CALCUL DES VARIATIONS

Je vais franchir maintenant un intervalle de trente : années, et nous verrons Poisson aux prises avec le calcul | des variations. | 5 4

Le calcul des variations, considéré dans les Écoles comme la partie la plus difficile et la plus délicate des inathématiques, a été l’objet de savantes recherches de notre confrère, qui furent communiquées à l’Académie le 10 novembre 1831. |

Les géomètres trouvèrent de bonne heure les règles à l'aide desquelles on détermine le maximum ou le minimum d’une fonction explicite d’une ou de plusieurs variables ; ils tätonnèrent longtemps, au contraire, avant de découvrir un procédé général propre à la solution des questions plus compliquées dans lesquelles la fonction qui doit être un maximum ou un minimum est seulement connue par sa différentielle. Le problème relatif à la . détermination du solide de révolution qui se meut le plus . facilement possible. à travers un milieu où la résistance croit proportionnellement au carré de la vitesse, doit être rangé dans cette dernière catégorie. Newton le résolut, mais sans dire par quel procédé. Les premières méthodes qu’on ait données pour découvrir les maæima et les minima des intégrales de fonctions différentielles connues, appartiennent aux Bernoulli et à Taylor. Ces méthodes reçurent dans les mains d’Euler d'importants

perfectionnements qui forment le principal sujet de l’ouvrage intitulé : Methodus inveniendi lineas curvas, etc. Lagrange, enfin, donna dans son Calcul des variations une méthode qui à l’avantage d’être à la fois plus simple et plus générale que celles dont on avait fait jusqu'alors usage, joignait celui d’être applicable aux intégrales doubles.

La méthode des variations étant devenue peu de temps après sa publication une des branches de l’enseignement des mathématiques, il doit paraître étrange qu’on. pût encore, en 1831, y signaler de véritables lacunes; et cependant il est très-vrai que cette méthode laissait l'analyste absolument sans guide, lorsque les limites de l'intégrale double étaient variables et inconnues. Grâce au nouveau travail de Poisson, cette lacune a entièrement disparu. Les géomètres sauront désormais, même pour les cas des intégrales doubles, former les équations relatives aux limites considérées dans toute leur généralité.

Le Mémoire de Poisson a été publié dans le tome x1r du Recueil de l’Académie. Les mathématiciens y trouveront, outre le complément du calcul des variations dont le peu de. lignes qui précèdent signalent suffisamment l’importance, diverses remarques sur lés conditions d’intégrabilité des formules différentielles d'un ordre quelconque, et l'expression de l'intégrale, sous forme finie, par le moyen des quadratures, lorsque ces conditions sont satisfaites.

Un mot encore sur le Mémoire dont il vient d’être question,