INDÉFINIE DES ÉVÉNEMENTS

p étant la probabilité' de l'arrive'e d'un e've'nement simple à chaque coup et i — p celle de sa non-arrivée, déterminer la probabilité que, sur un très grand nombre n de coups, le nombre de fois que l'événement aura lieu sera compris dans des limites données. Solution du problème. Le nombre de fois le plus probable est np. Expression de la probabilité que ce nombre de fois sera compris dans les limites np ± /. Les limites ± / restant les mêmes, cette probabilité augmente avec le nombre n de coups : la probabilité restant la même, le rapport de l'intervalle il des limites au nombre n se resserre quand n augmente, et, dans le cas de n infini, ce rapport devient nul et la probabilité se change en certitude. La solution du problème précédent sert encore à déterminer la probabilité que la valeur de p, supposée inconnue, est comprise dans des limites données, lorsque, sur un très grand nombre n de . coups, on connaît le nombre i des événements correspondants à /> qui sont arrivés :

p est à très peu près -, et généralement lorsque, dans un coup, il doit arriver l'un

quelconque de plusieurs événements simples, les probabilités respectives de ces événements sont à très peu près proportionnelles au nombre de fois qu'ils arriveront dans un très grand nombre n de coups. P étant la probabilité de l'arrivée d'un événement composé de deux événements simples, dont/» et x — p sont les possibilités respectives et i — P étant la probabilité de la non-arrivée de cet événement composé, si sur un très grand nombre n d'arrivées et de non-arrivées du même événement, on connaît le nombre i de ces arrivées, on a la probabilité que la valeur deP sera comprise dans des limites données, et, comme P est une fonction connue de />, on en conclut la probabilité que la valeur de p sera comprise dans des limites données. N° 16 '.ijS

Une urne A renfermant un très grand nombre n de boules blanches et noires,

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à chaque tirage, ou en extrait une que l'on remplace par une boule noire; on demande la probabilité' que, après r tirages, le nombre des boules blanches sera x.

La solution du problème dépend d'une équation linéaire aux différences finies partielles du premier ordre, à coefficients variables. Réduction de cette équation à une équation aux différences partielles infiniment petites. Intégration de cette dernière équation. Application de la solution au cas où l'urne est remplie primitivement de cette manière : on projette un prisme droit dont la base, étant un polygone régulier de p -T-q côtés, est assez étroite pour que le prisme ne retombe jamais sur elle; sur les /> -+- ç faces latérales, p sont blanches et q sont noires et l'on met, dans l'urne A, à chaque projection, une boule de la couleur de la face sur laquelle le prisme retombe.

Deux urnes A ef B renferment chacune un très grand nombre n de boules blanches et noires, le nombre des blanches étant égal à celui des noires dans la totalité in des boules ; on tire en même temps une boule de chaque urne, et l'on remet dans une urne la boule extraite de l'autre. En répétant un nombre quelconque r de fois cette opération, on demande la probabilité qu'il y aura x boules blanches dans l'urne A.

Le problème dépend d'une équation linéaire aux différences finies partielles du second ordre, à coefficients variables. Réduction de cette équation à une équation aux différences partielles infiniment petites du second ordre. Intégration de cette dernière équation au moyen d'une intégrale définie. Développement de cette intégrale en séries. Détermination des constantes de la série au moyen de sa valeur initiale. Théorèmes analytiques relatifs à cet objet. Application de la solution au cas où l'urne A est primitivement remplie, comme dans le problème précédent. Valeur moyenne des boules blanches de chaque urne, après r tirages. Expression générale de cette valeur, dans le cas où l'on a un nombre e d'urnes disposées circulairement et renfermant chacune un grand nombre «de boules, les unes blanches et les autres noires, chaque tirage consistant à extraire en même temps une boule de chaque urne et à la remettre dans la suivante, en partant de l'une d'elles, dans un sens déterminé. NM7 289

Chapitre IV. — De lv probabilité des erreurs des résultats moyens d'un grand

NOMBRE d'observations ET DES RÉSULTATS MOYENS LES PLUS AVANTAGEUX SOQ

Déterminer la probabilité que la somme des erreurs d'un grand nombre d'observations sera comprise dans des limites données, en supposant que la loi de possibilité des erreurs est connue, et la même pour chaque observation, et que les erreurs négatives sont aussi possibles que les erreurs positives correspondantes. Expression générale de cette probabilité. N° 18 309

Déterminer, dans les suppositions précédentes, la probabilité que la somme des erreurs d'un grand nombre d'observations ou la somme de leurs carrés, de leurs cubes, etc., sera comprise dans des limites données, abstraction faite du signe. Expression générale de cette probabilité et de la somme la plus probable. N° 19. . 3i4

Un élément étant connu à fort peu près, déterminer sa correction par l'ensemble d'un grand nombre d'observations. Formation des équations de condition. En les disposant de manière que, dans chacune d'elles, le coefficient de la correction de l'élément ait le môme signe, et les ajoutant, on forme une équation finale qui donne

cLxviii TABLE DES MATIERES-

Pat«*

une correction moyenne. Expression de la probabilité que l'erreur de cette correction moyenne est comprise dans des limites données. La manière la plus générale de former l'équation finale est do multiplier chaque équation de condition par un facteur indéterminé et d'ajouter tous ces produits. Expression de la probabilité que l'erreur de la correction donnée par cette équation finale est comprise dans des limites données. Expression de l'erreur moyenne que l'on peut craindre en plus ou en moins. Détermination du système de facteurs qui rond cette erreur un minimum. On est conduit alors au résultat que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations. Erreur moyenne de son résultat. Son expression dépend de la loi de facilité des erreurs des observations. Moyen de l'en rendre indépendant. N° 20 3i8

Corriger, par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, plusieurs éléments déjà connus à fort peu près. Formation des équations de condition. En les multipliant chacune par un facteur indéterminé et ajoutant les produits, on forme une première équation finale : un second système de facteurs donne une seconde équation finale, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ait autant d'équations finales qu'il y a d'éléments à corriger. Expression des erreurs moyennes que l'on peut craindre sur chaque élément corrigé par ces équations finales. Détermination des systèmes de facteurs par la condition que ces erreurs moyennes soient des minima. On retombe dans la méthode des moindres carrés des erreurs des observations; d'où il suit que celte méthode est celle que le Calcul des probabilités indique comme étant la plus avantageuse. Expression des erreurs moyennes qu'elle laisse encore à craindre, en plus ou en moins, sur chaque élément. Ces expressions sont indépendantes de la loi de facilité des erreurs de chaque observation et ne renferment que des données des observations. Moyen simple de comparer entre elles, du côté de la précision, diverses > Tables astronomiques d'un même astre. N° 21 827

Examen du cas où la possibilité des erreurs négatives n'est pas la même que celle des erreurs positives. Résultat moyen vers lequel converge la somme des produits des erreurs d'un grand nombre d'observations, par des facteurs quelconques; probabilité de cette convergence. N° 22 335

Examen du cas où l'on considère les observations déjà faites. Alors l'erreur de la première donne les erreurs de toutes les autres. La probabilité de celte erreur, prise a posteriori ou d'après les observations déjà faites, est le produit des probabilités respectives a priori des erreurs de chaque observation. En concevant donc une courbe dont l'abscisse soit l'erreur de la première observation, et dont ce produit soit l'ordonnée, cette courbe sera celle des probabilités a posteriori des erreurs de la première observation. L'erreur qu'il faut lui supposer est l'abscisse correspondante à l'ordonnée qui divise l'aire de la courbe en deux parties égales. La valeur de cette abscisse dépend de la loi inconnue des probabilités «joriori des erreurs des observations, et dans cette ignorance, il convient de s'en tenir au résultat le plus avantageux, déterminé a priori t^z.v\qb articles précédents. Recherche de la loi des probabilités a priori des erreurs, qui donne constamment la somme des erreurs nulle pour le résultat qu'il faut choisir a posteriori. Cette loi donne généralement la règle du minimum des carrés des erreurs des observations. Cette dernière règle devient nécessaire lorsque l'on doit choisir un résultat moyen entre plusieurs résultats, donnés chacun par un grand nombre d'observations de divers genres. N" 23 338

Recherche du système de corrections de plusieurs éléments par un grand nombre

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d'observations, qui rend un minimum, abstraction faite du signe, la plus grande des erreurs qu'il leur suppose. Ce système est celui qui rend un minimum la somme des puissances semblables, très élevées et paires, de chaque erreur. Il diffère peu du système donné par la méthode des moindres carrés des erreurs des observations. Notice historique sur les méthodes de correction des éléments par les observations. N" 24 348

Chapitre V. — Application du Calcul des Probabilités a la recherche des phénomènes ET de leurs c.\uses 355

On peut, par l'analyse des Chapitres précédents, appliquée à un grand nombre d'observations, déterminer la probabilité de l'existence des phénomènes dont l'étendue est assez petite pour être comprise dans les limites des erreurs de chaque observation. Formules qui expriment que les probabilités de l'existence du phénomène et de son étendue sont comprises dans des limites données. Application à la variation diurne du baromètre et à la rotation do la Terre, déduite des expériences sur la chute des corps. La môme analyse est applicable aux questions les plus délicates de l'Astronomie, de l'Économie politique, de la Médecine, etc., et à la solution des problèmes sur les hasards, trop compliqués pour être résolus directement par l'analyse. Un plancher étant divisé en petits carreawv rectangles par des lignes parallèles et perpendiculaires entre elles, déterminer la probabilité que, en projetant au haiard une aiguille, elle retombera sur un joint de ces carreaux. N° 2o 355

Chapitre VI. — De la probabilité des causes et des événements futurs, tirée des événements observés 370

Un événement observé étant composé d'événements simples du même genre et dont la possibilité est inconnue, déterminer la probabilité que cette possibilité est comprise dans des limites données. Expression de cette probabilité. Formule pour la déterminer par une série très convergente, lorsque l'événement observé est composé d'un grand nombre de ces événements simples. Extension de cette formule au cas où l'événement observé est composé de plusieurs genres différents d'événements simples. N" 26 370

Application de ces formules aux problèmes suivants ; Deux joueurs A et ^jouent ensemble à cette condition que celui qui sur trois coups en aura gagné deux gagnera la partie, le troisième coup n'étant pas joué comme inutile, si le même joueur gagne les deux premiers coups. Sur un grand nombre n de parties gagnées, A en a gagné le nombre i ; on demande la probabilité que son adresse, respectivement au joueur B, est comprise dans des limites données.

On demande la probabilité que le nombre des coups joués est compris dans des limites déterminées. Enfin, ce dernier nombre étant supposé connu, on demande la probabilité que le nombre des parties est compris dans des limites données.

Solutions de ces divers problèmes. N" 27 377

Application des formules du n° 26 aux naissances observées dans les principaux lieux de l'Europe. Partout le nombre des naissances des garçons est supérieur à celui des naissances des filles. Déterminer la probabilité qu'il existe une caute constante de cette supériorité, d'après les naissances observées dans un lieu donne.

OEuvresde L.— yil. . 22

cLxx TABLE DES MATIÈRES.

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Solution du problème. Celle probabilité pour Paris diffère excessivement peu de la certitude. N° 28 384

A Pans, le rapport des baptêmes des garçons à ceux des filles est —.■, tandis qu'à

Londres ce rapport est -^ • Déterminer la probabilité qu'il existe une cause constante de cette différence. Solution du problème. Celte probabilité est très grande. Conjecture vraisemblable sur cette cause. N" 29 889

Recherche de la probabilité des résultats fondés sur les Tables de mortalité ou d'assurance, construiles sur un grand nombre d'observations.

Supposant que, sur un grand nombre p d'individus de l'âge A, on ait observe qu'il en existe q à l'âge A -4- «', r à l'âge A H- « -h a', . . . , déterminer la probabilité que, sur un grand nombre p' d'individus du même âge A, il en existera

^—i- ±z à l'âge A-{-a,—diz' à l'âge A -f- « H- «', .... Solution du problème. Il en

résulte qu'en augmentant le nombre p on approche sans cesse de la vraie loi de mortalité, avec laquelle les résultats des observations coïncideraient, si p était infini. N° 30 392

Evaluer, au mnjen des naissances annuelles, la population d'un vaste empire. Solution du problème. Application à la France. Probabilité que l'erreur de celte évaluation sera comprise dans des limites données. N° 31 398

Expression de la probabilité d'un événement futur, tirée d'un événement observé. Lorsque l'événement futur est composé d'un nombre d'événements simples, beau- • coup plus petit que celui des événements simples qui entrent dans l'événement observé, on peut, sans erreur sensible, déterminer la possibilité de l'événement futur, en supposant à chaque événement simple la possibilité qui rond l'événement observé le plus probable. N° 32 ; 401

Depuis l'époque où l'on a distingué à Paris, sur les registres, les naissances de cliaque sexe, on a observé que le nombre des naissances masculines l'emporte sur celui des naissances féminines; déterminer la probabilité que cette supériorité annuelle se maintiendra dans un intervalle de temps donné, par exemple dans l'espace d'un siècle. N° 33 404

Chapitre VII. — De l'influence des inégalités inconnues qui peuvent exister

ENTRE des chances QUE l'oN SUPPOSE PARFAITEMENT ÉGALES 4 lO

Examen des cas dans lesquels cette influence est favorable ou contraire. Elle est contraire à celui qui, au jeu de croix Qi pile, parie d'amener croix un nombre impair de fois, dans un nombre pair de coups. Moyen de corriger cçlte influence. N" 34 4io

Chapitre VIII. — Des durées moyennes de la vie, des mariages et des associations QUELCONQUES 4l6

Expression de la probabilité que la durée moyenne de la vie d'un grand nombre n d'enfants sera comprise dans ces limites, vraie durée moyenne de la vie, plus ou moins une quantité donnée très petite. Il en résulte que celte probabilité croit sans cesse à mesure que le nombre des enfants augmente et que, dans le cas d'un nombre

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infini, cette probabilité se confond avec la certitude, l'intervalle des limites devenant infiniment petit ou nul. Expression de l'erreur moyenne que l'on peut craindre en prenant pour durée moyenne de la vie celle d'un grand nombre d'enfants. Règle pour conclure des Tables de mortalité la durée moyenne de ce qui reste à vivre à une personne d'un âge donné. N" 35 4 ' 6

Expression de la durée moyenne de la vie, si l'une des causes de mortalité vient à s'éteindre. Expression particulière au cas où l'on parvient à détruire une maladie qu'on ne peut contracter qu'une fois dans la vie. L'extinction de la petite vérole, au moyen de la vaccine, accroîtrait de plus de trois années la durée moyenne do la vie, si l'accroissement de population qui en résulterait n'était point arrêté par le défaut de subsistances. N° 36 4^0

De la durée moyenne des mariages. Expression de leur durée moyenne la plus probable et de la probabilité que l'erreur de cette expression est comprise dans des limites données. De la durée moyenne des associations formées d'un nombre quelconque d'individus. N° 37 4^3

Chapitre IX. — Des bénéfices dépendants de la probabilité des événements