LIVRE PREMIER. HS

la différence n'^"^ d'une puissance quelconque d'une fonction rationnelle de s. Il suffit pour cela de réduire, par la méthode du n** 29, cette fonction à la forme ^x^<^dx. Mais on a vu qu'alors on parvient, pour déterminer 9, à une équation différentielle d'un degré égal au plus haut exposant de s dans cette fonction, et qui le plus souvent n'est pas intégrable. On peut obvier à cet inconvénient au moyen de multiples intégrales, de la manière suivante.

Considérons généralement la fonction

Si dans l'intégrale Jx^~^ dxc~'^^^P^'^, prise depuis x nul jusqu'à x infini,

on change is-\-p)x en af, elle devient -, p fx''~*dx'c~^', la nou-

velle intégrale étant prise dans les limites précédentes. La comparaison des deux intégrales donnera

Il suit de là que

{s-hpY[s-i-p'Y'{s-hp''Y''...

Jxi-'^x'i'-^ x"i"-' ...dx dx' dx" . . . c-P^-p'-^-p"^'—-^(-^+-^+-^'+-') ~~ /.r'-' dxc-^Jx'i'-^ dx'c--^'Jx"i"-* dx" c^' . . . '

toutes les intégrales étant prises depuis x^ x\ x'\ . . . nuls jusqu'à leurs valeurs infinies; on aura donc

fx^-^x'i'-^ . . . dxdx' . . .c-P''-p'^---''(^-^^+-)[c-^-^--— i)n ~ Jx^-* dxc-^fx'i'-* dx' c-^ ...

On réduira facilement en séries convergentes, par la méthode du n° 40, le numérateur et le dénominateur de cette expression, et si l'on change dans ces séries les signes de «, i', ..., on aura la valeur très

approchée de

^''{s-\~py{s-hp'Y'...,

n, i, i', . . . étant supposés de très grands nombres. On trouvera par le numéro cité

A''{s-h pY{s-\- p'Y' . ..

ft(s-i-p)a-*-(s+p')a'-t...—i—i'—--l(>a+a'-i-.. j\n

V L «^ (c«+«'+-"— ijaj L a'2 (c«+«'+ - 1)2]

fl, a', ... étant déterminés par les équations o = — — -\- s — p —

Le cas le plus ordinaire est celui dans lequel les exposants i, i', i", . . . sont égaux, et s -\-p, s -{- p', .. . forment une progression arithmétique. On peut obtenir alors, par la méthode suivante, la différence finie de leur produit élevé à une haute puissance.

Considérons la différence A" [^(5 — i)]'. Si l'on fait^ = /+ i, elle devient

4 5' 2 En développant cette fonction en série, on a

A«i'2l L A»5'2'-2 H- ilLUp. A«5'2«-4

Les formules du n'' 40 donneront la valeur approchée de chacun des termes de cette série, et l'on voit, par ces formules, que, n et i étant de très grands nombres, A"^^'~^ est d'un ordre moindre de deux unités que A"^'*', d'où il suit que chaque terme de la série précédente est d'un