DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE

Quai des Grands-Augustins, 55.

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Préface.

Le présent ouvrage est la traduction, avec plusieurs additions, d'un travail intitulé: Tratado de las curvas especiales notcdjlesj que l'Académie des Sciences de Madrid nous a fait l'honneur de couronner en 1899 et de publier en langue espagnole plus tard dans le tome xxn de ses Mémoires. Ce travail, qui répondait en même temps au programme proposé par cette Académie et à un programme proposé par M. Haton de La Goupillière dans le tome I de X Intermédiaire des mathématiciens , a mérité l'approbation de cet éminent savant, et nous en publions, vivement encouragés par lui-même, cette traduction française.

Nous suivons dans cette édition le plan et l'ordre dans la disposition des matières de l'édition espagnole; cependant la présente édition diffère considérablement de celle-là, non seulement parcequ'elle contient quelques courbes qui ne furent pas étudiées dans la première édition, mais principalement car nous avons fait de nombreuses additions à la théorie de la plupart des courbes considérées dans l'étude primitive.

Comme dans l'édition précédente, nous étudions la forme, la construction, la rectification et la quadrature, les propriétés et l'histoire de chaque courbe; nous considérons les relations de chaque courbe avec les autres; nous indiquons les problèmes où les courbes étudiées apparaissent; etc. Les auteurs de chaque question considérée sont mentionnés, quand cela nous a été possible. En plusieurs occasions nous donnons des propositions qui n'ont peut-être pas été remarquées.

Cet ouvrage sera composée de deux volumes. Le premier est consacré aux courbes algébriques planes, à degré déterminé, de plus grand intérêt. Dans l'autre seront envisagées de nombreuses courbes trancendantes planes, quelques classes de courbes planes et quelques courbes gauches plus remarquables. Dans la partie du deuxième volume consacrée à l'étude de diverses classes de courbes planes, nous serons naturellement menées à envisager encore quelques courbes algébriques planes à degré déterminé qui en sont des cas particuliers.

Porto, 1907.

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Préface de V édition espagnole.

Cet ouvrage se rapporte à la question suivante, proposée par V Académie Royale des Sciences de Madrid, d'abord en 1892 et ensuite en 1895, savoir: «Catalogue méthodique de :f°s les courbes d'une classe quelconque ayant reçu un nom spécial, avec une idée succinte de la forme, des équations, et des propriétés générales de chacune d'elles, et une notice des ouvrages ou des auteurs qui en ont fait la première mention.)-)

Dans le court délai compris entre ces deux dates (1892 et 1895), M. Haton de la Goupillière a appelé l'attention, dans le tome i de Y Intermédiaire des mathématiciens, sur les avantages qui résulteraient de l'étude, dans un ouvrage spécial, de toutes les courbes notables.

En réponse à cet appel, il n'a paru jusqu'à présent qu'une liste, dressée par M. Brocard 5 des noms spéciaux donnés à diverses courbes, laquelle a été insérée au tome iv du même recueil ( 1 ).

Dans le travail que nous avons l'honneur de présenter à l'Académie, nous envisageons le sujet sous un point de vue différent de celui qui a été suivi par ce savant géomètre. En nous bornant, en effet, au programme posé, nous considérons les courbes qui ont reçu des noms spéciaux, et non les noms que les courbes prennent en des circonstances données. Nous devons observer toutefois qu'il existe des noms qui peuvent être pris en les deux sens indiqués. Ainsi, le mot chaînette, pris dans le sens général, désigne une des courbes qui apparaissent dans la solution du problème de l'équilibre d'un fil flexible, dont les conditions peuvent varier d'une infinité de manières; mais, s'il est pris dans le sens restreint, il représente la courbe relative à un fil pesant homogène, étudiée par Leibniz, Jean Bernoulli, Huygens, etc. Cette dernière courbe est celle qui désigne ce mot, quand on ne dit pas explicitement le contraire, et c'est ainsi que son étude est entrée dans le programme proposé.

( l ) Après que nous avions achevé ce travail, il a paru quelques ouvrages sur le même sujet. Ainsi, à la fin de 1897, c'est-à-dire quand cet ouvrage a été présenté à l'Académie Koyale des Sciences de Madrid, M. Brocard a publié un travail lithographié sous le titre : Notes de Bibliographie des courbes géométriques, où Ton trouve des courtes notices, mais très instructives, sur les courbes inscrites dans la liste mentionnée cidessus. Postérieurement, en 1901, M. Basset a publié un ouvrage intitulé: An elementary Treatrise on cuMc and quartic eurves, où sont étudiées succintement quelques courbes remarquables, et en détail les cubiques circulaires et les quartiques bicirculaires. Enfin, en 1902, M. Gino Loria a publié un ouvrage magistral, consacré à l'étude des courbes planes remarquables, très complet en renseignements historiques et bibliographiques, et ayant par titre : Sjpezielle algebraische und transscendenle ebene kurven.

La collection des courbes ayant un nom spécial que nous nous proposons d'étudier n'est pas complète. Faute de temps, nous n'en avons pas considéré quelques-unes dont nous avions connaissance. Nous croyons néanmoins que nous n'avons omis aucune courbe de celles qui sont réellement importantes par leur théorie, leurs applications, ou leur histoire. Si ce travail reçoit l'approbation de l'Académie, lors de sa publication, on ajoutera dans un supplément ou à leurs places respectives, quelques-unes des courbes qui manquent. Nous devons observer, en outre, que nous n'avons pas étudié les coniques, vu que leur théorie, si connue, fait l'objet de tous les traités de Géométrie analytique.

L'ordre suivie dans l'étude des courbes comprises dans ce travail, est celui déterminé par leurs équations. Ainsi, nous commençons par les cubiques, en consacrant le chapitre i aux cubiques circulaires et le chapitre il aux autres cubiques qui ont reçu des noms spéciaux. Dans les chapitres in et iv nous étudions les quartiques bicirculaires, et dans le chapitre v d'autres quartiques. Dans le chapitre vi nous considérons les courbes algébriques de degré supérieur au quatrième qui ont reçu aussi des dénominations spéciales.

Une fois terminé ce qui concerne les courbes algébriques, nous passons à considérer les courbes transcendantes aux chapitres vu et vin; ce dernier est consacré aux spirales, en prenant ce mot dans son sens géométrique.

Dans les chapitres IX, x et xi, nous étudions les équations qui, d'après le paramètre qui y entre, représentent tantôt des courbes algébriques, tantôt des courbes transcendantes: au premier, les paraboles et les hyperboles d'un ordre quelconque; au deuxième, les courbes cycloïdales; au troisième, diverses classes de courbes non comprises dans les groupes antérieurs.

Passant ensuite aux courbes gauches, nous étudions les courbes sphériques dans le chapitre xn, et les autres dans le chapitre xin. Le chapitre xiv est consacré aux théories de la polhodie et herpolhodie de Poinsot.

Nous devons avertir que quelquefois nous nous écartons du point de vue général adopté pour classer les courbes. Ainsi,, l'hypocycloïde à trois rehaussements n'a pas été placée à côté des autres quartiques, ni les paraboles cubiques à côté des autres cubiques; car il n'était pas convenable de séparer l'étude de ces courbes de l'étude générale des classes auxquelles elles appartiennent. Nous avons aussi placé dans un chapitre spécial la polhodie et l'herpolhodie de Poinsot, bien que l'une de ces courbes soit plane et l'autre à double courbure, car il ne convenait pas de séparer ces deux courbes, dont les théories sont si étroitement liées.

Dans le programme proposé par l'Académie on demande, pour chaque courbe, l'indication du nom du géomètre qui, le premier, l'a étudiée. Cette indication a été faite pour la plupart des courbes étudiées. Quand aux courbes pour lesquelles cette indication n'a été possible, on a, au moins, cité les travaux les plus anciens qui les concernent.

Porto, 1897.

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P. S. A ce qui précède, écrit en 1897, nous ajouterons aujourd'hui quelques mots.

Nous dirons d'abord que, lorsque nous avons rédigé cet ouvrage, nous avons tâché de le faire d'une manière toute élémentaire. Beaucoup de questions pouvaient être traitées avec plus de concision, par des procédés spéciaux ; mais, à notre avis, un ouvrage de ce genre, pour être utile, doit être accessible à tout lecteur qui désire étudier l'une quelconque des courbes considérées, même s'il ne possède pas des connaissances scientifiques approfondies.

Nous nous faisons aussi un devoir d'adresser le témoignage de notre réconnaissance à une personne qui n'est malheureusement plus de ce monde. Nous voulons dire du savant secrétaire de l'Académie Royale des Sciences de Madrid, D. Miguel Merino. Grand a été le service que nous a rendu cet homme éminent, dont nous avons souvent aprécié les hautes qualités du coeur et de l'intélligence.

Il a pris avec zèle sous sa direction la publication de cet ouvrage; il a fait une révision scrupuleuse du texte espagnol, traduit d'abord du portugais par une personne non au courant de la science mathématique, et il a porté sa coopération jusqu'au point de nous donner souvent de judicieux conseils, qui ont contribué efficacement à améiliorer cet ouvrage: tout cela en lutte constante avec une maladie douloureuse et cruelle dont il a fini par être victime. L'intérêt afFecteux qu'il apportait à ce travail, l'a exprimé lui-même à plusieurs reprises d'une façon assez éloquente, en déclarant à ses amis qu'il ne voulait pas mourir sans achever la publication de cette ouvrage, qu'il amait autant que son auteur. Malheureusement Dieu n'a pas exaucé sa prière, et en témoignant ici tous mes remerciments pour les services qu'il m'a rendus, je ne puis que m'adresser à son impérissable mémoire, pour exprimer à la fois ma gratitude et ma respectueuse et profonde vénération.

(') La maladie de Miguel Merino a été la cause du retard apporté à la publication de cet ouvrage. L'impression, commencée en 1900, a continué régulièrement pendant les premières années, puis elle a subi des lenteurs et en même quelquefois des interruptions.

Porto, 1905.

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