Pour obtenir la courbe d’extrados on agira
de la même manière. Mais il faudra d’abord établir sur la projection verticale {fig. 7) les arcs de cercle N^N.etN, suivant lesquels l’extrados du berceau serait 'coupé par les cinq plans verticaux P^P^P^P^^ et P^
Le premier de ces arcs de cercle est le seul qui soit tracé entièrement, et l’on n’a conservé des quatre autres que les amorces et les intersections avec le joint cylindrique 29-24, que nous voulons développer. Ainsi ,
!<> neaBBg On tracera {fig, 6) la droite H, sur laquelle on portera les parties de la courbe 29-24 , comprises entre les points et w.. des cercles d’extrados
N,N,N3N, etN,(/îg. 7).
2° Pour chacun des points ainsi obtenus sur la droite H, on élèvera une perpendiculaire qui déterminera le point correspondant sur la trace horizontale de l’un des plans P^ P^ P^ etc.
La courbe ^^4^5 s^^ra l’intersection de l’extrados
du berceau par le joint cylindrique 24-29.
433. On remarquera que les cylindres de douelle et d’extrados ne sont pas concentriques; si l’on avait introduit cette condition, la voûte aurait été plus épaisse à la clef que vers les naissances, car le berceau étant oblivque , la section droite rabattue (fig. 10) aurait été limitée par deux ellipses semblables^ et, par conséquent, plus écartée l’une de l’autre à l’extrémité O” du grand axe qu’à l’extrémité L" du petit.
Pour éviter cela et pour alléger la voûte dans sa partie supérieure, on a pris le point X pour centre de l’arc NjS'Nj suivant lequel le cylindre d’extrados pénétrerait, s’il était prolongé, dans le plan de la tête.
Il résulte de là, comme on peut le voir par le développement du joint cylindrique 24 et par le rabattement de la section droite (^fig. 10), que la largeur est à peu près la même dans toute l’étendue de la surface de joint du voussoir, et comme on ne taille pas ordinairement les extrados, on en conclura que, dans la pratique, on peut se dispenser de développer les arêtes d’extrados que nous n’avons tracées ici que comme exercice graphique.
434. Nous n’avons conservé, sur la figure 5, que la partie de la surface de joint qui appartient à la voûte, parce que le prolongement m^n^zx formerait le joint 29, que l’on retrouvera (Jig. 16) parmi les développements de tous les joints de tête.
Le moyen qui vient d’être indiqué pour développer le joint 24 de la voûte servira pour construire tous les développements des deux figures 5 et 15.
La trace des opérations n’a été conservée que pour les joints 4, 24 et 30.
On opérera de même (fig. 6 et 16) pour construire les développements des joints de tête, qui ne diffèrent des précédents que par la droite horizontale qui forme Taréte d’extrados.
La trace des opérations n’a été conservée que pour le trente-deuxième et dernier joint de la tête Çfig. 16 et 7).
435. Je ferai remarquer encore que les figures 5 et 15 ne contiennent que le développement de la partie de joint comprise entre le plan Pg et la face postérieure des voussoirs de tête. Mais si l’on plaçait, en lui faisant faire une demi- révolution, le joint 20 (fig. 9 et 5) à la suite du joint 19, on aurait ce joint complet pour toute la longueur de la voûte.
Il en serait de même, si Ton réunissait le joint 2 J avec 18, ouïe joint 22 avec 17, et ainsi de suite.
436. Lorsque l’arête du joint continu coupe la génératrice OE de la voûte (fig! 9), il y aune inflexion dans la surface , c’est-à-dire qu’en deçà et au delà de la verticale qui contient le point d’intersection dont nous venons de parler, la courbure du joint est en sens contraire: ce qui est indiqué sur le développement (fig. 5).
Ainsi, les patrons 19'" et 19‘^ (fig. 5) formeront la surface du joint qui coupe la génératrice CE au point 19' de la figure 9.
Les deux patrons 18'" et 18*"^ forment le développement du joint 18, et les patrons 17'" et 17*^^ forment le développement du joint 17, etc.
Il y a également un changement de courbure dans les joints 17, 18 et 19 de la tête (fig. 9).
Quant aux joints des pierres que nous avons dési-
gnés sous le nom de crochets de raccordement, ils font implicitement partie des développements précédents.
Ainsi, par exemple, le joint 13-13" de la pierre K (fig. 9) est égal à la partie laissée en blanc sur le développement du joint de tête 13 (fig. 6), et le joint de la même pierre (fig. 9) sera compris sur le développement 8 (fig. 5), entre le plan vertical et le plan qui contient les faces postérieures des voussoirs de tête.
437. J’ai cru, dans ce dernier exemple, devoir employer un arc de cercle pour arête de tête, malgré l’opinion de quelques ingénieurs, qui reprochent à cette combinaison de pousser plus que le plein cintre. Cela est parfaitement vrai, mais nous avons fait voir (308) que dans l’appareil hélicoïdal la suppression des assises inférieures tendait à ramener la poussée dans un plan parallèle aux têtes, et, par conséquent, s’il y a plus de poussée sur les piles, il y a moins de poussée au vide; ce qui est la condition essentielle pour un pont biais.
Il suffira donc, dans ce cas, d’augmenter suffisamment la force des piles.
D’ailleurs, lorsque l’on emploie des joints cylindriques, la poussée au vide n’existe pas plus avec un arc de cercle que dans le plein cintre, et si j’ai préféré l’arc de cercle, c’était surtout pour diminuer les angles aigus que les joints plans verticaux feraient avec la douelle à la hauteur des naissances.
J’ai déjà fait remarquer (313) que ces angles sont garantis par les voussoirs adjacents et que la pression oblique, qui tendrait à briser les arêtes, disparaît lorsque l’on remplace par des plans verticaux les surfaces normales employées dans d’autres systèmes.
L’emploi des plans verticaux pour joints discontinus est d’ailleurs justifié par l’expérience. x4insi ,
Dans un pont construit sur l’Orb, par M. l’ingénieur Simon (Annales, 1854), les joints discontinus sont des plans parallèles aux têtes. Or, l’appareil étant hélicoïdal, les angles à la naissance sont, dans ce cas, beaucoup plus aigus que ceux qui résultent de ray)pareil orthogonal. Enfin, si l’on trouvait que les angles vers les naissances de la voïite sont trop aigus, on pourrait faire des joints normaux pour les premières assises et n’employer les joints verticaux que dans le voisinage de la clef; mais alors on ferait renaître les poussées au vide, et c’est précisément ce qu’il faut éviter.
438. Pour l’angle formé par la douelle et la face de tête, du côté de l’angle aigu , son isolement et son acuité ne permettront pas de le conserver, et l’on pourra le faire disparaître par une voussure semblable à celle que nous avons indiquée au numéro 274.
Je n’ai projeté sur la figure 7 qu’une partie de cette voussure, dont la projection horizontale est indiquée (fig. 9) par une teinte de points.
439. Taille des voussoirs. — Cette opération ne présentera aucune difficulté et se fera comme l’avons dit au n° 415. Ainsi, par exemple :
Voussoir de tête, désigné par la lettre T, sur les fi^gLires 1, 7 et 9.
BHmam Oii taillera le parallélipipède qui a pour base le rectangle acvu, circonscrit à la projection verticale du voussoir.
La longueur de ce parallélipipède sera déterminée par la projection horizontale de la pierre T (fig. 9).
2*^ mumm On taillera les parties planes 2-8' et .x-9' , et les joints cylindriques 8'-8‘^ et 9-9*’^ (fig. 7 et l).
PL. iS.
3® Quand ces joints seront taillés, on y appliquera les deux patrons de développement 8 et 9 de la figure 5, ce qui déterminera le contour de la douelle, que l’on taillera comme h l’ordinaire.
4° ■■■■■On tracera ensuite sur la douelle, l’arc de cer* de 8^-9^ de la figure 9 et sur le plan de tête, l’arc de cercle 8''-9'' de la figure? : puis on taillera la corne de vache en opérant comme nous l’avons dit au n*^ 277,
Claveau courant, désigné par la lettre V, sur les figures 7 et 9.
r — On; tracera les deux arcs de cercle N^-Nj et N.-N», suivant lesquels le cylindre d’extrados est coupé par les plans Pg et qui contiennent les faces verticales 8'-9' et du voussoir(^g. 9). Les
centres et x, de ces deux arcs seront situés sur l’axe CjE du cylindre et projetés sur le bord inférieur du cadre.
2® Cela étant fait, on préparera le voussoir sur
la projection verticale 8-9-8'''-9‘'^ (/îg'. 7); puis on appliquera le panneau 8''-9''-8'^-9‘^ sur la face verticale 8' -9" {fig. 9 et 1), et le panneau 8'-9-8'"-9'" sur la face 8'-9' {fig. 9).
3® ■■■■• On taillera les deux joints cylindriques sur lesquels on appliquera les patrons de développement 8 et 9 de la figure 5 , et toutes les coupes seront tracées.
Si l’on veut éviter l’angle aigu du point 9‘^ (fig. 7), on conservera la partie de pierre 8‘''-e-9‘^, qui sera noyée dans les matériaux de remplissage par lesquels la voûte doit être couverte.
Crochet de raccordement. — Prenons pour exemple le
voussoir désigné par la lettre R sur les projections verticale et horizontale (fig. 7 et 9).
On tracera (fig. 7) les trois arcs de cercles et suivant lesquels le cylindre
d’extrados est coupé par les plans verticaux Pg et Pg qui contiennent les arêtes d’intrados ô'-6', l"-6" et 1-2' (fig. 9).
Les centres Cg c, et Xrj et de tous ces arcs seront déterminés sur l’axe C^E du cylindre, par les plans Pg P^ et P3
L’opération précédente déterminera sur la figure 7 le contour de la projection verticale du voussoir, et, par suite, les dimensions du plus petit parallélipipède- enveloppe .
20 Lorsque la pierre sera équarrie , on appliquera le panneau de la figure 7, sur le
plan qui contient la face figure 9, et le pan¬
neau l'-2'-l"'-2'" de la figure 7, sur le plan de la face 1-2' {fig. 9).
3” On taillera les quatre joints cylindriques l'-P"^, 5"-5'", et 6"-6"' (fig. 7), puis on y appliquera les parties correspondantes des figures 5 et 6, ce qui déterminera tout le contour de la douelle.
Voussoirs de la clef. — ]Nous désignerons ainsi toutes les pierres dont les arêtes de joints longitudinaux sont coupées par la génératrice qui contient le point O' de la voûte. Nous avons fait remarquer, au n° 436, que ces joints ont une inflexion ou changement de courbure, suivant la verticale qui contient le point le plus élevé de la trajectoire.
Pour tailler l’une de ces pierres, que nous désignerons par la lettre I sur les figures 7 et 9 :
1® tmmm On construira sur la figure 7 les projections
verticales des deux arcs de cercle 18-19 et 18"-19", suivant lesquels le cylindre d’intrados est coupé (fig. 9) par les deux plans et Pg qui contiennent les joints transversaux du voussoir. Les projections de ces deux arcs se confondent presque sur la figure 7 ; c’est pourquoi, afin de mieux faire comprendre ce qui nous reste à dire , nous transporterons cette projection (fig. 11), en augmentant les dimensions et en exagérant un peu les courbures.
2® wsassm Le rectangle circonscrit à la projection Çfig. 7), déterminera les dimensions du bloc nécessaire pour tailler le claveau.
3° Après avoir appliqué les deux panneaux 18'"- 18"-19"-19"' et 18" -18 -19-19'" figure 7 et 11, sur les faces opposées et verticales du parallélipipède-enveloppe, on taillera les quatre surfaces cylindriques déterminées par leurs traces 18'-18", 18' -18, 19'-19" et 19'-19 (^fig. 11), et lorsque la pierre aura la forme qui est indiquée sur la figure 12, on appliquera les développements 18 et 19 de la figure 5 sur les surfaces cylindriques que l’on aura taillées, c’est-à-dire le patron 19"' de la figure 5 sur le cylindre qui a pour trace 19'-19 (^flg. 11), le patron 19'^ (fig. 5) sur 19'- 19" (fig. 11); le patron 18'" sur 18'-18 et 18‘" sur 18'-18".
On obtiendra ainsi le contour 19-19'-19"-18"-18 de la douelle, et le reste n’offrira plus aucune difficulté.
Coussinets. — Par suite de la grande largeur des joints à la naissance de la voûte, il pourra être convenable de faire deux assises pour les coussinets.
La figure 14 contient la perspective d’une partie A de la première assise et d’une pierre B de la seconde.
La forme de ces pierres est déterminée sur la figure 7
par la disposition d’appareil adoptée pour le parement de tête de la pile. Ainsi, les pierres désignées par la lettre A sur les figures 7, 9 et 14 appartiennent à la première assise des coussinets, et la pierre B fait partie de la deuxième assise.
La disposition des lettres sur les pierres A et B de la figure 7, fera facilement reconnaître les points correspondants sur la projection horizontale (fig. 9) et sur la perspective des mêmes pierres (^fig, 14).
Pour tailler la pierre qui est désignée par la lettre A, sur la figure 9 , et qui forme deux coussinets , on prendra :
1» ün parallélipipède capable de contenir la pro¬
jection horizontale /i-/i-2'-3 de la pierre , puis on taillera les quatre plans verticaux /{-a, a-3, h-a et a-2^
2® On construira (fig. 7) le panneau cusvM^ que
l’on appliquera sur les plans verticaux a-S et a-2' (fig. 9), en faisant coïncider le côté us du panneau {fig. 7) avec la verticale du point u (fig. 9).
Cette opération permettra de tracer la projection verticale cM^ de la trajectoire [fig. 7) sur les deux plans verticaux a-3 et a-2' (fig. 9).
La trajectoire tracée dans le plan vertical a-3 sera la directrice du joint cylindrique 3-3'-c-c, et la trajectoire tracée dans le plan vertical a-2' sera la directrice du joint 2~2'-c-c,
3® Bsaœ* On taillera ces deux cylindres perpendiculairement aux plans a-3 et a-2' qui contiennent leurs directrices, et on les terminera tous les deux par le plan vertical r-3' qui formera (fig. 14) la face D du joint transversal situé dans le plan r-3' (fig. 9).
4“ WÊÊÊÊmm Quand les deux joints cylindriques 3-3'-c-c et 2-2' -c-c seront taillés, on y appliquera les patrons
de développement 3 et 2 de la figure 5, ce qui permettra de tracer les parties 3-3' et 2-2' des trajectoires correspondantes {fig. 14).
5® ™aiBj On tracera les arcs 1-2' et 2-3' dans les plans verticaux 3'-a et 2 -a, avec une cerce découpée suivant la courbure cM^ de Tare de tête (/îÿ. 7).
6° On fera la petite face verticale qui contient
la ligne de naissance 1-3, que Ton tracera; puis on taillera la douelle avec une règle que Ton fera glisser sur les deux courbes 1-2' et 2-3' parallèlement à la ligne 1-3.
Il est très-essentiel de remarquer que les deux points 2' et 3' Çfig. 9 et 14), ne sont pas à la même hauteur; ce qui provient de ce que les trajectoires ne coupent pas la ligne de naissance en parties égales, comme cela a lieu lorsque l’on emploie l’appareil hélicoïdal.
7® ■"l'nmi Lorsque l’on aura taillé la douelle et les joints cylindriques, on fera le plan incliné eu et le plan horizontal uv {fig. 7 et 14).
Les trajectoires étant moins espacées du côté de l’angle aigu, il pourra quelquefois être convenable de faire trois coussinets avec une seule pierre A'. Dans ce cas, on taillera , comme précédemment, les plans verticaux qui doivent former les joints discontinus, sur lesquels on tracera la courbe cM^ du panneau cusvM^ {fig. 7). On aura ainsi les directrices des trois joints cylindriques, que l’on taillera comme précédemment et sur lesquels on appliquera les patrons 30, 31 et 32 de la figure 15.
Si l’on craignait que l’angle qui a son sommet au point 3 de la pierre A ne soit trop faible, on couperait cette pierre par un plan vertical a-o, et la partie triangulaire a-3-o ferait partie de la pierre suivante ; mais cette
disposition, que je ne crois pas nécessaire, augmenterait sensiblement les difficultés de la taille.
La pierre de seconde assise, désignée par la lettre B sur les figures 7, 9 et 14, sera encore plus facile à tailler que la précédente. Il ne sera donc pas nécessaire de nous y arrêter.
440. Si l’on a étudié avec soin tous les détails de cette grande épure, on sera sans doute convaincu qu’elle satisfait, autant que possible, aux conditions du problème proposé.
En effet ,
1» BB«gma Le travail graphique en est très-simple et, par suite, très-exact.
2® Les deux projections 7 et 9 déterminent immé¬
diatement les dimensions des plus petits blocs nécessaires, et, par conséquent, la plus petite dépense en matériaux.
3° Les surfaces à tailler ne sont que des plans et des cylindres , c’est-à-dire les plus simples de toutes les surfaces; d’où résultent, non-seulement une grande économie de main-d’œuvre, mais encore, et cela est beaucoup plus essentiel, une exécution plus parfaite et, par suite, une plus grande solidité pour le monnment.
4® mmama Enfin , il y a SîJi»i»Ri:ssiow coiwprÉTE
POUSSÉE AU usoE, ce qui était la partie essentielle du problème à résoudre.
Quant aux crochets de raccordement, la . difi’érence de teinte qui existe sur l’épure entre ces pierres et celles de la voûte, rend ici l’irrégularité beaucoup plus apparente que cela n’aurait lieu en exécution.
