C. R., T. XX, p. 907 (Il mars i
Lorsqu'une fonction est représentée par une intégrale et qu'on ne peut obtenir la valeur exacte de cette intégrale en termes finis, on a ordinairement recours à l'intégration par série. D'ailleurs, pour effectuer cette espèce d'intégration, il suffit de développer la fonction sous le signe y en une série convergente, puis d'intégrer chaque terme de la série obtenue. Or, on peut concevoir un nombre infini de développements divers d'une fonction donnée, même lorsque cette fonction dépend d'une seule variable. Car, en supposant que l'on attribue à cette variable une valeur près de laquelle la fonction reste continue, on pourra, par exemple, développer la fonction, ou suivant les puissances entières de la variable dont il s'agit, ou suivant les puissances entières de toute autre variable qui serait fonction continue de la première. 11 résulte de cette observation qu'il existe une infinité de manières d'appliquer l'intégration par série h une intégrale donnée. Mais, parmi les développements divers qu'une intégrale peut ainsi acquérir, il importe de rechercher et de choisir ceux qui sont rapidement convergents. Une étude approfondie de la question m'a conduit à un principe général qui est éminemment propre à guider les géomètres dans cette recherche. Je vais exposer en peu de mots ce principe et les conséquences remarquables qui s'en déduisent.
Supposons que, dans une intégrale, la fonction sous le signe j ait été développée en une série ordonnée suivant les puissances entières,
positives, nulle et négatives d'une seule variable i. Cette série sera convergente si ses deux modules sont inférieurs à l'unité, et cette condition sera généralement remplie pour tout module de la variable t compris entre certaines limites qui permettront à la fonction de devenir infinie ou discontinue. Il y a plus : la série trouvée offrira, en général, une convergence rapide, lorsque le module de la variable sera fort éloigné des deux limites dont nous venons de parler; mais la convergence deviendra très lente dans le cas contraire. Or, pour remédier à cet inconvénient, il suffira évidemment de reculer ces deux limites, ou plutôt de les remplacer par des limites nouvelles, en considérant la fonction sous le signe y comme composée de deux facteurs dont le premier seul puisse devenir infini ou discontinu, quand le module de la variable atteint les deux limites primitivement calculées, et en développant le second facteur en série, sans altérer la forme du premier facteur. Si les nouvelles limites entre lesquelles le module de t peut varier, sans que le second facteur cesse d'être fini et continu, diffèrent notablement des limites primitivement calculées, alors, au développement de ce second facteur correspondra un développement de la fonction sous le signe T en une série nouvelle qui sera, en général, rapidement convergente, dans le cas où la convergence de la série primitivement obtenue devenait très lente. Si, d'ailleurs, le premier facteur est tel que l'on puisse facilement intégrer chaque terme de la nouvelle série, l'intégrale proposée pourra être représentée, avec une grande approximation, par la somme d'un petit nombre de termes.
Le principe général que nous venons d'établir s'applique avec succès à la détermination des mouvements des corps célestes. Les astronomes ont quelquefois exprimé le vœu que l'on parvînt à remplacer les développements ordinaires des coordonnées des planètes en séries de sinus et cosinus par d'autres développements plus convergents, composés de termes périodiques que l'on pût calculer facilement à l'aide de certaines Tables construites une fois pour toutes. Il y a plus : on a dit avec raison que, pour faciliter le calcul des perturbations observées dans
les mouvements des planètes et des comètes, il pourrait être avantageux de substituer aux séries composées de termes périodiques des séries composées de termes non périodiques, dont l'usage serait restreint, pour chaque astre, à une portion de l'orbite que cet astre décrit. Mais quelle est précisément la nature des tentatives que les géomètres ont pu faire pour réaliser cette pensée? C'est ce que j'ignore; et, à ma connaissance, on ne trouve rien qui soit propre à éclaircir cette question dans les Ouvrages publiés jusqu'à ce jour. Après avoir reconnu les avantages qui s'attachent à la décomposition des fonctions en facteurs, dans la détermination des coefficients que renferment les développements connus de ces fonctions, j'ai voulu voir s'il ne serait pas possible de tirer parti de cette décomposition pour développer les intégrales que présente la théorie des planètes et des comètes elles-mêmes en séries nouvelles qui fussent rapidement convergentes, au moins pour des portions considérables des orbites. Le principe ci-dessus rappelé m'a indiqué la marche que je devais suivre pour obtenir de semblables séries, et il fait ainsi disparaître les difficultés que le problème semblait offrir au premier abord. Quelques lignes suffiront pour donner aux géomètres une idée nette des résultats que j'ai trouvés, et qui me paraissent mériter de fixer un moment l'attention de l'Académie.
Les variations des éléments elliptiques des planètes et des comètes sont généralement représentées par des sommes d'intégrales de divers ordres. Considérons en particulier les variations du premier ordre, qui peuvent toujours être réduites à des intégrales simples, et celles de ces intégrales dans lesquelles la fonction sous le signe j a pour dénominateur, ou la distance t de deux planètes, ou le cube de t. En égalant la distance t à zéro, on obtiendra une équation transcendante qui, résolue par rapport au temps /, admettra généralement une infinité de racines imaginaires; et à chacune de ces racines correspondra un facteur linéaire, mais imaginaire, de la distance x. Cela posé, le principe indiqué plus haut me conduit à décomposer la distance x, en deux facteurs réels, dont le premier soit le produit des deux facteurs
linéaires et conjugués, correspondants aux racines imaginaires qui offrent le plus petit module. En divisant l'unité par ce mémo produit, on obtient un premier facteur réel de la fonction qui se trouve renfermée sous le signe / dans chaque intégrale, savoir, le facteur dont la forme ne doit point être altérée. Quant à l'autre facteur, il convient de le développer en série ordonnée suivant les puissances ascendantes d'une variable nouvelle qui, différentiée par rapport au temps, donne pour dérivée précisément le rapport de l'unité au produit mentionné ci-dessus; et, en opérant de cette manière, on voit la valeur de chaque intégrale se réduire elle-même à une série dont les divers termes sont tous, à l'exception des premiers, respectivement proportionnels aux puissances entières, positives et négatives de la nouvelle variable.
Ajoutons qu'on obtiendra encore, pour représenter chaque intégrale, une série qui pourra être employée avec succès dans la détermination des mouvements des corps célestes, si, au produit dont nous avons parlé, on substitue le carré de la distance entre deux planètes assujetties à se mouvoir, dans des orbites circulaires, avec des éléments elliptiques choisis de manière que ce carré ait pour facteur ce même produit.
Dans les recherches que je viens d'analyser, j'ai ramené la détermination d'une intégrale à la décomposition de la fonction sous le signe y en deux facteurs, dont l'un reste inaltérable, tandis que l'autre se développe en série convergente; et j'ai, de plus, supposé le premier facteur choisi de manière que la substitution du second facteur à la fonction eût pour effet de reculer les limites entre lesquelles cette fonction demeurait finie et continue. 11 n'est pas absolument nécessaire d'assujettir le premier facteur à cette dernière condition; et, pour obtenir le développement de l'intégrale en une série qui soit rapidement convergente, au moins dans ses premiers termes, il suffit souvent de considérer, comme premier facteur de la fonction sous le signe f, une seconde fonction dont elle diffère très peu. Cette remarque fort simple permet de développer les coordonnées des corps célestes, ou plutôt les accroissements de ces coordonnées, dus aux
forces perturbatrices, en séries qui paraissent dignes de remarque. Pour obtenir ces nouvelles séries, je décompose la fonction perturbatrice, ou plutôt la partie de cette fonction qui est réciproquement proportionnelle à la distance des deux planètes, en deux facteurs, dont le premier est de la forme que ce rapport acquiert quand les deux planètes se meuvent dans des orbites circulaires; puis, en laissant ce premier facteur inaltérable, je développe le second facteur suivant les puissances entières des exponentielles qui ont pour arguments les anomalies moyennes. Alors les inconnues se trouvent exprimées par des séries d'intégrales simples ou doubles dans chacune desquelles la fonction sous le signe T-cst le produit du premier facteur par une exponentielle trigonométrique dont l'argument est proportionnel au temps. Je prouve ensuite qu'on peut réduire l'évaluation numérique des intégrales à la construction de certaines Tables, et je montre comment on peut ramener : i° la détermination des intégrales simples au calcul des seules transcendantes elliptiques de première et de seconde espèce; 2" la détermination des intégrales doubles au calcul de deux autres transcendantes, qui sont ce que deviennent les premières quand on multiplie, dans chacune d'elles, la fonction sous le signe /"par la variable à laquelle se rapporte l'intégration.
Il est bon d'observer qu'on peut modifier de diverses manières la méthode et les séries nouvelles que je viens de signaler, soit en faisant subir de légères modifications à la forme du facteur qu'on laisse inaltérable, soit en substituant au temps t une autre variable indépendante. Parmi les résultats auxquels on parvient en opérant de la sorte, on doit surtout distinguer ceux qu'on obtient quand on exprime toutes les variables en fonction de l'angle qui représente la différence entre les anomalies excentriques des deux astres que l'on considère.
Dans mes précédents Mémoires, j'ai donné des formules et des méthodes nouvelles pour le calcul des perturbations des planètes et des comètes, et j'ai montré les avantages que présentent ces méthodes par des applications numériques relatives à la théorie de Pallas et de Jupiter. Mais je supposais toujours les accroissements des coordon-
nées développés en séries qui conservaient la forme adoptée jusqu'à ce jour. Dans le présent Mémoire, je change la forme des séries ellesmêmes, et je n'ignore pas que cette innovation obligera les géomètres et les astronomes à changer complètement le système des opérations qu'ils emploient pour construire les Tables astronomiques. Toutefois, cette innovation semble destinée à prévaloir, non seulement en raison de l'économie de temps et de travail qu'elle entraînera nécessairement, mais aussi et surtout parce que les nouveaux développements s'appliquent avec succès au cas même où il s'agit de calculer les perturbations observées dans le mouvement de comètes dont l'excentricité devient fort considérable et s'éloigne peu de l'unité.
Analyse.
§ I. — Considérations générales.
Soit f(^) une fonction donnée de la variable x, et supposons que l'on demande la valeur de l'intégrale
(i) S=f{{a^)cijc,
prise à partir d'une certaine origine, cette intégrale n'étant pas du nombre de celles qui s'obtiennent en termes finis. On pourra, dans un grand nombre de cas, trouver assez facilement la valeur demandée à l'aide de l'intégration par séries. Pour y parvenir, il suffira de développer la fonction f(x) en une série qui demeure convergente, du moins pour les valeurs de x comprises entre les limites de l'intégration. Il y a plus : on pourra effectuer cette opération d'une infinité de manières, en développant, par exemple, ou la fonction f(x), ou même un facteur de cette fonction, en une série ordonnée suivant les puissances entières d'une variable liée à x par une équation donnée. Si, pour fixer les idées, on a non seulement
mais encore, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites
Œuvres de C. — S. I, t. IX. aa
(le l'intégration,
la valeur de l'intégrale S, développée en série, sera
( 4 ) s = I u ^{a;} dx -f- / (' cp ( J7 ) dx -f- 1 w (p{x) dx + . . . .
D'ailleurs, pour que la formule (4) puisse servir à trouver aisément une valeur très approchée de l'intégrale S, il est nécessaire d'attribuer au facteur 9(^) et au développement de y (^) des formes telles que, d'une part, les intégrales
(5) luo{x')dx, li'(£>{x)dx, l\v(û{x)dx
se réduisent, ou à des fonctions exprimées en termes finis, ou, du moins, à des transcendantes dont on puisse calculer facilement la valeur, et que, d'autre part, la série de ces intégrales soit rapidement convergente. La première condition sera remplie si l'on réduit, par exemple, le facteur ^(cc) à une fonction rationnelle de la variable x, ou d'une exponentielle dont l'exposant serait proportionnel à x, et si, en même temps, on développe le facteur x(^) suivant les puissances entières de cette variable ou de cette exponentielle. On pourrait même, à la fonction rationnelle dont nous venons de parler, substituer une fonction algébrique et, en particulier, un radical du second degré analogue à ceux que renferment les transcendantes elliptiques. D'ailleurs, en vertu d'un théorème établi dans le résumé des Leçons sur le Calcul injinitésimal {voir Xsl trente-huitième Leçon) (*), la série (5) sera convergente lorsque la série
restera convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites de l'intégration ; et l'on peut ajouter que, dans ce cas, une convergence rapide de la série (6) entraînera généralement une conver-
(') OEuvres de Cauchy, S. II, ï. IV.
gence rapide de la série (5). Mais comment doit-on opérer pour rendre la série (6) rapidement convergente, ou dans toute son étendue, ou au moins dans ses premiers termes? C'est ce que nous allons maintenant examiner.
Supposons d'abord que la série (6) se réduise au développement de la fonction y^{x) suivant les puissances entières de la variable x. La rapidité de la convergence de cette série dépendra de la nature même de la fonction x(^)' ^t par conséquent de la nature du premier facteur o{x) de la fonction donnée f(^). Si ce premier facteur se réduit à l'unité, le facteur x(^) n'étant alors autre chose que la fonction ï{x) elle-même, la série (6) sera précisément le développement de f(^) suivant les puissances entières de x, et restera convergente tant que le module de x ne dépassera pas les limites entre lesquelles il peut varier sans que la fonction f(^) cesse d'être finie et continue. Nommons a et a, ces deux limites, a, étant la limite inférieure et a la limite supérieure. La série
(7) judo;, jvdx, jwdr,
qui, dans l'hypothèse admise, représentera le développement de l'intégrale s, sera convergente, si les limites de l'intégration demeurent comprises entre les deux modules a,, a; et elle sera même rapidement convergente si ces limites restent placées à une distance considérable de ces modules. Supposons maintenant que, l'origine ou la limite inférieure de l'intégrale demeurant constante, la limite variable, c'est-à-dire la limite supérieure, se rapproche considérablement du module a. Alors la convergence de la série (7) deviendra généralement très lente; mais, pour retrouver un développement de $ rapidement convergent, il suffira de substituer à la série (7) la série (5), en supposant, s'il est possible, le facteur cp(^) tellement choisi, que la fonction x,(^) reste continue pour des modules de x notablement supérieurs au module a. Or il est souvent facile de remplir cette dernière condition. Supposons, pour fixer les idées, que a représente le module d'une valeur particulière a de x, pour laquelle la fonction ï{x)
devienne infinie, en sorte que l'on ait
a désignant un arc réel. Alors a sera une racine de l'équation Alors aussi f(^) sera généralement proportionnel au binôme
élevé à une puissance dont l'exposant sera négatif ou offrira du moins une partie réelle négative. Représentons cette puissance par
et supposons qu'il soit possible de choisir l'exposant s de telle sorte que le produit
ne devienne pas infini pour x=.a. Enfin supposons que ce même produit ne cesse jamais d'être fini et continu, ou du moins ne cesse de l'être que pour un module b de x, placé à une distance notable du module a. Pour remplir la condition énoncée, il sufïira de prendre
(9) '^{x) — {x — aY', x^x) — {x — aY{{^x), OU bien
(10) ^{x)^{x--^\ x(^-)=(i-f)*f(^), OU encore
(I,) <p(^)=r(i|)", x(^)=(i-iyf('^).
Ajoutons que l'on pourrait attribuer à la fonction cp(^) une infinité d'autres formes, pour lesquelles la condition énoncée serait satisfaite. On pourrait supposer, par exemple,
ou plus généralement
(.3) Cr>{^) = {.%-X)-%
,\- désignant une fonetion continue de x, et x la valeur particulière que cette Fonction acquiert pour x = a.
Lorsque la fonction f(a-) est réelle, les racines de l'équation (8) sont généralement, ou des racines réelles, ou des racines imaginaires conjuguées deux à deux. Donc alors, si cette équation admet une racine imaginaire de la forme
elle admettra une autre racine imaginaire de la forme
et si la fonction f(x) peut être considérée comme ayant pour facteur
elle aura encore pour facteur
Adoptons cette hypothèse, et supposons que le produit
(^ — ae='^~'y{x — SLe-^^~'Y{{cc) = (^2 ^a^^c^g^ ^ a=')-'f(.r)
ne cesse d'être fini et continu, par rapport à x, que pour un module b de X placé à une distance notable du module a. Pour remplir la condition ci-dessus énoncée, il suffira de prendre
(i4) (f{x)z:::{jc^ — aa^cosa + a^)-*
et, par suite,
(ï5) Xi^) = (>^-'— 2a.î?cosa + a-)-'9(.r).
Nous venons de montrer, par des exemples, comment on peut déterminer le facteur o(x) de manière à rendre les séries (6) et (5) rapidement convergentes dans des cas où la convergence aurait été fort
lente, si l'on eût pris simplement 9(0;) = i. Mais, dans ce qui vient d'être dit, nous avons supposé que la série (6) se réduisait au développement dey^(x') suivant les puissances entières de x. Dans cette hypothèse, le terme général de la série (6) est de la forme
Il désignant une quantité entière positive ou négative, et par suite le terme général de la série (5) est de la forme
kn j x"- ':i^{x)dx.
Or l'intégrale renfermée dans celui-ci, savoir,
(16) . 1 x"- (!^{x) dx,
peut, ou s'exprimer sous forme finie, ou se réduire à des transcendantes connues, dans plusieurs des cas que nous avons considérés. Ainsi, en particulier, elle s'exprimera sous forme finie, si l'on prend pour 9(ii?) une des fonctions
en réduisant l'exposant s à un nombre entier ou fractionnaire, ou bien, si l'on prend pour ^{x) la fonction
{x^ — 2a:r cosa -h a-)~-%
en réduisant s à l'une des fractions
Au reste, on étendra sans difficulté les raisonnements dont nous avons fait usage au cas où la série (6) serait ordonnée, non plus suivant les puissances entières de la variable x, mais suivant les puissances entières d'une autre variable y liée à x par une certaine équation. Si, pour fixer les idées, on supposait cette équation. réduite à la formule
alors, en posant comme ci-dessus
et désignant par k„y" le terme général de la série (6), on obtiendrait pour terme général de la série (5) un produit de la forme
k^fv" (e^ — e" )-' dx.
Alors aussi l'intégrale
j' yn ( gx qu ys (^Ij. -— Tj'»-» (y — e"- Y^ dy
pourrait s'obtenir sous forme finie, si l'exposant s se réduisait à un nombre entier ou fractionnaire.
En terminant ce paragraphe, je ferai une dernière observation, (;t je remarquerai que, pour rendre la série (5) rapidement convergente, au moins dans ses premiers termes, il n'est pas absolument nécessaire d'assujettir le facteur cp(^) à la condition particulière que nous avons indiquée. 11 suffît généralement de prendre pour 9(0?) une fonction telle que le rapport
se rapproche beaucoup de l'unité, pour toute valeur de x comprise entre les limites de l'intégration, puis, de développer ce rapport suivant les puissances ascendantes de paramètres qui soient très petits et du même ordre que. la différence
§ II. — Applications diverses des principes établis dans le paragraphe I.
Considérons d'abord l'intégrale
(0 fHt)dt,
la valeur de f(^) étant donnée par l'équation
(2) f(0 — (« — 29cosM-5*)-s
dans laquelle 0, s représentent deux nombres dont le premier soit compris entre les limites o, i; et supposons cette intégrale prise à partir de l'origine zéro. Comme, en vertu de la formule (2), la fonction f(/) ne changera pas de valeur quand on fera croître l'angle / d'un multiple de la circonférence, on pourra, dans la détermination de l'intégrale (1), ramener tous les ca& à celui où la valeur numérique de t serait supposée inférieure à t:. Adoptons cette supposition, et concevons que l'on se propose d'appliquer l'intégration par série ii l'intégrale (i). On pourra y parvenir assez simplement en développant le facteur f(/) suivant les puissances entières de l'exponentielle trigonométrique
et comme, en posa
nt
on trouvera
— 2O COS ^ + 6- r= ( I — 0^ ) 1
on en conclura
(i — 2Ô cost -J
ou, ce qui revient au même,
(3) (l + 29C0S^+ 0^)--'==0o+ 20,COS^ + 202COS2^ +. . ,,
la valeur de Q^ étant déterminée par la formule et la valeur de [s]^ étant
Tel — ^(^ + l)...(5+/? — 1)
D'ailleurs, on tirera de la formule (3), en supposant l'intégration effectuée à partir de l'origine zéro.
(4) J'{{t)dt — &ot-^2&iS'mt + 2Q.,
sin2t
De plus, comme l'équation
pourra être présentée sous la forme
(6) {i-ea:)(i-^-) = o,
cette équation, résolue par rapport à x, offrira deux racines, savoir :
et par suite G, | seront les deux modules de chacune des séries que renferment les seconds membres des formules (3) et (4). Donc ces séries seront rapidement convergentes, si ô est un petit nombre; mais la convergence deviendra très lente, si 0 se rapproche beaucoup de l'unité. Voyons comment il sera possible, dans ce dernier cas, d'obtenir,-pour l'intégrale proposée, un développement plus convergent que la série déjà connue et reproduite par la formule (4)- L'équation (5) ou (6) peut s'écrire comme il suit
(8) cost=l(^d^^y
et, si l'on pose, pour abréger,
elle deviendra
(lo) cos/ =: cos(a\'^— l).
Présentée sous cette dernière forme, et résolue par rapport à /, elle fournira une infinité de racines imaginaires déterminées par la formule
(il) / = 2rtTr ± (X\^— I,
dans laquelle n désigne une quantité entière quelconque positive ou
OF.uvres de C. — S. I, t. IX. ^^
négative ; et parmi ces racines, celles qui offriront le plus petit module seront les deux suivantes :
(12) t=^Ot.\J — I, ^ = — IX\J — I,
Or les facteurs linéaires correspondants à ces deux racines, dans la fonction f(ï), seront
et le produit de ces deux facteurs sera
Ajoutons que celles des racines de l'équation (5) qui offriront le plus petit module au-dessus de a seront
^ = 2 71 it a y — I , < = — 2 7: ±: a y — r , et que leur module commun
sera séparé par une distance notable du module a. Donc, en vertu de ce qui a été dit dans le § 1, pour obtenir un développement très convergent de l'intégrale cherchée, il suffira de décomposer la fonction f(i) en deux facteurs 9(^), X,(0' dont le premier soit déterminé par la formule
puis de développer le second facteur y^{t) en une série ordonnée suivant les puissances entières de /. On y parviendra sans peine, en observant que le trinôme
est proportionnel au produit de tous les facteurs de la forme
2«7l Zt (X\J-
et qu'en conséquence f(/) sera le produit de tous les facteurs de la forme
\ 2«7iitav — 1/
multiplié par le facteur constant (i ~ 0)" ". Il en résulte que, si l'on fait, pour abréger,
■*■ y-im: -f- ay — v
en supposant la somme qu'indique le signe L étendue aux seules valeurs entières positives et négatives de n, et en excluant la valeur n =zo, on aura
et, par conséquent,
X(0 = «'^(i-^)-'4i + *^'(c2-|c4f2-f-...)-f- — (c,-...y^-+-..■l• En ordonnant ce dernier développement dey (/) suivant les puissances entières et ascendantes de t, on obtiendra une équation de la forme
et le module de la série comprise dans le second membre de cette équation sera précisément égal au module de celle que produit le développement de l'expression
2 TT ± a y' — I c'est-à-dire qu'il se réduira au rapport
Ajoutons que ce rapport sera nécessairement inférieur à ^, si, comme on l'a supposé, la valeur de t reste comprise entre les limites — ir, H-ir. Donc alors le développement de y(z) offrira une convergence rapide, et l'on pourra en dire autant, à plus forte raison, du développement correspondant de l'intégrale fï{t)dt, qui se déterminera par la formule
(.5) fun<ii^-/.-.f~^-^,-^i;f
t^dt
Observons, d'ailleurs, que chacune des intégrales comprises dans le second membre de cette formule pourra s'obtenir sous forme finie, si s est un nombre entier quelconque ou un nombre fractionnaire dont le dénominateur soit égal à 2.
Examinons en particulier le cas où l'on prend ^ = ^. Alors, en effectuant l'intégration à partir de l'origine t == o, on trouvera
(,6) , *=il±V^
Donc, en posant, pour abréger,
on aura simplement
dt
D'ailleurs, on tirera de ces formules
a / I \ dt dz
~ 2 V -/' v^'f 2 ^ yi ~ z
et, par suite.
Or, des équations (16) et (17), jointes à la formule (i5), on déduira immédiatement la valeur de l'intégrale
fmdc^f^
dt
2 9cos^ + 9*
exprimée par une série ordonnée suivant les puissances entières et paires de z, à laquelle s'ajoutera un terme proportionnel àl(s). Au reste, on peut obtenir encore la même série, à l'aide des considérations suivantes.
La formule
(18) ' f{t)^-—^='- ^^(ALL,
donne
I— 2 9cosi + B'^
Or, concevons que la valeur précédente de %{t) soit développée suivant les puissances entières de la variable z, liée à la variable t par l'équation
et posons, en conséquence,
(21) 5^(f)^/i^+/tY-2^i-j ^hJz*-\-~\-\-....
Des formules (18) et (21), jointes à l'équation
dt dz
on tirera
fï{t)dt.^J\^i,-^h,[z^+^}j+h,[z^+^^+..^'^,
et par conséquent on trouvera, en effectuant les intégrations à partir des origines correspondantes / — o, s — i,
Concevons maintenant que l'on considère les deux intégrales
,5, rdt rtdt
en supposant la valeur de x. déterminée par la formule
(24) t = (i — 29cosXi + 62)S
et les deux intégrales prises à partir de l'originp t ~ o. On reconnaîtra immédiatement que la détermination de ces intégrales peut toujours être ramenée au cas où la valeur de / est renfermée entre les limites
Adoptons cette hypothèse, et concevons encore que l'on attribue au module 6 une valeur peu différente de l'unité. Alors, en posant, comme ci-dessus,
et, de plus,
on prouvera que, pour obtenir des développements très convergents des intégrales proposées, il convient de prendre
et de développer le seul facteur
\ — ib cos/. ^ H- 6^
OU le produit tj^^t), suivant les puissances ascendantes de la variable s, liée à la variable / par l'équation
de laquelle on tire
"kdt dz
En opérant ainsi, et supposant toujours le développement de /(^) représenté par le second membre de la formule (21), on trouvera
et
t dt h(, — /il / i\ h^ — 7*2
(.8) j- = -.^..+ -j ou, ce qui revient au même,
On établirait avec la même facilité les formules qui serviraient à dé-
velopper, en séries très convergentes, les valeurs des intégrales
(3o) f^dt et fticit.
Observons d'ailleurs que, si l'on pose, pour plus de commodité,
on aura, non seulement
mais encore
Dio: --'kx J — I , D/v r=. \J — I
et, par suite,
(3i) D,(d7"t)^ -^llZll[n{\ + B^)x" — {n -^ l)Bx^+' — {n — \)9x''-'^.
Or, de cette dernière formule, jointe aux équations
(32) Dt{tx^H).=zx'^^-^tD,{x^x), ^^(i-9x)(i-9x-n^
on conclura immédiatement que la détermination des intégrales de la forme
(33) f^, f'^dt, et même de la forme
(34) fx'Hdt, J'tx^tdt,
peut être ramenée à la détermination des seules intégrales
rdt r xdt
tx dt
Il y a plus : si l'on nomme \l un coefficient distinct de X, on pourra développer l'exponentielle e^^^ suivant les puissances ascendantes
de œ = e^^v'* ^ à l'aide de la formule
(36) ei^'v/=î:= isin^I(-i)"
71 lu
qui subsiste pour toutes les valeurs de t comprises entre les limites t = — ^, t = j, \9i somme qu'indique le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières, positives, nulle et négatives de n; et la formule (36) continuera de subsister si l'on y remplace l'exponentielle
par une exponentielle de la forme
n' désignant un nombre entier quelconque. Il en résulte que, si l'on pose
on pourra développer les puissances entières de y en séries ordonnées suivant les puissances entières de oo. Donc, par suite, on pourra réduire encore la détermination des intégrales de la forme
(87) rr"— ' /O'"-^' (y^^dt, iy'^tidt
à la détermination des transcendantes déjà indiquées, c'est-à-dire des intégrales (35).
Concevons à présent que l'on prenne pour r, dans les intégrales (3o), (33), (34), etc., non plus la fonction de / que détermine la formule (24), mais la distance mutuelle de deux planètes, et que le temps soit désigné par la variable t. Alors, en raisonnant comme on vient de le faire, on pourra encore développer facilement en séries convergentes les intégrales (33), (34) et les intégrales du même genre qui serviront à exprimer les variations des éléments elliptiques. Seulement, lorsqu'on voudra évaluer les intégrales (35), le
facteur que nous avons désigné par 9(0» 6t qui devra rester inaltérable dans chaque intégrale, ne sera plus le facteur
mais un facteur de la forme
les binômes a + ^\J— i , a — €\/~ i désignant deux racines imaginaires et conjuguées de l'équation
résolue par rapport à t, savoir celles d'entre ces racines imaginaires qui offriront le plus petit module.
J'ajouterai qu'on pourra développer facilement les variations dos éléments elliptiques en séries rapidement convergentes, si l'on attribue au. facteur invariable ç(/), non plus la forme que nous venons d'indiquer, mais une forme semblable à celle que prend le rapport -? quand les deux astres se meuvent dans des orbites circulaires. Alors on réduira aisément la détermination des inégalités produites dans le mouvement d'une planète m par l'action d'une autre planète m' à la détermination de quelques transcendantes, dont les valeurs pourront être fournies par certaines Tables à simple entrée, construites une fois pour toutes. Parmi les diverses méthodes qui produisent cet effet, on doit remarquer celle qui consiste à considérer le rapport - comme une fonction de deux exponentielles trigonométriques variables dont la première a pour argument l'anomalie moyenne de la planète m', tandis que la seconde a pour argument la différence entre les anomalies moyennes des deux planètes, puis à développer lo rapport - en une série simple ordonnée suivant les puissances entières do la première exponentielle. A ce développement de - correspondent des séries d'intégrales qui représentent les variations des éléments ellip-
OEiivres de C. — S. I, t. IX, 1^
tiques. D'ailleurs, pour réduire ces intégrales à un très petit nombre de transcendantes, il suffit de recourir aux formules que nous venons d'établir, et spécialement à la formule (36).
Au reste, je me propose de consacrer un nouvel article au développement spécial de celles d'entre ces formules qui ont pour objet la détermination des mouvements planétaires (').
Astronomie. — Note sur l'application des nouvelles formules à r Astronomie.
