LIVRE II

multiplierons, conformément à la méthode exposée dans les numéros précédents, c^{t) par /" ou l'unité, <p'(i) par l^, <p"(/) par /*', ... ; nous multiplierons pareillement <pi(^i) par l'unité, <f'^{t^) par/*-, et ainsi de suite; les exposants des puissances de / indiqueront alors ces valeurs. Il suffira ensuite de faire /= i dans le dernier résultat du calcul. Au moyen de ces artifices très simples, on peut facilement résoudre le problème proposé.

La probabilité de la fonction <\i{t, /,, t^, . . .) est évidemment égale au produit des probabilités de ^, /,, t^, . . ., en sorte que, si l'on substitue pour t sa valeurs — i, — ^2 — • • • » que donne l'équation

le produit de la fonction proposée par sa probabilité sera

X [<p(5 — t^ — t2 —...) -+- Il cp'(^ - /. - h — ...) + /^>"(5 - /, - /a -. ..) H-. • .] A) { x[<p,{/,) + M<p',(/0-^^^l ?';('•)+•••] X [92(^2) 4- If' 92(^2) + /^i 92(^2) +. . .]

On aura donc la somme de tous ces produits : i^ en multipliant la quantité précédente par dt, et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont tf est susceptible; 2° en multipliant cette intégrale par dt^ et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont t^ est susceptible, et ainsi de suite jusqu'à la dernière variable z,,; mais ces intégrations successives exigent quelques attentions particulières.

Considérons un terme quelconque de la quantité (A), tel que

I<l+ç,+q;+...^[s-tt'-t2~...,tt,t2, ...)?'(«-'•- '2-... )<P',('<)?2('2)---;

en le multipliant par dtt, il faut intégrer pour toutes les valeurs possibles de /,; or la fonction <^'{s — t^ — t^ — . . .) n'a lieu que lorsque t, dont la valeur est^ — t, — t^—..., égale ou surpasse q; la plus grande valeur que t, puisse recevoir est donc s — q — t^ — t^t — — De plus.

©',(/,) n'ayant lieu que lorsque t, est égal ou plus grand que q,, cette quantité est la plus petite valeur que ?, puisse recevoir; il faut donc prendre l'intégrale dont il s'agit depuis ?, = q, jusqu'à

tt = s — q — ^2 — ^3 — • • • ;

ou, ce qui revient au même, depuis /, — y, = o jusqu'à

tt — qt = s—q—qi—t2 — t3 —

On trouvera de la même manière qu'en multipliant cette nouvelle intégrale par df-i, il faudra l'intégrer depuis t^ — ^o = ^ jusqu'à

h — q'i = s — q — q t — q'.^ — ti — . . . .

En continuant d'opérer ainsi, on arrivera à une fonction de

dans laquelle il ne restera aucune des variables t, t,, t^., Cette

fonction doit être rejetée, si s — q — qt — q[^ — .. . est nul ou négatif; car il est visible que, dans ce cas, le système des fonctions ç'(/), ?«(^<)' ?a(^2)» ••• ne peut pas être employé. En effet, les plus petites valeurs de tf, t^, ... étant, par la nature de ces fonctions, égales à y,, ^2, ..., la plus grande valeur que t puisse recevoir est ^ — ^< — y'j — ...; ainsi la plus grande valeur de t — q est

or la fonction ç'(/) ne peut être employée qu'autant que / — ^ est positif.

De là résulte une solution très simple du problème proposé. Que l'on substitue : i° ^ 4- ^ au lieu de t dans cp'(^), ^' -h ^ au lieu de t dans <p"(i), q"-h t au lieu de t dans çp"'(i) et ainsi de suite; 2*" ^, -h ;, an lieu

de tt dans (p',(^»)' 4\~^^\ ^" ^^^^ ^^ ^i ^^"^ ?i(^0» •••î ^"^ 9^ "+'^2 ^^ lieu de t^ dans '^^'.^(ti), q\^ + t^ au lieu de t^ dans 92(^2)» •••» et ainsi de