LIVRE IL

au-dessous de l'unité. La valeur de p donne i — p— ~-, on aura

donc, par l'analyse précédente,

de là on tire

Jnc ^■'■^- r nzl l[x' — x) /3 /3 "I

\1t:\Jixx'L ^^ 2xjc' bx- bx^}

On aura le terme antérieur au plus grand terme et qui en est éloigné à la distance /, en faisant /négatif dans cette équation; en réunissant ensuite ces deux termes, leur somme sera

\Jt: sJt-xx' L'intégrale finie

ni-

2V« „ ixx'

^TT \Jl XX'

prise depuis / = o inclusivement, exprimera donc la somme de tous les termes du binôme [/? + (!— />)]"> comprise entre les deux termes, dont l'un a p"^ pour facteur, et l'autre a p^'^ pour facteur, et qui sont ainsi équidistants du plus grand terme; mais il faut retrancher de cette somme le plus grand terme qui y est évidemment compris deux fois.

Maintenant, pour avoir cette intégrale finie, nous observerons que l'on a, par le n° 10 du Livre P% y étant fonction de /,

y, ' (dy\-' i /dry i dy

d'où l'on tire, par le même numéro,

^y=fydl~ '-y-i- ^ -^ + ...+ consl.;

y étant ici égal à "• - — c"^-^'-^", les différentielles successives de y ac-

quièrent paiir facteur - — -, et ses puissances. Ainsi, /étant supposé ne

pouvoir être au plus que de l'ordre \[ri, ce facteur est de l'ordre -=» et

par conséquent ses différentielles, divisées par les puissances respectives de dly décroissent de plus en plus; en négligeant donc, comme on

l'a fait précédemment, les termes de l'ordre --> on aura, en faisant commencer avec / les deux intégrales finies et infiniment petites, et désignant par Y le plus grand terme du binôme,

La somme de tous les termes du binôme [/? + ( i — />)]" compris entre les deux termes équidistants du plus grand terme du nombre /étant égale à 2j — ^Y, elle sera

et si l'on y ajoute la somme de ces termes extrêmes, on aura, pour la somme de tous ces termes,

frdi + ^ir-

Si l'on fait

\lixx'

cette somme devient

y/TT \Jtz\J7.xx

Les termes que l'on a négligés étant de l'ordre -» cette expression est

d'autant plus exacte que n est plus grand; elle est rigoureuse lorsque n est infini. Il serait facile, par l'analyse précédente, d'avoir égard aux

termes de l'ordre - et des ordres supérieurs.