LIVRE II

ment de 1774 jusqu'à la fin de 1782, il est né dans le royaume de Naples, la Sicile non comprise, 782852 garçons et 746821 filles, ce qui donne ff pour le rapport des naissances des garçons à celles des filles.

Les plus petits de ces nombres de naissances sont relatifs à Paris ; d'ailleurs c'est dans cette ville que les naissances des garçons et des filles approchent le plus de l'égalité. Par ces deux raisons, la probabilité que la possibilité de la naissance d'un garçon surpasse ^ doit y être moindre qu'à Londres et dans le royaume de Naples. Déterminons numériquement cette probabilité.

Nommons p le nombre des naissances masculines observées à Paris, q celui des naissances féminines, et x la possibilité d'une naissance masculine, c'est-à-dire la probabilité qu'un enfant qui doit naître sera un garçon ; i — x sera la possibilité d'une naissance féminine, et l'on aura la probabilité que, sur p ~ q naissances, p seront masculines, et q seront féminines, égale à

En faisant donc

y:=:z xP[l — x)l,

la probabilité que la valeur de x est comprise dans des limites données sera, par le n° 26, égale à

Jy dx Sràx""

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis x^=^o jusqu'à x =^\, et celle du numérateur étant prise dans les limites données. Si l'on prend zéro et^ pour ces limites, on aura la probabilité que la valeur de x ne

surpasse pas \. La valeur qui correspond au maximum de y est ^ ,

et, vu la grandeur des nombres p et y, l'excès de ^ sur ^ est trop

considérable pour employer ici la formule (c) du n° 27 du Livre P', dans l'approximation de l'intégrale JydXf prise depuis a? = o jusqu'à

OEuvres de L. — \'II. 49

x = ^; il faut donc, dans ce cas, faire usage de la formule (A) du n** 22 du même Livre. Ici l'on a

ydx x{i — x)

~ dx ~ P — {P -*-'/)-^'

la formule citée (A) donne ainsi, pour l'intégrale /yc?a;prise depuis ^ = o jusqu'à X = J,

L ip-q)' y

Quant à l'intégrale Jydx, prise depuis x = o jusqu'à a? — i, on a, par le n° 26,

jrdx = Y{\}-^

2 1.2. dx^

i/tt,

Y étant ce que devient y à son maximum, ou lorsqu'on y substitue

--— pour x; \^ est ici eeal a ^ ^^jé=zi et U, . ., > ••• sont ce que

p + qi~ -' o- ^logY— log/

deviennent v, ^^^j •••» lorsqu'on y fait, après les différentiations.

X = —" — On trouve ainsi, pour l'intégrale fydx prise depuis x nul

jiisqu a 0? = I,

fr dx = pUs'H^ \ , , ^p±qït^jlpq

vP + 9

7fL'

iipq[p + q,

la probabilité que la valeur de x ne surpasse pas | est donc égale à

iipq[p + q)

Pour appliquer de grands nombres à cette formule, il faudrait avoir les logarithmes de p, q et p — g, avec douze décimales au moins : on peut y suppléer de cette manière. On a

log

L pPqf J

o log ( I + " " ) — a log ( I — " ^

^^ p-i-qj ^ \ p + q