D1'=DI

Donc, le lieu de I' est un cercle ayant son centre sur la ligne des centres des cercles PMQ et C.

Autre solution par M. G. Painvin.

( IMS, p. biS.)

Soient C une cubique gauche, aa\ hb\ ce' trois cercles de cette courbey génératrices d*une quadrique qui la contient tout entière.

Démontrer que les quatre plans (abc), (ab'c)^ (a'bc')j (a' b' c ) passent par un même point d. De même les quatre

plans (a'b'c'), (a'bc)^ {ab'c)^ (abc') passent par un même point d'. La droite dd' est une corde de la cubique G, et les points d et d' sont conjugués harmoniques par rapport aux extrémités de cette corde. (R. Brigàrd.)

SOLUTION Par M. R. B.

Je m'appuierai sur le lemme suivant :

Soient, sur une courbe unicursale G, (a, a') et {bjb') deux couples de points : ils déterminent sur G une involution dont les points doubles sont a, p. Je dis que (ei, 6), (a', b')j (a, p) sont trois couples de points conjugués dans une certaine involution déterminée sur G.

On peut évidemment supposer que G est une conique. Il résulte alors de l'hypothèse que aa' et bb' vont concourir au pôle de ap par rapport à G; aô, a'b' vont donc, en vertu d'un théorème bien connu, concourir sur ap, ce qui démontre la proposition.

Gela posé, les couples de points {a^a*), (b^b'), (c^c) de l'énoncé sont conjugués dans une involution déterminée sur G, et dont je désignerai les points doubles par a, p. En vertu du lemme précédent, (a, b), (a\ b') et (a, p) sont trois couples de points conjugués dans une nouvelle involution. Autrement dit a6, a'b' et at^ sont trois génératrices, d'un même système, d'une quadrique (Q) que contient G.

Gonsidérons la génératrice du second système de (Q) qui passe par le point c : elle rencontre ab, a'b' et a^. Gela revient à dire que les plans (abc) et (a'b'c) passent par un même point d de x^. On voit de même que les plans (ab'c') et (a'bc') passent par le point d.

On reconnaîtra de la même façon l'existence du point d'.

Les plans (abc), {abc' ), (aba), (ab^) forment un faisceau harmonique, puisqu'ils sont déterminés par une même corde de G et par quatre points c, c', a, p qui forment une division harmonique sur cette courbe. Il en est de même, par conséquent, des points d, ef, a et p. où ces plans rencontrent respeciivement la droite «p. La dernière partie de l'énoncé se trouve ainsi établie.

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