LIVRE IL

Concevons que la valeur de i soit -^— -i-^; 5 sera l'erreur de cette

expression de i. On a vu, dans le n° 30, que si l'on a observé que, sur un très grand nombre p d'individus de l'âge «, q sont parvenus à l'âge a -^ X, la probabilité que, sur p' autres individus de l'âge «,

^ + 5 parviendront à l'âge a^ x, est

V ^qp'[

Q iqp'{p-g){p-i-p)^

Si l'on suppose p eiq infinis, on aura évidemment

et, si l'on fait

on aura

ce qui donne à très peu près, en négligeant le carré -7^)

, „ nq''^ inq' z

ncp2 = — - — — — - — ;

ainsi la probabilité précédente de z est en même temps la probabilité de cette expression de /i(p^. Supposons maintenant 1 = 710^--+- 1; en considérant le binôme [9^ + (i — 9'')]", la probabilité de cette expression de i est, par le n" 16,

C z'^fM!-?-)^ ^1

Mais la valeur précédente de i devient, en y substituant pour «cp^ sa

valeur,

. nq'^ inq' z .

la probabilité de cette dernière expression de «est égale au produit de

OEwres de L. — VU. 54

celles de i et de z, trouvées ci-dessus; elle est donc égale à

iTC \l n p' (^^ [\ — cpj=*(i-ha>)

Ayant suppose précédemment i = --^ H- ^, on aura s = l ;— ; en

substituant donc pour / sa valeur tirée de cette équation et observant que l'on a à très peu près ^-, =9, on aura, pour la probabilité que la valeur de s sera comprise dans des limites données, l'expression in-

l'intégrale relative à z pouvant être prise depuis 5=— 00 jusqu'à 5 == 00 . De là, il est facile de conclure, par les méthodes exposées précédemment, que, si l'on fait

tégrale

l'intégrale précédente devient

kds

ftic

ainsi la probabilité que l'erreur de l'expression i= -^ sera ±:^ est

\Jtz

l'intégrale étant prise depuis s nul.

L'analyse précédente s'applique également à la durée moyenne d'un grand nombre d'associations formées de trois individus ou de quatre individus, etc. Soit n ce nombre, et supposons que tous les associés soient du même âge a au moment de l'association; désignons par/? le nombre des individus de la Table de mortalité de l'âge a, et par q le