LIVRE II

plus grand de ces termes que nous désignerons par k. Le terme antérieur sera -^ ^ -> et le terme suivant sera k ^~ P — ^^— • Pour que

k soit le plus grand terme, il faut que l'on ait

il est facile d'en conclure que, si l'on fait^ + x' ^=n, on aura

ainsi x est le plus grand nombre entier compris dans [n -h i)/>; en faisant donc

ce qui donne

' n-hi ' n + i I — p ^+1 — s

s sera moindre que l'unité. Si x et x' sont de très grands nombres, on aura, à très peu près,

c'est-à-dire que les exposants de /> et de i — ^ dans le plus grand terme du binôme sont à fort peu près dans le rapport de ces quantités ; en sorte que, de toutes les combinaisons qui peuvent avoir lieu dans un très grand nombre n de coups, la plus probable est celle dans laquelle chaque événement est répété proportionnellement à sa probabilité.

Le terme ^'^™*, après le plus grand, est

i.2.3...(x-/).i.2.3...(a;'+/)'^ ^ *^' On a, par le n« 33 du Livre P%

OEuvres de L. — \\\. 36

ce qui donne

1^ , /\' "■ •" " î £fi^ r ' 1

Développons le terme (x — l) ^ Son logarithme hyperbolique est

or on a

\ xj X nx- ^x^ ^x^ *'*'

nous négligerons les quantités de l'ordre -? et nous supposerons que /^ ne surpasse point l'ordre n; alors on pourra négliger les termes de 1 ordre — > parce que x et oo' sont de l'ordre n. On aura ainsi