I . 2 . O . . . I -I- 4/ I pn

En la multipliant par la probabilité précédente de œ, en intégrant le

produit depuis x = o jusqu'à a; == i, et en le divisant par ce même

--^ produit multiplié par dz et intégré pour toutes les valeurs positives

et négatives de z, on aura la probabilité que le nombre total des boules

extraites est ^ -h s. On trouvera ainsi, par l'analyse du numéro précédent, cette probabilité égale à

En nommant donc P la probabilité que le nombre des boules extraites dans le second tirage est compris dans les limites ^ zh z, on aura

/ qZ

l'intégrale étant prise depuis z = z jusqu'à z infini.

Maintenant, le nombre pdes boules extraites dans le premier tirage peut représenter un dénombrement, et le nombre q des boules blanches qui y sont comprises peut exprimer le nombre des femmes qui, dans ce dénombrement, doivent devenir mères dans l'année, ou le nombre des naissances annuelles, correspondantes au dénombrement. Alors q' exprime le nombre des naissances annuelles observées dans

tout l'empire, et d'où l'on conclut la population ^« Dans ce cas, la

valeur précédente de P exprime la probabilité que cette population est

comprise dans les limites ^ ± s.

Nous supposerons, conformément aux données précédentes,

„ I io3i 3 -f- 105287 V

nous supposerons ensuite

(/'= i5ooooo, z=r5ooooo:

la formule précédente donne alors

11 y a donc environ 1 161 à parier contre un qu'en fixant à 4^529267 la population correspondante à quinze cent mille naissances, on ne se trompera pas d'un demi-million.

La différence entre la certitude et la probabilité P diminue avec une très grande rapidité lorsque z augmente; elle serait insensible si l'on supposait z- = 700^000.

32. Considérons maintenant la probabilité des événements futurs, tirée des événements observés, et supposons qu'ayant observé un événement composé d'un nombre quelconque d'événements simples, on cherche la probabilité d'un résultat futur, composé d'événements semblables.

Nommons oc la probabilité de chaque événement simple, y la proba-

OEuvres de L. — V[I. " 51

bilité correspondante du résultat observé, et z celle du résultat futur; la probabilité de x sera, comme on l'a vu,

r dx fydx'

l'intégrale étant prise depuis x^= o jusqu'à ^ = i; \, , est donc la

probabilité du résultat futur, prise de la valeur de x, considérée comme cause de l'événement simple. Ainsi, en nommant P la probabilité entière de l'événement futur, pn aura

^frzdx^ fydx '

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis .r = o jusqu'à a? = i .

Supposons, par exemple, qu'un événement étant arrivé m fois de suite, on demande la probabilité qu'il arrivera les n fois suivantes. Dans ce cas, x étant supposé représenter la possibilité de l'événement simple, x"' sera celle de l'événement observé, et af celle de l'événement futur, ce qui donne

d'où l'on tire

Supposons l'événement observé, composé d'un très grand nombre d'événements simples; soient a la valeur de ^ qui rend j un maximum, et Y ce maximum ; soient a' la valeur de x qui rend yz un maximum, et Y' et Z' ce que deviennent j et s à ce maximum. On aura, par le n*' 27 du Livre V, à très peu près.

V dx-^

frz dx ^= -~ ' ^

V dx-^