PL. H

(fig. 8) sera l’intersection du plan vertical C'D'' et du plan tangent au point xx'x" du joint hélicoïdal, ce qui doit être, puisque ce plan tangent est perpendiculaire aux plans de tête, et par conséquent au plan de la figure 8.

Le point x", suivant lequel le point x se projette sur la figure 8, sera compris entre h et d, et situé à peu près à égale distance de ces deux points.

293. Inclinaison des joints continus. Les flèches dessinées sur la figure 7 indiquent seulement la direction de la ligne de plus grande pente du lit de pose, pour chaque point de l’hélice 0-8 ; il est évident que ces flèches ne peuvent pas exprimer la composante de la pression, dont l’intensité dépend d’un trop grand nombre de conditions pour qu’elle puisse être appréciée avec quelque apparence d’exactitude.

Mais si l’on ne peut pas déterminer l’intensité de la force qui agit sur chaque point du lit, il est facile de connaître l’inclinaison ou la pente du plan qui touche la surface en ce point.

294. A-insi, par exemple, si l’on veut connaître l’angle que fait avec l’horizon le plan qui touche le joint réglé hélicoïdal au point 5 de l’hélice 0-8, on fera tourner le plan 5-m de cet angle autour de la verticale projetante du point 5. Par suite de ce mouvement, le sommet m de l’angle cherché décrira l’arc de cercle horizontal mm\ et lorsque le point m sera parvenu en m! on le projettera en m" sur la figure 6. La droite b'-m" sera la ligne de plus grande pente du plan tangent Pg et l’angle 5'-jn"-5" exprimera son inclinaison.

La figure 15 représente le plan de section droite sur lequel tous les angles d’inclinaison rabattus auraient été

projetés, en opérant comme nous venons de le faire pour l’angle

Le quart de cercle 0-8-0 est la projection de l’hélice 0-8 et les hypoténuses des triangles rectangles désignés par des hachures sont les lignes de pente des plans tangents aux points correspondants de l’hélice 0-8.

295. Inclinaison des joints transversaux. Les ingénieurs qui ont écrit sur la construction des ponts biais se sont principalement occupés des pressions qui ont lieu sur les joints continus ; mai^ ils ont presque entièrement négligé l’étude des effets produits sur les joints transversaux.

Or, quoique les pressions qui agissent sur les petites surfaces obliques qui forment les joints de. tête des moellons , des briques ou des voussoirs en pierres taillées d’une voûte biaise, soient détruites en grande partie par i la courbure des lits et par la liaison des matériaux, il ; n’en existe pas moins un nombre considérable de petites résultantes, dont les inclinaisons en sens contraire tendent à produire un mouvement de torsion autour de la verticale qui contient le centre de la voûte , lorsqu’au moment du décintrement les mortiers n’ont pas acquis une consistance suffisante.

Je crois donc que l’on a eu tort de négliger ce côté de la question et je vais tâcher de combler en partie cette lacune.

296. Pour plus de simplicité, nous supposerons que les assises de rang pair glissent sur leurs lits jusqu’à ce que leurs joints transversaux soient venus se placer dans le prolongement des joints des assises impaires , de manière à former une surface normale continue ayant pour direc-

PON'fS BIAIS.

Irice l’ellipse CD qui provient de la section du berceau par un plan vertical parallèle aux Le tes.

Cette hypothèse, qui ne change rien à la direction ni à l’intensité des forces qui agissent sur l’ensemble des joints transversaux, nous permettra d’en étudier plus facilement les effets.

Nous rappellerons d’abord (53) que dans le cas d’un berceau circulaire, comme celui qui fait le sujet de cette étude, l’aréte d’extrados de la surface réglée qui forme le joint transversal est une ellipse projetée sur le plan horizontal par la droite EF et sur le plan de section droite (fig. 6) par la demi-circonférence ET'.

Le plan tangent à la surface du joint en un point quelconque 4 de l’ellipse moyenne 0-8-0, sera déterminé par la normale 4-s, génératrice de la surface du joint, et par la tangente au point 4 de l’ellipse 0-8-0.

Cette tangente, dont la projection horizontale 4-c se confond avec celle de la courbe 0-8-0, aura pour projection verticale la droite 4'-c' perpendiculaire au rayon s^-4' du demi -cercle 0-8, suivant lequel se projette l’ellipse 0-8-0.

Les points c, s, traces horizontales des deux droites 4-c, 4-5, détermineront la trace horizontale es du plan tangent au point 4 de la surface réglée qui forme le joint transversal FDO et la flèche 4 perpendiculaire sur es sera la direction de la ligne de plus grande pente du plan tangent au point 4 de cette surface.

Les mêmes opérations répétées feront connaître les lignes de pentes de tous les plans tangents aux différents points de l’ellipse 0-8-0 ; les directions de ces lignes sont indiquées par les flèches correspondantes.

297. Pour obtenir l’inclinaison du plan tangent en un point quelconque 3 du joint transversal EGO^ on agira

comme nous Tavons fait au numéro 294. Ainsi on fera tourner le plan vertical 3-61, qui contient l’angle demandé autour de la verticale projetante du point 3 ; par ce mouvement, le point a, sommet de l’angle cherché, décrira l’arc horizontal aa', et lorsque ce point sera parvenu en a', on le projettera en a" et l’angle 3"-a’-3' exprimera l’inclinaison du plan langent au point 3.

Si l’on rabat de la meme manière les angles d’inclinaison des plans tangents aux points qui divisent le quart d’ellipse 0-8 enparties égales on obtiendra la figure 16.

298. En comparant les figures 15 et 16, on pourra facilement apprécier la loi suivant laquelle varient les inclinaisons des plans tangents a mesure que le point de tangence se déplace sur l’hélice moyenne 0-8 du joint continu AOB, ou sur l’ellipse moyenne 0-8-0 du joint transversal ECDFO.

Ainsi on reconnaîtra, en regardant la figure 15, que ! l’inclinaison du plan tangent au joint réglé hélicoïdal est i égal à l’angle intradossal, lorsque le point de tangence o j est situé dans le plan de naissance; mais , à mesure que ce point s’élève sur l’hélice moyenne 0-8, le plan tangent se redresse et devient vertical lorsque le point de tangence 8 arrive au point le plus élevé de la voïite , tandis que pour le joint transversal Çfig. 1 6) le plan tangent vertical au point 8 et à la naissance s’incline beaucoup moins entre ces deux limites que les plans tangents au joint continu , et resterait constamment vertical si le pont n’était pas oblique.

Nous verrons plus tard quels sont les effets produits par ces difïerences d’inclinaison.

299. Poussée. Nous avons dit (280) que la force CF, qui agit obliquement sur un plan P Çfig, 13) se décomposait en

trois forces CFg GF^ GF^ la première verticale, la seconde parallèle au plan et la troisième horizontale.

La première GF^ de ces forces sera détruite par le sol, qui oppose toujours une résultante suffisante ; pourvu toutefois que les fondations soient assises sur des lits parfaitement horizontaux et que les matériaux employés pour la construction des piles soient de nature à supporter sans écrasement tout le poids de la masse supérieure.

La force GF^ parallèle au plan sera détruite par la résistance des pierres adjacentes et remplacée par les pressions qui agissent sur les lits de pose de ces pierres.

Quant à la force GF^ qui , comme nous l’avons déjà dit, exprime la poussée au vide, elle doit attirer toute notre attention. En effiet, si les assises du massif de maçonnerie sur lequel agit la poussée ne sont pas Lien liées entre elles, elles glisseront sur leur lit et prendront un mouvement horizontal ; mais si l’on est parvenu , par l’emploi de bons mortiers et par un appareil étudié avec soin, à relier toutes les parties de la construction, de manière qu’elles ne puissent pas être séparées, il ne restera plus qu’à empêcher le renversement de la pile, en détruisant la poussée GF^ ou bien en détournant la direction de cette force vers les points où elle rencontrerait une résistance insurmontable , et l’on comprendra facilement que c’est en cela que consiste la partie essentielle du problème à résoudre ; car, si la poussée horizontale pouvait agir, les points d’appui céderaient à la pression des constructions supérieures, et toutes les précautions que l’on aurait prises pour empêcher' le glissement des voussoirs deviendraient complètement inutiles.

Or, pour détruire la poussée au vide, il faut en connaître la direction, et c est vers ce but que nous allons diriger nos recherches.

300. Pour mieux faire comprendre ce que nous allons dire, nous désignerons sur la figure 20 et sur les figures suivantes la poussée horizontale GF par une flèche tracée en noir, et la force inclinée, parallèle au lit de pose, par une flèche ponctuée CF^

301. Si nous examinons (fig. 11) les effets qui résultent de la pression sur un joint réglé hélicoïdal, que nous supposerons d’ahord complet, c’est-à-dire d’une naissance à l’autre , nous voyons que les pressions verticales ou inclinées, qui agissent sur toute l’étendue du lit, pourront être réduites à quatre forces CF GF CF^ CF^

Les deux premières, qui tendent à entraîner les voussoirs sur leur lit, seront détruites par la résistance des pierres adjacentes et sont, pour cette raison, exprimées sur la figure par des flèches ponctuées (300) , tandis que les forces F^ F^ expriment les poussées horizontales qui tendent à faire reculer la masse qui contient le lit de pose dans le sens indiqué par chacune des deux flèches I tracées en noir sur la figure.

Il est donc évident qu’il y aura ici un- effet de torsion 1 analogue à celui qui est produit par le vent sur les paraboloïdes hyperboliques, inclinées en sens contraire, qui forment les deux ailes opposées d’un moulin. Ainsi, les deux résultantes principales F^ F^ des pousi sées qui agissent sur le joint réglé hélicoïdal , qui est projeté figure 11, produiront un couple M dont l’effet î sera de faire tourner la voûte autour de la verticale du j point O, dans le sens indiqué par les flèches m.

I 302. Si actuellement nous examinons la figure 2, sur i laquelle on a projeté l’une des surfaces réglées parallèles 1 aux joints de tête ou discontinus des voussoirs , on voit j que les résultantes F^F^ des poussées horizontales, qui

agissent sur ces joints, formeront un couple N, qui aurâ pour effet de faire tourner la voûte autour de la verticale du point O, dans le sens indiqué par les flèches n.

303. Or, si nous supposons actuellement que les deux surfaces projetées sur les figures 11 et 2 soient réunies, comme on le voit figure 10.

Il est évident que les deux couples M et N se composeront en un seul, dont le sens et l’énergie dépendront de l’énergie et du sens des deux couples composants.

Supposons , par exemple, que les poussées qui agissent sur le joint réglé hélicoïdal soient exprimées pour leurs grandeurs et pour leurs directions par les forces et que les poussées sur le joint transversal soient représensentées par les forces F^F^ ces quatre forces se composeront en deux résultantes F^F^ égales et parallèles, qui formeront un couple R dont l’effet sera de faire tourner dans le sens indiqué par les flèches r.

304. On remarquera que les deux couples composants, étant de sens contraires, se détruiront en partie, ce qui diminue l’énergie de la force qui produit la torsion lorsqu’au moment du décintrement, les mortiers ne sont pas bien pris. Mais on reconnaît en même temps que pour réduire à zéro le couple résultant, il faudrait que les deux forces Fg rencontrassent la droite verticale suivant laquelle se coupent les deux surfaces de joint, ce qui exigerait un concours de circonstances que l’on peut désirer, mais que l’on obtiendra très-rarement. En effet on remarquera :

1® aa^mm Que dans l’application (Jig. 18), les joints transversaux sont toujours complets, tandis que les joints longitudinaux (^fig. 19) ne le sontpas, puisque beaucoup d’entre eux sont tronqués par les plans des têtes.

PL. ii.

2® mÊÊm Que les joints longitudinaux sont plus longs que les joints transversaux, d’où il résulte qu’ils auront à supporter une plus forte masse de maçonnerie.

3® b™» Que cette différence sera en partie compensée par cela, que les plans tangents aux différents points du joint continu ont moins de pente que les plans qui sont tangents aux points situés à la meme hauteur sur le joint transversal, comme on peut s’en assurer en comparant les inclinaisons de ces plans sur les ligures 15 et 16.

4® ifiw 11* Qu’enlîn tous les voussoirs qui forment l’une des assises hélicoïdales de la voûte pourraient glisser ensemble sur le joint de lit correspondant en entraînant avec eux les assises supérieures , tandis que la liaison des matériaux ne leur permet pas de glisser sur leurs joints de tête.

i II est donc évident que les conditions d’équilibre ne sont j pas les memes pour les deux sortes de surfaces de joint ;

I que par conséquent , à moins de circonstances exception- I nelles, les deux résultantes {jig. 10) ne passeront

; pas par le centre de la voûte , et le couple résultant ne I sera pas nul.

! 305. Mais quand meme le couple résultant formé par

1 les deux forces F^ serait nul , cela n’empêcherait pas les j poussées particulières produites par chacun des couples j composants , et si au moment du décintrement les mortiers I n’ont pas acquis une résistance suffisante , les voussoirs 1 glissant sur leurs lits agiront comme des coins , et Faction ■ des résultantes n’étant plus détruite par la liaison des j matériaux, ces forces pousseront les piles et tendront à I les renverser.

306. Pour expliquer plus facilement tout ce qui précède , nous avons supposé qu’il n’y avait que deux surfaces de joint, savoir ;

t» I irmir Le joint réglé hélicoïdal ou lit de pose HH.

2® KSBHB Le joint transversal TT, mais cela ne se passe pas ainsi dans l’application. Ainsi, par exemple (fig. 19), concevons un pont oblique dans lequel il y aurait un joint complet hélicoïdal HH, et six joints incomplets hh, h'h' , h” h".

Les résultantes de toutes les poussées seront exprimées par dix forces dont cinq agiront pour renverser la pile A, tandis que les cinq autres pousseront la pile B.

Les cinq forces qui agissent sur la pile A auront une résultante égale et parallèle à celle qui serait produite par les forces qui agissent sur la pile B; de sorte que le tout se réduira encore à un seul couple M tendant à produire un mouvement de rotation autour du centre, dans le sens indiqué par les flèches m.

Il en sera de meme de toutes les forces qui agissent sur les joints transversaux projetés sur la figure 18, de sorte que si l’on superpose les deux figures , on aura encore deux couples, M etN, qui se composeront en un seul comme nous l’avons indiqué (fig. 10).

Par des motifs qui seront exposés dans le chapitre suivant, nous avons supposé que le joint transversal avait pour arête d’intrados une ellipse parallèle à l’arc de tête. Mais , si cette arête était une hélice perpendiculaire aux arêtes des joints continus , cela ne changerait rien aux considérations générales que nous avons développées.