu'il y ait coincement; c'est-à-dire a<^(p; ou, 0 étant l'angle de la clavette, B •< 2f . La tangente de 9 s'appelle tirage de la clavette; donc le tirage doit être inférieur au double du coefficient de frottement. Pour des clavette» souvent démontées, le tirage est de o,io à o,o5; pour des clavettes fixes, il est de o,oa en moyenne.
Parmi les nombreuses applications de serrage par clavette, on peut citer le calage d'une poulie sur un arbre : la clavette étant enfoncée entre le moyeu de la poulie et l'arbre qui porte à cet efl'et une rainure. Mais, lorsque le clavetage est appliqué à un organe de ma-
(6 ) chine à mouvements non réguliers, ou soumis à de fortes trépidations, sous riiifluenee des diverses forces qui en résultent, le coincement peut cesser; pour empêcher les disjonctions d'organes qui se produiraient alors, on a imaginé des dispositifs de sûreté maintenant les clavettes en place. On peut voir différents types dv ces dispositifs dans les clavettes des têtes de bielle des machines à vapeur, locomotives, etc., ils sont mentionnés dans les ouvrages spéciaux.
§ III. — Application de la théorie du coin
