SM

2^ff' + (^--^)g^

[fg^-^f^gY

Ces valeurs de j et de SMJ coïncident avec les précédentes, comme il est aisé de le voir en observant que l'on a

Les équations de condition étant représentées généralement par la suivante

o = ^i — ai + pijr + ^,/,

si on les multiplie respectivement parm,, m^, ... et qu'on les ajoute, on aura l'équation finale

o = S miXi — S triiai H- 7 S mipi -\- x' S mtqi ;

si l'on multiplie ensuite les mêmes équations, respectivement par n^, /la, ..., on aura, en les ajoutant, l'équation finale

o = S UiXi — S nitti -\- y'ènipi-ir y 'è niqi.

En multipliant la première de ces équations par — y^ et la seconde par pi- » I étant égal a

S mi Pi S riiÇi — S ni pi S miÇi, on aura

S imoi S mqi — S niûi S rmqi S niiXi S n,<7/ — S niXi S m/ûr/

Ce dernier terme est l'erreur de la valeur que l'on obtient pour j, en

OFMvres de L. — VU. 72

supposant nuls j?,, ^2> . . . •* on a donc alors

nu S mg,- — iii S nuqi mi — j- ;

d'où il est facile de conclure

^" 2Â" J^l ^^ Yk' " Û

en faisant

H =: S wf (Sn/^j)2 — 2 S miniS mtqi SriiÇi + S n,? (S rmqiY,

résultat qui coïncide avec celui du n° 21 du Livre II, dans lequel nous avons prouvé que le maximum du coefficient de —u- dans cette exponentielle a lieu lorsque l'on suppose généralement mi=. pi, /ii = ^, ; cette supposition donne donc le résultat le plus avantageux ou celui dont le poids est un maximum.

On déterminera la valeur de — rr, au moven des carrés des restes qui

ont lieu lorsque l'on substitue dans les équations de condition les valeurs déterminées pour j et y'. En désignant par £/ ce reste dans la jiéme équatiou de condition

o~Xi— ai -h pix + qix', et désignant par u et u' les erreurs de ces valeurs, on aura

o=z xi-\- îi — piu — qiu';

ce qui donne

Se'f =:?>x'j — 2a s piXi — 2m' SqiTi h- u- ^pf + 2uu' S piqi + u'- S qf.

On a, par le n^ 19 du Livre II,

If"

ensuite, les valeurs u et u' cessent d'être vraisemblables, lorsqu'elles surpassent des quantités de l'ordre — =• Les valeurs de SpiOCi et Sût^j?, cessent d'être vraisemblables lorsqu'elles surpassent des quantités de

SUPPLEMENTS. 571

l'ordre \'n; les valeurs de — lu'èpiXi et — 2u'SqiXi cessent donc d'être vraisemblables lorsqu'elles cessent d'être d'un ordre fini, n étant supposé infiniment grand. S/?J, SpiÇi et Sq] étant de l'ordre n, les valeurs de u^ S/?f, 2uii'Spiqi, u'^ S^J cessent d'être vraisemblables lorsqu'elles cessent d'être des quantités finies. On peut donc négliger toutes ces quantités et supposer, quel que soit le procédé dont on fait usage.

ce qui donne

ih"' •2867

2. Les méthodes précédentes se réduisent à multiplier chaque équation de condition par un facteur et à ajouter tous ces produits pour former une équation finale. Mais on peut employer d'autres considérations pour obtenir le résultat cherché : par exemple, on peut choisir celle des équations de condition qui doit le plus approcher de la vérité. Le procédé que j'ai donné dans le n° 40 du Livre III de la Mécanique céleste est de ce genre. En supposant les équations (6) du numéro précédent préparées de manière que/?,, /?2, /?3, ... soient positifs et que

les valeurs —-, —•, ■•• de j, données par ces équations dans la supposition de Xf, x^, ... nuls, forment une série décroissante, le procédé dont il s'agit consiste à choisir l'équation de condition r'*^'"*, telle que l'on ait

/>! -f-p2 -+-•••+ /?/--! </?r -h pr+i -{-... -i- pn, P\-\- P2 +■■■-+- Pr > Pr+\ -f- pr+2 + ...-+-/>„,

et à supposer

^~ Pr'

Cette valeur de y rend un minimum la somme de tous les écarts des autres valeurs, pris positivement; car, en nommant x^, x^, ... ces écarts, ^,, x^, . . ., x^-i seront positifs et Xr+,, ^r+2» • • •» -^w seront négatifs. Si l'on accroît la valeur précédente de y de la quantité infini-

ment petite §j, la somme des écarts positifs x,, a;.y, ..., ^^, diminuera de la quantité

mais la somme des écarts négatifs, pris avec le signe 4-, augmentera de la quantité

l'écart x^ deviendra p,. By. La somme des écarts, pris tous positivement, sera donc augmentée de la quantité

èx{P'--+- Pr+\+----^ Pn — Pi— P2—. .. — pr-i);

par les conditions auxquelles le choix de l'équation r*^™* est assujettie, cette quantité est positive. On verra, de la même manière, que si l'on

diminue — de Sj, la somme des écarts pris positivement sera augmentée de la quantité positive

Ôj(/?i + ;?2 +•••+ pr — pr+i— Pr+2 —...— /?«).

Ainsi, dans les deux cas d'un accroissement et d'une diminution de la

valeur — dej, la somme des écarts, pris positivement, est augmentée.

Cette considération semble donner un grand avantage à la valeur précédente dey, qui, lorsqu'il s'agit de choisir un milieu entre les résultats d'un nombre impair d'observations, devient le résultat équidistant des extrêmes. Mais le Calcul des probabilités peut seul faire apprécier cet avantage; je vais donc l'appliquer à cette question délicate.

Les seules données dont nous ferons usage sont que l'équation de condition

0=Xr— a,- H- prX

donne, abstraction faite des erreurs, une valeur de y plus petite que les r — I équations antérieures et plus grande que les /i — r équations postérieures; et que l'on a

pi-h p2-h. . .-h pr-t< Pr -h pr+i -^-- ■.-\- pn, Pi + /?2 -!- • • ■ H- Pr > Pr+\ + pr+2 H- . . . + /?/|.

On a

ce qui donne

«1 --ri

ar Xr

Pi Pi

Pr Pr

Pi ~ Pi

ar Xj^^ Pr Pr

Ainsi, — surpassant — ) — surpasse — • lien est de même de — » — » •••

Pi ^ Pr pi ^ Pr Pi P3

jusqu'à — ^^- On verra de la même manière que -^^) — ^^» ..., —2

* ^ Pr-i ^ Pr+\ pr+i pn

sont moindres que — • Ainsi, les seules conditions auxquelles nous

assujettirons les erreurs et les équations de condition sont les suivantes :

\ I j Xs Xj- Xf Xr

\ Ps Pr Ps Pr

Pi+ p-i-^- ■ ■+ Pr-i<,pr + pr+\-h-' --^ pny Pi-\- pi-\- . . .+ Pr >> pr+i + Pr+i -\- . . .+ pn-

C'est uniquement d'après ces données des observations que nous allons déterminer la probabilité de l'erreur Xr. Nous n'aurons d'ailleurs aucun égard à l'ordre qu'observent entre elles les r— i premières équations de condition et les n — r dernières, ni aux valeurs des quantités a,,

Représentons, comme ci-dessus, par ^(a?) la loi de probabilité de l'erreur x des observations et, pour exprimer que cette probabilité est la même pour les erreurs positives et négatives, supposons <^{x) fonction de x^.

Maintenant, si l'on suppose Xr positif, la probabilité que a?, surpassera Pi — sera

1 ^/f/j7cp(.r)

l'intégrale fdx(^{x) étant prise depuis x=o jusqu'à x:=p,— et k étant, comme ci-dessus, cette intégrale prise depuis x nul jusqu'à x

infini. La probabilité que les quantités — ? — » ..,^^^ seront toutes * T n p^ P2 Pr-\

plus grandes que — est donc proportionnelle au produit des r— i facteurs

l'intégrale du premier facteur étant prise depuis x = o jusqu'à a- = pf—; l'intégrale du second facteur étant prise depuis £c = o jus-

qu'à X =^p.2 — ; et ainsi de suite.

Pareillement, toutes les quantités -^^> -l±l^ ..., -!i étant supposées

^ pr+i pr+2 Pu ^^

plus petites que — > on voit, parle même raisonnement, que la probabilité de cette supposition est proportionnelle au produit des n — r facteurs

l'intégrale du premier facteur étant prise depuis a? — o jusqu'à

x = pr^t — » celle du second facteur étant prise depuis œ = o jusqu'à

X -— p^^.2— , et ainsi de suite. La probabilité de l'erreur x^ est (^{x^) ;

ainsi la probabilité que l'erreur de la r'^"** observation sera x^ et que la valeur de y donnée par la r''^"'^ équation sera plus petite que les valeurs données par les équations précédentes, et surpassera les valeurs données par les équations suivantes, cette probabilité, dis-je, sera proportionnelle au produit des n — i facteurs précédents et de 9(^r)- X étant supposé très petit, on a, aux quantités près de l'ordre x'^,

f dx (i^[x) ■=! X 9(0) 4- ttx"^ 9'(o)>

!p'(o) étant ce que devient --y— lorsque x est nul. Dans la question présente, '^[x) étant une fonction de x-^ on a 9'(o) = o, et alors on a

f dx ^[x] = a; 9(0).

Les facteurs précédents deviendront ainsi, en faisant — = C

^^ Pn (, —rr

Si l'on désigne par 9"(o) la valeur de J\, lorsque œ est nul, ç(^v)

devient

9[o)-^hpn'9"{o].

La somme des logarithmes hyperboliques de tous ces facteurs est, aux quantités près de l'ordre^', en divisant le facteur ç(^^)par 9(0),

— Ç— TT- iPi-i- P2+---^ pr-\ — pr+\ — Pr+i ~ ■ ■ • — Pn)

k ~ ? [^] (/'Ï + Z'^ +• • -^ />? + PU^-^'^■ + Pl.

La probabilité de^ est donc proportionnelle à la basée des logarithmes hyperboliques, élevée à une puissance dont l'exposant est la fonction précédente. On doit observer qu'en vertu des conditions auxquelles lo choix de l'équation r'^"^ est assujetti, la quantité

/>l -h /?2 -4- . • . + Pr-\ — Pr+{ — /?/+2 — . . . — pn

est, abstraction faite du signe, une quantité moindre que p^, et

qu'ainsi, en supposant ^ de l'ordre - = , le nombre n des observations étant supposé fort grand, le terme dépendant de la première puissance de 'C, dans la fonction précédente, est de l'ordre -4=; on peut

donc le négliger, ainsi que le dernier terme de cette fonction. En désignant donc par S/?j la somme entière

la probabilité de X, sera proportionnelle à

s ou — étant l'erreur de la valeur — donnée pour y par l'équation

^ieme La valcur donnée par la méthode la plus avantageuse est, par le

numéro précédent,

S/?,flt

et la probabilité d'une erreur (^ dans ce résultat est proportionnelle à

k' étant toujours l'intégrale fœ^dx(^[x), prise depuis œ nul jusqu'à X infini. Le résultat de la méthode que nous venons d'examiner, et que nous nommerons méthode de situation, sera préférable à celui de la méthode la plus avantageuse, si le coefficient de — (^% qui lui est relatif, surpasse le coefficient relatif à la méthode la plus avantageuse, parce qu'alors la loi de probabilité des erreurs y sera plus rapidement décroissante. Ainsi, la méthode de situation doit être préférée si l'on a

dans le cas contraire, la méthode la plus avantageuse est préférable. Si l'on a, par exemple,

-hx'

SUPPLEMENTS. 577

k devient -^ etFdevient — — ^; ce qui donne 7^ = 2A. La quantité devient — ; or on a 2A > -— v la méthode la plus avantageuse

doit donc alors être préférée.

En combinant les résultats de ces deux méthodes, on peut obtenir un résultat dont la loi de probabilité des erreurs soit plus rapidement décroissante. Nommons toujours X, l'erreur du résultat de la méthode de situation, et désignons par X,' l'erreur du résultat de la méthode la plus avantageuse. Le premier de ces résultats est, comme on l'a vu,

— ■) et le second est -f~.r' Si l'on désigne Sd.o?,- par /, ^— ^ sera l'er- Pr ^pf ^ ri i f ^pi

reur de ce dernier résultat; ainsi l'on aura /=CS/?f. La probabilité de l'existence simultanée de / et de î^ est, par le n° 21 du Livre II, proportionnelle à

l'intégrale relative à co étant prise depuis w = — tt jusqu'à co = 7:. L'intégrale relative à x, dans le facteur /c?^ r:^[x) cp^^^^^ , doit être prise, par ce qui précède, depuis a? = /?, '( jusqu'à a; = qo. En développant ce facteur suivant les puissances de x, il devient

fdx(f{x) -h Pi (ù\/—ifxdx(f[x) — /?^ — fx^ dx (f{x) -h . . . .

En prenant l'intégrale dans les limites précédentes, on a, aux quantités près de l'ordre ^',

fdx(f{x) = k — pii;<p{o).

En négligeant pareillement les quantités des ordres (^^co, C'w^, ..., on a

pi(xi\J—i fxdx <p(a7) = k' pirù\j — i, — — oa^fx^ dx (p(a;) = /'?&>'*»

k' étant l'intégrale fxdx (f{x) prise depuis x = o jusqu'à x infini. Le

Œuvres de L.— VU. 73

facteur dont il s'agit devient donc, en négligeant w', conformément à l'analyse du numéro cité du Livre II,

A- — ;?iÇ 9(0) +/(•';?,&) y/— i P\(^^'

Son logarithme hyperbolique est

^9(0) k' , — h" 2 , /?îry?(o) k' I — -|2

En changeant/?, successivement en /?2, Pz, ...,/?/•-!, on aura les logarithmes des facteurs suivants, jusqu'au facteur relatif à Pr-^'

Dans le facteur /c^^r 9(0?) c^r+i^'^N/-*, l'intégrale doit être prise depuis a? = —30, jusqu'à^ =/?;.+, ^; alors /a? û?a7cp (a;) devenant — ^', le logarithme de ce facteur est

cp(o) k' , k" 2 .

log/r.

On aura les logarithmes des facteurs suivants en changeant pr+^ successivement en pr+2f Pr+3f • ••» Pn- Lc factcur ^{pX)cPr^'^^~* est égal à

L(o)+ £^l(p"(o)c/'rî:«^.

et son logarithme est

^ /?/-Çw \/—i 4- log9(o).

Maintenant, si l'on rassemble tous ces logarithmes, si l'on considère ensuite les conditions {c) auxquelles l'équation r*^™^ est assujettie, enfin si l'on repasse des logarithmes aux nombres, on trouve, en négligeant ce qu'il est permis de négliger, que la probabilité de l'existence simultanée de / et de £^ est proportionnelle à

fd(fc

SUPPLEMENTS. 579

En faisant donc

(k" ir-X^pi

la probabilité de l'existence simultanée de X, et de Xj sera proportionnelle à

Par l'analyse du n** 21 du Livre II, l'intégrale relative à co peut être prise depuis (o= — oo jusqu'à cor=oo, et alors la probabilité précédente devient proportionnelle à

expression que l'on peut encore mettre sous cette forme

r yio) k'Y

Si l'on nomme e l'excès de la valeur de j donnée par la méthode la plus avantageuse sur celle que donne la méthode de situation, on aura '^ = 'C' — e. Supposons

la probabilité de u sera proportionnelle h

le résultat de la méthode la plus avantageuse doit donc être diminué de la quantité

r?to) n

k^k^ ("cp{o) /r' j2'

et la probabilité d'une erreur u, dans ce résultat ainsi corrigé, sera proportionnelle à l'exponentielle précédente. Le poids du nouveau

résultat sera augmenté, si ---j-^ — p n'est pas nul ; il y a donc de

l'avantage à corriger ainsi le résultat de la méthode la plus avantageuse. L'ignorance où l'on est de la loi de probabilité des erreurs des observations rend cette correction impraticable; mais il est remarquable que, dans le cas où cette probabilité est proportionnelle à cr''^\

c'est-à-dire où l'on a ^(x) = c~'"'\ la quantité -\^ — p soit nulle.

Alors le résultat de la méthode la plus avantageuse ne reçoit aucune correction du résultat de la méthode de situation, et la loi de probabilité des erreurs reste la même.

(Février 1818.)