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les seules idées , parce que Dieu n'est point sujet au changement, non plus que les idées qu'il renferme.

Il n'y a aussi que les vérités qui sont entre les idées que Ton tâche de découvrir par le seul exercice de l'esprit ; car on se sert presque toujours de ses sens pour découvrir les autres vérités. On se sert de ses yeux et de ses mains pour s'assurer de l'existence des choses, et pour reconnaître les rapports d'égahté ou d'inégalité qui sont entre elles. 11 n'y a que les seules idées dont l'esprit puisse connaître infailliblement les rapports par lui-même et sans l'usage des sens. Mais nonseulement il y a rapport entre les idées , mais encore entre les rapports qui sont entre les idées , entre les rapports des rapports des idées , et enfin entre les assemblages de plusieurs rapports et entre les rapports de ces assemblages de rapports , et ainsi à Tinfini ; c'est-à-dire qu'il y a des vérités composées à l'infini. On appelle, en termes de géométrie, une vérité simple , c'est-à-dire le rapport d^une idée tout entière à ime autre , le rapport de 4 à 2 , ou à deux fois 2 , une raison géométrique, ou simplement une raison; car l'excès ou le défaut d'une idée sur une autre , ou , pour me servir des termes ordinaires , l'excès ou le défaut d'une grandeur n'est pas proprement une raison; ni les excès ouïes défauts égaux des grandeurs, des raisons égales. Lorsque les idées ou les grandeurs sont égales, c'est une raison d'égalité ; lorsqu'elles sont inégales, la laison est d'inégalité.

Le rapport qui est entre les rapports des grandeurs, c'està-dire enti'e les raisons, s'appelle raison comjméey parce que c'est un rapport composé ; le rapport qui est le rapport de 6 à 4 et de 3 à 2 est une raison composée. Et lorsque les raisons composantes sont égales, cette raison composée s'appelle proportion ou raison doublée. Le rapport qui est entre le rapport de 8 à 4 et le rapport de 6 à 3 est une pi'oportion , parce que ces deux rapports sont égaux.

Or, il faut remarquer que tous les rapports ou toutes les raisons , tant simples que composées , sont de véritables grandeurs, et que 'le terme même de grandeur est un terme relatif qui marque nécessairement quelque rapport ; car il n'y a rien de grand par soi-même et sans rapport à autre chose , sinon l'infini ou l'unité. Tous les nombres entiers sont même <les rapports aussi véi'itablement que les nombres rompus , ou que les nombres comparés à un autre, ou divisés par

DE LA METHODE. — l"^^ PARIE.

quelque autre, quoique Ton puisse n'y pas faire de réflexion, à cause que ces nombres entiers peuvent s'exprimer par un seul chiffre. 4^ par exemple, ou est un rapport aussi véritable que -i- ou L'unité à laquelle 4 a rapport n'est pas exprimée, mais elle est sous-entendue; car 4 est un rapport aussi bien que ^ ou -|-, puisque 4 est égal à j ou à . Toute grandeur étant donc un rapport , ou tout rapport une grandeur, il est visible qu'on peut exprimer tous les rapports par des chiffres , et les représenter à l'imagination par des lignes.

Ainsi, toutes les vérités n'étant^ que des rapports, pour connaître exactement toutes les vérités, tant simples que composées, il suffit de connaître exactement tous les rapports tant simples que composés. 11 y en a de deux sortes, comme on vient de dire : rapports d'égalité et d'inégahté. Il est visible que tous les rapports d'égalité sont semblables , et que , dès qu'on connaît qu'une chose est égale à une autre connue, l'on en connaît exactement le rapport. Mais il n'en est pas de même de l'inégalité : on sait qu'une tour est plus grande qu'une toise et plus petite que mille toises, et cependant on ne sait point au juste sa grandeur et le rapport qu'elle a avec une toise.

Pour comparer les choses entre elles, ou plutôt pour mesurer exactement les rapports d'inégalité, il faut une mesui'e exacte, il faut une idée simple et parfaitement intelligible, une mesure universelle et qui puisse s'accommoder h toute sorte de sujets. Cette mesure est l'unité; c'est par elle qu'on mesure exactement toutes choses, et sans elle il est impossible de rien connaître avec quelque exactitude. Mais tous les nombres n'étant composés que de l'unité, il est déjà évident que, sans les idées des nombres, et sans la manièie de comparer et de mesurer ces idées, c'est-à-dire sans Taiithmétique, il est impossible d'avancer dans la connaissance des vérités composées.

Les idées ou les rapports entre les idées , en un mot les grandeurs, pouvant être plus grandes et plus petites que d'autres grandeurs, on ne peut les rendre égales (jue par le plus et par le moins, joint avec l'unité répétée autant de fois qu'il est nécessaire. Ainsi , ce n'est que pai- l'addition et la soustraction de l'unité et des parties de l'iniité (lors(ju'on la conçoit divisée) que l'on mesure exactement toutes les grau-

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deurs et que Ton découvre toutes les vérités. Or, de toutes les sciences, Tarithmétique et l'algèbre principalement sont les seules qui nous apprennent à faire ces opérations avec adresse, avec lumière et avec un ménagement admirable de la capacité de Fesprit. Ces deux sciences sont donc les seules qui donnent à l'esprit toute la perfection et toute l'étendue dont il est capable, puisque c'est par elles seules que Ton découvre toutes les vérités qui se peuvent connaître avec une entière exactitude.

Car la géométrie ordinaire ne perfectionne pas tant l'esprit que l'imagination , et les vérités que Ton découvre par cette science ne sont pas toujours si évidentes que les géomètres s'imaginent. Ils pensent, par exemple, avoir exprimé la valeur de certaines grandeurs, lorsqu'ils ont prouvé qu'elles sont égales à certaines lignes , qui sont les sous-tendues d'angles droits dont les côtés sont exactement connus, ou à d'autres qui sont déterminées par quelqu'une des sections coniques. Mais il est visible qu'ils se trompent; car ces soustendues, par exemple, sont elles-mêmes inconnues. L'on connaît plus exactement VS ou V20 qu'une ligne que l'on s'imagine ou que l'on décrit sur le papier, pour servir de soustendue à un angle droit dont les côtés sont 2, ou dont un côté est 2 et Tautre 4. On sait au moins que VS approche fort de 3 ; et que V20 est environ 4 et et l'on peut, par certaines règles, approcher toujours à l'infini de leur véritable grandeur ; et si l'on ne peut y arriver, c'est que l'esprit ne peut compi endre l'infini. Mais on n^a qu'une idée fort confuse de la grandeur des sous-tendues, et on est même obligé de recourir à 78 ou 720 pour les exprimer. Ainsi, les constructions géométriques, dont on se sert pour exprimer les valeurs des quantités inconnues, ne sont pas si utiles à régler l'esprit et à découvrir les rapports ou les vérités que l'on cherche qu'à régler l'imagination. Mais comme l'on se plaît beaucoup plus à faire usage de son imagination que de son esprit, les mathématiciens ont d'ordinaire plus d'estime pour la géométrie que pour l'arithmétique et pour l'algèbre.

Pour faire parfaitement comprendre que l'arithmétique et l'algèbre sont ensemble la véritable logique qui sert à découvrir la vérité, et à donner à l'esprit toute l'étendue dont il est capable , il suffit de faire quelques réflexiï)ns sur les règles de ces sciences.

bE LA MÉTHODE. — PARTIE. 557

On vient de dire que toutes les vérités ne sont que des rapports; que le plus simple et le mieux connu de tous les rapports est celui d'égalité ; qu'il est le commencement d'où il faut mesurer les autres pour avoir une idée de l'inégalité ; que la mesure dont on est obligé de se servir est l'unité, et qu'il faut rajouter ou Tôter autant de fois qu'il est nécessaire pour mesurer l'excès ou le défaut de Tinégalité de ces grandeurs.

De là il est clair que toutes les opérations qui peuvent servir à découvrir les rapports d'égalité ne sont que des additions et des soustractions : additions de grandeurs pour égaler des grandeurs , additions de rapports pour égaler des i-apports , ou pour mettre les grandeurs en proportion; enfin additions de rapports de rapports pour égaler des rapports de rapports, ou pour mettre les grandeurs en proportion composée.

Pour égaler 4 avec 2 , il n'y a qu'à ajouter 2 avec 2, ou retrancher 2 de 4, ou enfin ajouter Tunité à 2 et la retranchei" de 4. Cela est clair.

Pour égaler le rapp«irt ou la raison de 8 à 2 au rapport de 6 à 3, il ne faut pas ajouter 3 à 2 ou retrancher 3 de 8, en sorte que l'excès d'un nombre à Fautre soit égal à 3, qui est l'excès de 6 sur 3 : ce ne serait qu'ajouter et qu'égaler des grandeurs simples, l'excès de 8 sur 5 à celui de 6 sur 3. Il faut chercher d'abord la grandeur du rapport de 8 à 2, ou ce que vaut-^; et l'on trouve en divisant 8 par 2 que Y exposant de ce rapport est 4, ou que -g- est égal à 4. 11 faut de même voir quelle est la grandeur du rapport de 6 à 3, et l'on trouve qu'elle est égale à 2. Ainsi Ton reconnaît que ces deux rapports-|- égal à 4, et-|- égal à 2, ne sont différents que de 2, De sorte que poui- les égaler on peut, ou bien ajouter à -|- encore-|- égal à deux, car l'on aura -î^, qui sera un rapport égal à-|-, ou bien retrancher égal à 2, de-| , car l'on aura

qui sera un rapport égal à -|- ; ou enfin ajouter l'unité à et la retrancher de car Ton aura -|- et qui sont des rapports égaux, car 9 est à 3 comme 6 est à 2.

Enfin, pour trouver la grandeur de l'inégalité entre les rapports qui résultent, l'un de la raison composée ou du rapport de rapport (Je 12 à 3 et de 3 à 1, et l'autre de la raison composée ou du rapport de rapport de 8 à 2 et de 2 à i, il faut suivre la même voie. Premièrement , la grandeur de la raison de 12 à 3 se marque par 4, où 4 est Vex-pomni de la raison

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(le 12 à 3, et 3 est l'exposant de 3 à 1, et Texposant de la raison des exposants 4 et 3 est -|-. Secondement, Texposant de 8 à 2 est 4, et de 2 à 1 est 2, et l'exposant des exposants 4 et 2 est 2 ; enfin rinégalité entre les rapports qui résultent des rapports de rapports est la différence entre et 2 , c'est-àdire -i-. Donc-^ ajouté au rapport des raisons 12 à 3 et 3 à 1, ou retranché du rapport des autres raisons 8 à 2 et 2 à 1, met en égalité ces rapports de rapports, et produit une proportion composée. Ainsi Ton peut se servir d'additions et de soustractions pour égaler les grandeurs et leurs rapports, tant simples que composés, et pour avoir une idée exacte de la grandeur de leur inégalité.

11 est vrai que l'on se sert de multiplications et de divisiom tant simples que composées, mais ce ne sont que des additions et des soustractions composées. Multiplier 4 par 3, c'est faire autant d'additions de 4 que 3 contient d'additions de l'unité , ou trouver un nombre qui ait même rapport à 4 qu'à 3 avec l'unité; el diviser 12 par 4, c'est soustraire 4 de 12 autant de fois qu'il se peut , c'est-à-dire trouver un rapport à l'unité égal à celui de 12 à 4; car 3, qui en sera l'exposant, a même rapport à l'unité que 12 à 4. Les extractions des racines carrées, cubiques , etc. , ne sont que des divisions par lesquelles on cherche une, deux ou trois moyennes proportionnelles,

11 est évident que l'esprit de l'homme est si petit, sa mémoire si peu fidèle, son imagination si peu étendue que, sans l'usage des chiffres et de l'écriture, et sans l'adresse dont on se sert dans Tenithmétique, il serait impossible de faire les opérations nécessaires pour connaître l'inégalité des grandeurs et de leurs rapports. Lorsqu'il y aurait plusieurs nombres à ajouter ou à soustraiie, ou, ce qui est la même chose, lorsque ces nombres sont grands, et qu'on ne les peut ajoute]* que par parties , on en oublierait toujours quelqu'une. Il n'y a point d'imagination assez étendue pour ajouter ensemble les fractions un peu grandes, comme -j-Q-^-f , -^-To^y~^ P^^^^" soustraire l'une de l'autre.

Les multiplications, les divisions et les extractions de racines des nombres entiers sont infinrment plus embai rassantes que les simples additions ou soustractions ;J['esprit seul, sans le secours de l'arithmétique, est trop petit et trop faible poulies faire, et il est inutile que je m'arrête ici à le faire voir.

Cependant l'analyse ou l'algèbre est encore tout autre chose

que rarithmétique ; elle partage beaucoup moins la capacité de l'esprit , elle abrège les idées de la manière la plus simple et la plus facile qui se puisse concevoir. Ce qui se fait en beaucoup de temps par larithmétique se fait en un moment par Talgcbre^ sans que l'esprit se brouille par le changement de chiffres et par la longueur des opérations. Une opération particuhère d'arithmétique ne découvre qu'une vérité ; une semblable opération d'algèbre en découvre une infinité. Enfin il y avait des choses qui se pouvaient savoir^ et qu'il était nécessaire de savoir, dont on ne pouvait avoir la connaissance par l'usage de l'aiithmétique seule; mais je ne crois pas qu'il y ait rien qui soit utile, et que les hommes puissent savoh' avec exactitude, dont ils ne puissent avoir la connaissance par l'arithmétique et par l'algèbre. De sorte que ces deux sciences sont le fondement de toutes les autres, et donnent les vrais moyens d'acquérir toutes les sciences exactes, parce qu'on ne peut ménager davantage la capacité de l'esprit que l'on le fait par l'arithmétique, et principalement par l'algèbre.