LIVRE IL

On voit ainsi que la somme des erreurs la plus probable, abstraction

ik' faite du signe, est celle qui répond à r= o. Cette somme est-rr as-

Dans le cas où <p (^) est constant, -7^ = - ; la somme des erreurs la plus

probable est donc alors la moitié de la plus grande somme possible,

somme qui est égale à sa. Mais, si (p(^) n'est pas constant et diminue à

■ik' mesure que l'erreur x augmente, alors -j- est moindre que i, et la

somme des erreurs, abstraction faite du signe, est au-dessous de la moitié de la plus grande somme possible.

On peut, par la même analyse, déterminer la probabilité que la somme des carrés des erreurs sera / -f- (x5 ; il est facile de voir que cette probabilité a pour expression l'intégrale

it:

prise depuis vs = — tz jusqu'à X3= 7:. En suivant exactement l'analyse précédente, on aura

et en faisant

s/kk'^-2k"'

la probabilité que la somme des carrés des erreurs des s observations sera comprise dans les limites —rr^^^ ~ a}r\fs sera

^J^'drc * .

La somme la plus probable est celle qui répond à rnul; elle est donc

-r-a^s. Si s est un très grand nombre, le résultat des observations

s'écartera très peu de cette valeur, et par conséquent il fera connaître

à très peu près le facteur —r-'

20. Lorsque l'on veut corriger un élément déjà connu à fort peu près, par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, on forme des équations de condition de la manière suivante. Soient s la correction de l'élément, et ê l'observation ; l'expression analytique de celle-ci sera une fonction de l'élément. En y substituant, au lieu de l'élément, sa valeur approchée, plus la correction z; en réduisant en série par rapport à s et négligeant le carré de s, cette fonction prendra la forme h -i-pz; en l'égalant à la quantité observée ê, on aura

ê = h -+- pz.

z serait donc déterminé, si l'observation était rigoureuse; mais, comme elle est susceptible d'erreur, en nommant s cette erreur, on a exactement, aux quantités près de l'ordre z^,

et en faisant € — /i = a, on a

Chaque observation fournit une équation semblable, que l'on peut représenter pour l'observation {i-\- 1)^^""^ par celle-ci

En réunissant toutes ces équations, on a

(i) Se('') = 2S/?('^- S «('■),

le signe S se rapportant à toutes les valeurs de i, depuis « = o jusqu'à i = ^ — I , * étant le nombre total des observations. En supposant nulle la somme des erreurs, cette équation donne

Sa(^

c'est ce que l'on nomme ordinairement résultat moyen des observations.

On a vu, dans le n*^ 18, que la probabilité que la somme des er-