DE LA TROISIÈME ÉDITION

Celte troisième Édition diffère de la précédente : i° par une nouvelle Introduction qui a paru l'année dernière, sous ce titre : Essai philosophique sur les Probabilités, quatrième Édition; 2» par trois Suppléments qui se rapportent à l'application du Calcul des Probabilités aux sciences naturelles et aux opérations géodésiques. Les deux premiers ont été déjà publiés séparément; le troisième, relatif aux opérations du nivellement, est terminé par l'exposition d'une méthode générale du Calcul des Probabilités, quel que soit le nombre des sources d'erreur.

(') Un quatrième Supplément a été ajouté, en 1825, par Laplace, aux exemplaires de cette troisième Édition qui étaient encore à sa disposition. Nous l'avons reproduit à la fin de ce Volume.

INTRODUCTION

Cette Introduction est le développement d'une Leçon sur les Probabilités, que je donnai en lygS, aux Écoles Normales, où je fus appelé comme professeur de Mathématiques avec Lagrange, par un décret de la Convention nationale. Je vais y présenter, sans le secours de l'Analyse, les principes et les résultats généraux de la théorie des probabilités exposée dans cet Ouvrage, en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie, qui ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité. On peut même dire, à parler en rigueur, que presque toutes nos connaissances ne sont que probables; et dans le petit nombre des choses que nous pouvons savoir avec certitude, dans les sciences mathématiques elles-mêmes, les principaux moyens de parvenir à la vérité, l'induction et l'analogie, se fondent sur les probabilités, en sorte que le système entier des connaissances humaines se rattache à la théorie exposée dans cet essai. On y verra sans doute avec intérêt qu'en ne considérant même dans les principes éternels de la raison, de la justice et de l'humanité, que les chances heureuses qui leur sont constamment attachées, il y a un grand avantage à suivre ces principes et de graves inconvénients à s'en écarter, leurs chances, comme celles qui sont favorables aux loteries, finissant toujours par prévaloir au milieu des oscillations du hasard. Je désire que les ré-

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flexions répandues dans cette Introduction puissent mériter l'attention des philosophes et la diriger vers un objet si digne de les occuper.

De la Probabilité.

Tous les événements, ceux même qui par leur petitesse semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du Soleil. Dans l'ignorance des liens qui les unissent au système entier de l'univers, on les a fait dépendre des causes finales ou du hasard, suivant qu'ils arrivaient et se succédaient avec régularité ou sans ordre apparent; mais ces causes imaginaires ont été successivement reculées avec les bornes de nos connaissances, et disparaissent entièrement devant la saine philosophie, qui ne voit en elles que l'expression de l'ignorance où nous sommes des véritables causes.

Les événements actuels ont avec les précédents une liaison fondée sur le principe évident, qu'une chose ne peut pas commencer d'être sans une cause qui la produise. Cet axiome, connu sous le nom de principe de la Tuison suffisante, s'étend aux actions même que l'on juge indiff'érentes. La volonté la plus libre ne peut sans un motif déterminant leur donner naissance; car si, toutes les circonstances de deux positions étant exactement semblables, elle agissait dans l'une et s'abstenait d'agir dans l'autre, son choix serait un eff*et sans cause ; elle serait alors, ditLeibnitz, le hasard aveugle des épicuriens. L'opinion contraire est une illusion de l'esprit, qui, perdant de vue les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses indifférentes, se persuade qu'elle s'est déterminée d'elle-même et sans motifs.

Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers comme l'eff'et de son état antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'Analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements

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des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. L'esprit humain offre, dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celles de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du Système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales les phénomènes observés et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ses efforts dans la recherche de la vérité tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance propre à l'espèce humaine est ce qui la rend supérieure aux animaux, et ses progrès en ce genre distinguent les nations et les siècles, et font leur véritable gloire.

Rappelons-nous qu'autrefois, et à une époque qui n'est pas encore bien reculée, une pluie ou une sécheresse extrême, une comète traînant après elle une queue fort étendue, les éclipses, les aurores boréales et généralement tous les phénomènes extraordinaires étaient regardés comme autant de signes de la colère céleste. On invoquait le ciel pour détourner leur funeste influence. On ne le priait point de suspendre le cours des planètes et du Soleil : l'observation eût bientôt fait sentir l'inutilité de ces prières. Mais parce que ces phénomènes, arrivant et disparaissant à de longs intervalles, semblaient contrarier l'ordre de la nature, on supposait que le ciel les faisait naître et les modifiait à son gré pour punir les crimes de la Terre. Ainsi la longue queue de la comète de i456 répandit la terreur dans l'Europe, déjà consternée par les succès rapides des Turcs qui venaient de renverser le Bas-Empire. Cet astre, après quatre de ses révolutions, a excité parmi nous un intérêt bien différent. La connaissance des lois du Système du monde, acquise dans cet intervalle, avait dissipé les craintes enfantées par l'ignorance des vrais rapports de l'homme avec l'uni-

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vers, et Halley, ayant reconnu l'identité de la comète avec celles des années i53i, 1607 et 1682, annonça son prochain retour pour la fin de 1758 ou le commencement de 1759. Le monde savant attendit avec impatience ce retour, qui devait confirmer Tune des plus grandes découvertes que l'on eût faites dans les sciences, et accomplir la prédiction de Sénèque, lorsqu'il a dit, en parlant de la révolution de ces astres qui descendent d'une énorme distance : « Le jour viendra que, par une étude suivie, de plusieurs siècles, les choses actuellement cachées paraîtront avec évidence, et la postérité s'étonnera que des vérités si claires nous aient échappé. » Glairaut entreprit alors de soumettre à l'Analyse les perturhations que la comète avait éprouvées par l'action des deux plus grosses planètes, Jupiter et Saturne : après d'immenses calculs, il fixa son prochain passage au périhélie vers le commencement d'avril 1759, ce que l'observation ne tarda pas à vérifier. La régularité que l'Astronomie nous montre dans le mouvement des comètes a lieu, sans aucun doute, dans tous les phénomènes. La courbe décrite par une simple molécule d'air ou de vapeurs est réglée d'une manière aussi certaine que les orbites planétaires : il n'y a de différence entre elles que celle qu'y met notre ignorance.

La probabilité est relative en partie à cette ignorance, en partie à nos connaissances. Nous savons que, sur trois ou un plus grand nombre d'événements, un seul doit arriver; mais rien ne porte à croire que l'un d'eux arrivera plutôt que les autres. Dans cet état d'indécision, il nous est impossible de prononcer avec certitude sur leur arrivée. Il est cependant probable qu'un de ces événements pris à volonté n'arrivera pas, parce que nous voyons plusieurs cas également possibles qui excluent son existence, tandis qu'un seul la favorise.

La théorie des hasards consiste à réduire tous les événements du même genre à un certain nombre de cas également possibles, c'està-dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence, et à déterminer le nombre de cas favorables à l'événement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles est la mesure de cette probabilité, qui n'est ainsi qu'une fraction

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dont le numérateur est le nombre des cas favorables, et dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles.

La notion précédente de la probabilité suppose qu'en faisant croître dans le même rapport le nombre des cas favorables et celui de tous les cas possibles, la probabilité reste la même. Pour s'en convaincre, que l'on considère deux urnes A et B, dont la première contienne quatre boules blanches et deux noires, et dont la seconde ne renferme que deux boules blanches et une noire. On peut imaginer les deux boules noires de la première urne attachées à un fil qui se rompt au moment où l'on saisit l'une d'elles pour l'extraire, et les quatre boules blanches formant deux systèmes semblables. Toutes les chances qui feront saisir l'une des boules du système noir amèneront une boule noire. Si l'on conçoit maintenant que les fils qui unissent les boules ne se rompent point, il est clair que le nombre des chances possibles ne changera pas, non plus que celui des chances favorables à l'extraction des boules noires; seulement on tirera de l'urne deux boules à la fois; la probabilité d'extraire une boule noire de l'urne sera donc la même qu'auparavant. Mais alors on a évidemment le cas de l'urne B, avec la seule différence que les trois boules de cette dernière urne sont remplacées par trois systèmes de deux boules invariablement unies.

Quand tous les cas sont favorables à un événement, sa probabilité se change en certitude, et son expression devient égale à Tunité. Sous ce rapport, la certitude et la probabilité sont comparables, quoiqu'il y ait une différence essentielle entre les deux états de l'esprit, lorsqu'une vérité lui est rigoureusement démontrée, ou lorsqu'il aperçoit encore une petite source d'erreurs.

Dans les choses qui ne sont que vraisemblables, la différence des données que chaque homme a sur elles est une des causes principales de la diversité des opinions que l'on voit régner sur les mêmes objets. Supposons, par exemple, que l'on ait trois urnes A, B, C, dont une ne contienne que des boules noires, tandis que les deux autres ne renferment que des boules blanches ; on doit tirer une boulo de l'urne G et l'on demande la probabilité que cette boule sera noire. Si l'on ignore

Œuvres de L. — VU. 2

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quelle est celle des trois urnes qui ne renferme que des boules noires, en sorte que l'on n'ait aucune raison de croire qu'elle est plutôt C que B ou A, ces trois hypothèses paraîtront également possibles; et comme une boule noire ne peut être extraite que dans la première hypothèse, la probabilité de l'extraire est égale à un tiers. Si l'on sait que l'urne A ne contient que des boules blanches, l'indécision ne porte plus alors que sur les urnes B et C, et la probabilité que la boule extraite de l'urne C sera noire est un demi. Enfin cette probabilité se change en certitude, si l'on est assuré que les urnes A et B ne contiennent que des boules blanches.

C'est ainsi que le même fait, récité devant une nombreuse assemblée, obtient divers degrés de croyance, suivant l'étendue des connaissances des auditeurs. Si l'homme qui le rapporte en est intimement persuadé, et si par son état et par son caractère il inspire une grande confiance, son récit, quelque extraordinaire qu'il soit, aura pour les auditeurs dépourvus de lumières le même degré de vraisemblance qu'un fait ordinaire rapporté par le même homme, et ils lui ajouteront une foi entière. Cependant, si quelqu'un d'eux sait que le même fait est rejeté par d'autres hommes également respectables, il sera dans le doute, et le fait sera jugé faux par les auditeurs éclairés qui le trouveront contraire soit à des faits bien avérés, soit aux lois immuables de la nature.

C'est à l'influence de l'opinion de ceux que la multitude juge les plus instruits, et à qui elle a coutume de donner sa confiance sur Jes plus importants objets de la vie, qu'est due la propagation de ces erreurs qui, dans les temps d'ignorance, ont couvert la face du monde. La Magie et l'Astrologie nous en offrent deux grands exemples. Ces erreurs, inculquées dès l'enfance, adoptées sans examen et n'ayant pour base que la croyance universelle, se sont maintenues pendant très longtemps, jusqu'à ce qu'enfin le progrès des sciences les ait détruites dans l'esprit des hommes éclairés, dont ensuite l'opinion les a fait disparaître chez le peuple même, par le pouvoir de l'imitation et de l'habitude qui les avait si généralement répandues. Ce pouvoir, le plus puissant ressort

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du monde moral, établit et conserve dans toute une nation des idées entièrement contraires à celles qu'il maintient ailleurs avec le même empire. Quelle indulgence ne devons-nous donc pas avoir pour les opinions différentes des nôtres, puisque cette différence ne dépend souvent que des points de vue divers où les circonstances nous ont placés ! Éclairons ceux que nous ne jugeons pas suffisamment instruits; mais auparavant examinons sévèrement nos propres opinions, et pesons avec impartialité leurs probabilités respectives.

La différence des opinions dépend encore de la manière dont on détermine l'influence des données qui sont connues. La Théorie des Probabilités tient à des considérations si délicates, qu'il n'est pas surprenant qu'avec les mêmes données deux personnes trouvent des résultats différents, surtout dans les questions très compliquées. Exposons ici les principes généraux de cette Théorie.

Principes généraux du Calcul des Probabilités.

Le premier de ces principes est la définition même de la probabilité, '" principe, qui, comme on l'a vu, est le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles.

Mais cela suppose les divers cas également possibles. S'ils ne le sont "' principe, pas, on déterminera d'abord leurs possibilités respectives, dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards. Alors la probabilité sera la somme des possibilités de chaque cas favorable. Éclaircissons ce principe par un exemple.

Supposons que l'on projette en l'air une pièce large et très mince dont les deux grandes faces opposées, que nous nommerons croix et pile, soient parfaitement semblables. Cherchons la probabilité d'amener croix une fois au moins en deux coups. Il est clair qu'il peut arriver quatre cas également possibles, savoir, croix au premier et au second coup; croix au premier coup et pile au second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile aux deux coups. Les trois premiers cas sont favorables à l'événement dont on cherche la probabilité, qui, par con-

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séquent, est égale à ^ ; en sorte qu'il y a trois contre un à parier que croix arrivera au moins une fois en deux coups.

On peut ne compter à ce jeu que trois cas différents, savoir, croiœ au premier coup, ce qui dispense d'en jouer un second; pile au premier coup et croix au second; enfin pile au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à \, si l'on considérait, avec d'Alembert, ces trois cas comme également possibles. Mais il est visible que la probabilité d'amener croix au premier coup est i, tandis que celle des deux autres cas est|; le premier cas étant un événement simple qui correspond aux deux événements composés, croix au premier et au second coup, et croix au premier coup, pile au second. Maintenant si, conformément au second principe, on ajoute la possibilité { de croix au premier coup à la possibilité { de pile arrivant au premier coup et croix au second, on aura \ pour la probabilité cherchée, ce qui s'accorde avec ce que l'on trouve dans la supposition où l'on joue les deux coups. Cette supposition ne change point le sort de celui qui parie pour cet événement; elle sert seulement à réduire les divers cas à des cas également possibles.

III' principe. Un dcs poiuts Ics plus importants de la Théorie des Probabilités, et celui qui prête le plus aux illusions, est la manière dont les probabilités augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. Si les événements sont indépendants les uns des autres, la probabilité de l'existence de leur ensemble est le produit de leurs probabilités particulières. Ainsi la probabilité d'amener un as avec un seul dé étant un sixième, celle d'amener deux as en projetant deux dés à la fois est un trentesixième. En effet, chacune des faces de l'un pouvant se combiner avec les six faces de l'autre, il y a trente-six cas également possibles, parmi lesquels un seul donne les deux as. Généralement, la probabilité qu'un événement simple, dans les mêmes circonstances, arrivera de suite un nombre donné de fois est égale à la probabilité de cet événement simple, élevée à une puissance indiquée par ce nombre. Ainsi, les puissances successives d'une fraction moindre que l'unité diminuant sans cesse, un événement qui dépend d'une suite de probabilités fort grandes peut

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devenir extrêmement peu vraisemblable. Supposons qu'un fait nous soit transmis par vingt témoins, de manière que le premier l'ait transmis au second, le second au troisième, et ainsi de suite ; supposons encore que la probabilité de cbaque témoignage soit égale à :j^ : celle du fait, résultante des témoignages, en sera moindre qu'un huitième. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabilité qu'à l'extinction de la clarté des objets par l'interposition de plusieurs morceaux de verre, un nombre de morceaux peu considérable suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un seul morceau laisse apercevoir d'une manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d'attention à cette dégradation de la probabilité des faits, lorsqu'ils sont vus à travers un grand nombre de générations successives; plusieurs événements historiques, réputés certains, seraient au moins douteux, si on les soumettait à cette épreuve. ir ff< ^

Dans les sciences purement mathématiques, les conséquences les plus éloignées participent de la certitude du principe dont elles dérivent. Dans les applications de l'Analyse à la Physique, les conséquences ont toute la certitude des faits ou des expériences. Mais dans les sciences morales, où chaque conséquence n'est déduite de ce qui la précède que d'une manière vraisemblable, quelque probables que soient ces déductions, la chance de l'erreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance de la vérité dans les conséquences très éloignées du principe.

Quand deux événements dépendent l'un de l'autre, la probabilité iv^ principe. de l'événement composé est le produit de la probabilité du premier événement par la probabilité que, cet événement étant arrivé, l'autre arrivera. Ainsi, dans le cas précédent de trois urnes A, B, C, dont deux ne contiennent que des boules blanches et dont une ne renferme que des boules noires, la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne G est f, puisque, sur trois urnes, deux ne contiennent que des boules de cette couleur. Mais, lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne G, l'indécision relative à celle des urnes qui ne renferme que des boules noires ne portant plus que sur les urnes A et B, la proba-

Çl'

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bilité d'extraire une boule blanche de l'urne B est^; le produit de f par ^, ou |, est donc la probabilité d'extraire à la fois des urnes B et C deux boules blanches. En effet, il est nécessaire pour cela que l'urne A soit celle des trois urnes qui contient des boules noires, et la probabilité de ce cas est évidemment \.

On voit par cet exemple l'influence des événements passés sur la probabilité des événements futurs. Car la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne B, qui primitivement est |, se réduit à^ lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne C; elle se changerait en certitude, si l'on avait extrait une boule noire de la même urne. On déterminera cette influence au moyen du principe suivant, qui est un corollaire du précédent.

VMirincipe. Si l'ou calculo « />nbn la probabilité de l'événement arrivé, et la probabilité d'un événement composé de celui-ci et d'un autre qu'on attend, la seconde probabilité, divisée par la première, sera la probabilité de l'événement attendu, tirée de l'événement observé.

Ici se présente la question agitée par quelques philosophes, touchant l'influence du passé sur la probabilité de l'avenir. Supposons qu'au jeu de croix ou pile, croix soit arrivé plus souvent que pile : par cela seul, nous serons portés à croire que, dans la constitution de la pièce, il existe une cause constante qui le favorise. Ainsi, dans la conduite de la vie, le bonheur constant est une preuve d'habileté, qui doit faire employer de préférence les personnes heureuses. Mais si, par l'instabilité des circonstances, nous sommes ramenés sans cesse à l'état d'une indécision absolue ; si, par exemple, on change de pièce à chaque coup, au jeu de croix ou pile, le passé ne peut répandre aucune lumière sur l'avenir, et il serait absurde d'en tenir compte.

vi« principe. Chacuue dcs causcs auxquelles un événement observé peut être attribué est indiquée avec d'autant plus de vraisemblance, qu'il est plus probable que, cette cause étant supposée exister, l'événement aura lieu; la probabilité de l'existence d'une quelconque de ces causes est donc une fraction, dont le numérateur est la probabilité de l'événement résultante de cette cause, et dont le dénominateur est la somme

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des probabilités semblables relatives à toutes les causes. Si ces diverses causes, considérées apriori, sont inégalement probables, il faut, au lieu de la probabilité de l'événement, résultante de chaque cause, employer le produit de cette probabilité par celle de la cause ellemême. C'est le principe fondamental de cette branche de l'Analyse des hasards qui consiste à remonter des événements aux causes.

Ce principe donne la raison pour laquelle on attribue les événements réguliers à une cause particulière. Quelques philosophes ont pensé que ces événements sont moins possibles que les autres, et qu'au jeu de croix ou pile, par exemple, la combinaison dans laquelle cro/^ arrive vingt fois de suite est moins facile à la nature que celles où croix et pile sont entremêlés d'une façon irrégulière. Mais cette opinion suppose que les événements passés influent sur la possibilité des événements futurs, ce qui n'est point admissible. Les combinaisons régulières n'arrivent plus rarement que parce qu'elles sont moins nombreuses. Si nous recherchons une cause là où nous apercevons de la symétrie, ce n'est pas que nous regardions un événement symétrique comme moins possible que les autres; mais, cet événement devant être l'effet d'une cause régulière ou celui du hasard, la première de ces suppositions est plus probable que la seconde. Nous voyons sur une table des caractères d'imprimerie, disposés dans cet ordre, Conslantiiwple, et nous jugeons que cet arrangement n'est pas l'effet du hasard, non parce qu'il est moins possible que les autres, puisque si ce mot n'était employé dans aucune langue, nous ne lui soupçonnerions point de cause particulière; mais, ce mot étant en usage parmi nous, il est incomparablement plus probable qu'une personne aura disposé ainsi les caractères précédents qu'il ne l'est que cet arrangement est dû au hasard.

C'est ici le lieu de définir le mot extraordinaire. Nous rangeons, par la pensée, tous les événements possibles en diverses classes, et nous regardons comme extraordinaires ceux des classes qui en comprennent un très petit nombre. Ainsi, au jeu de croix ou pile, l'arrivée de croix cent fois de suite nous paraît extraordinaire, parce que le nombre

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presque infini des combinaisons qui peuvent arriver en cent coups, étant partagé en séries régulières ou dans lesquelles nous voyons régner un ordre facile à saisir, et en séries irrégulières, celles-ci sont incomparablement plus nombreuses. La sortie d'une boule blanche d'une urne qui, sur un million de boules, n'en contient qu'une seule de cette couleur, les autres étant noires, nous paraît encore extraordinaire, parce que nous ne formons que deux classes d'événements, relatives aux deux couleurs. Mais la sortie du n'' 47^81 3, par exemple, d'une urne qui renferme un million de numéros nous semble un événement ordinaire, parce que, comparant individuellement les numéros les uns aux autres, sans les partager en classes, nous n'avons aucune raison de croire que l'un d'eux sortira plutôt que les autres.

De ce qui précède, nous devons généralement conclure que, plus un fait est extraordinaire, plus il a besoin d'être appuyé de fortes preuves; car, ceux qui l'attestent pouvant ou tromper ou avoir été trompés, ces deux causes sont d'autant plus probables que la réalité du fait l'est moins en elle-même. C'est ce que l'on verra particulièrement lorsque nous parlerons de la probabilité des témoignages. VII" principe. La probabilité d'un événement futur est la somme des produits de la probabilité de chaque cause, tirée de l'événement observé, par la probabilité que, cette cause existant, l'événementfutur aura lieu. L'exemple suivant éclaircira ce principe.

Imaginons une urne qui ne renferme que deux boules dont chacune soit ou blanche, ou noire. On extrait une de ces boules, que l'on remet ensuite dans l'urne, pour procéder à un nouveau tirage. Supposons que, dans les deux premiers tirages, on ait amené des boules blanches; on demande la probabilité d'amener encore une boule blanche au troisième tirage.

On ne peut faire ici que ces deux hypothèses ; ou l'une des boules est blanche et l'autre noire, ou toutes deux sont blanches. Dans la première hypothèse, la probabilité de l'événement observé est { : elle est l'unité ou la certitude dans la seconde. Ainsi, en regardant ces hypothèses comme autant de causes, on aura, par le sixième principe, 7 et ^

INTRODUCTION. ivn

pour leurs probabilités respectives. Or, si la première hypothèse a lieu, la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage est^; elle égale l'unité, dans la seconde hypothèse; en multipliant donc ces dernières probabilités par celles des hypothèses correspondantes, la somme des produits ou -^ sera la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage.

Quand la probabilité d'un événement simple est inconnue, on peut lui supposer également toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses, tirée de l'événement observé, est, par le sixième principe, une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement dans cette hypothèse, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les hypothèses. Ainsi la probabilité que la possibilité de l'événement est comprise dans des limites données est la somme des fractionscomprises dans ces limites. Maintenant, si l'on multiplie chaque fraction par la probabilité de l'événement futur, déterminée dans l'hypothèse correspondante, la somme des produits relatifs à toutes les hypothèses sera, par le septième principe, la probabilité de l'événement futur, tirée de l'événement observé. On trouve ainsi qu'un événement étant arrivé de suite un nombre quelconque de fois, la probabilité qu'il arrivera encore la fois suivante est égale à ce nombre augmenté de l'unité, divisé par le même nombre augmenté de deux unités. En faisant, par exemple, remonter la plus ancienne époque de l'histoire à cinq mille ans ou à 1826213 jours, et le Soleil s'étant levé constamment, dans cet intervalle, à chaque révolution de vingt-quatre heures, il y a 1826214 à parier contre un qu'il se lèvera encore demain. Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui, connaissant par l'ensemble des phénomènes le principe régulateur des jours et des saisons, voit que rien dans le moment actuel ne peut en arrêter le cours.

Buffon , dans son Arithmétique politique , calcule différemment la probabilité précédente. 11 suppose qu'elle ne diffère de l'unité que d'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est le nombre 2 élevé à une puissance égale au nombre des jours écou-

ORuvres de L. — VU. 3

xviii INTRODUCTION.

lés depuis l'époque. Mais la vraie manière de remonter des événements passés à la probabilité des causes et des événements futurs était inconnue à cet illustre écrivain.

De l'Espérance.

La probabilité des événements sert à déterminer l'espérance ou la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions : il exprime généralement l'avantage de celui qui attend un bien quelconque, dans des suppositions qui ne sont que probables. Cet avantage, dans la théorie des hasards, est le produit de la somme espérée par la probabilité de l'obtenir : c'est la somme partielle qui doit revenir lorsqu'on ne veut pas courir les risques de l'événement, en supposant que la répartition se fasse proportionnellement aux probabilités. Cette répartition est la seule équitable, lorsqu'on fait abstraction de toutes circonstances étrangères, parce qu'un égal degré de probabilité donne un droit égal sur la somme espérée. Nous nommerons cet avantage espérance mathématique. viii'principe. Lorsquc l'avautagc dépend de plusieurs événements, on l'obtient en prenant la somme des produits de la probabilité de chaque événement par le bien attaché à son arrivée.

Appliquons ce principe à des exemples. Supposons qu'au jeu àe croix ou pile Paul reçoive 2''" s'il amène croix au premier coup, et 5*^^ s'il ne l'amène qu'au second. En multipliant 2*^' par la probabilité { du premier cas, et 5^ par la probabilité { du second cas, la somme des produits, ou 2^^^^ et un quart, sera l'avantage de Paul. C'est la somme qu'il doit donner d'avance à celui qui lui a fait cet avantage; car, pour l'égalité du jeu, la mise doit être égale à l'avantage qu'il procure.

Si Paul reçoit 2^' en amenant croix au premier coup, et S^*" en l'amenant au second coup, dans le cas même où il l'aurait amené au premier, alors la probabilité d'amener croix au second coup étant ^, en multipliant 2^'" et 5^'^par|, la somme de ces produits donnera S'^'" et demi pour l'avantage de Paul et par conséquent pour sa mise au jeu.

INTRODUCTION. xix

Dans une série d'événements probables, dont les uns produisent un ix* principe. bien et les autres une perte, on aura l'avantage qui en résulte, en faisant une somme des produits de la probabilité de chaque événement favorable par le bien qu'il procure, et en retranchant de cette somme celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable par la perte qui y est attachée. Si la seconde somme l'emporte sur la première, le bénéfice devient perte, et Tespérance se change en crainte.

On doit toujours, dans la conduite de la vie, faire en sorte d'égaler au moins le produit du bien que l'on espère par sa probabilité, au produit semblable relatif à la perte. Mais il est nécessaire, pour y parvenir, d'apprécier exactement les avantages, les pertes et leurs probabilités respectives. Il faut pour cela une grande justesse d'esprit, un tact délicat et une grande expérience des choses; il faut savoir se garantir des préjugés, des illusions de la crainte et de l'espérance, et de ces fausses idées de fortune et de bonheur, dont la plupart des hommes bercent leur amour-propre.

L'application des principes précédents à la question suivante a beaucoup exercé les géomètres. Paul joue à croix ou pile, avec la condition de recevoir 2*^^ s'il amène croix au premier coup, 4^'" s'il ne l'amène qu'au second ; 8^' s'il ne l'amène qu'au troisième, et ainsi de suite. Sa mise au jeu doit être, par le huitième principe, égale au nombre des coups; en sorte que si la partie continue à l'infini, la mise doit être infinie. Cependant, aucun homme raisonnable ne voudrait exposer à ce jeu une somme même modique, 5o*^' par exemple. D'où vient cette diff'érence entre le résultat du calcul et l'indication du sens commun? On reconnut bientôt qu'elle tenait à ce que l'avantage moral qu'un bien nous procure n'est pas proportionnel à ce bien, et qu'il dépend de mille circonstances souvent très difficiles à définir, mais dont la plus générale et la plus importante est celle de la fortune. En effet, il est visible que i^' a beaucoup plus de prix pour celui qui n'en a que looque pour un millionnaire. On doit donc distinguer, dans le bien espéré, sa valeur absolue de sa valeur relative : celle-ci se règle sur les motifs qui le font désirer, au lieu que la première en est indépendante. On

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ne peut donner de principe général pour apprécier cette valeur relative. En voici cependant un proposé par Daniel Bernoulli, et qui peut servir dans beaucoup de cas.

X» principe. La valcur relative d'une somme infiniment petite est égale à sa valeur absolue divisée par le bien total de la personne intéressée. Cela suppose que tout homme a un bien quelconque dont la valeur ne peut jamais être supposée nulle. En effet, celui même qui ne possède rien donne toujours au produit de son travail et à ses espérances une valeur au moins égale à ce qui lui est rigoureusement nécessaire pour vivre.

Si l'on applique l'analyse au principe que nous venons d'exposer, on obtient la règle suivante :

En désignant par l'unité la partie de la fortune d'un individu indépendante de ses expectatives, si l'on détermine les diverses valeurs que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expectatives, et leurs probabilités, le produit de ces valeurs élevées respectivement aux puissances indiquées par ces probabilités sera la fortune physique qui procurerait à l'individu le même avantage moral qu'il reçoit de la partie de sa fortune, prise pour unité, et de ses expectatives; en retranchant donc l'unité de ce produit, la différence sera l'accroissement de la fortune physique, dû aux expectatives : nous nommerons cet accroissement espérance morale. Il est facile de voir qu'elle coïncide avec l'espérance mathématique, lorsque la fortune prise pour unité devient infinie par rapport aux variations qu'elle reçoit des expectatives. Mais, lorsque ces variations sont une partie sensible de cette unité, les deux espérances peuvent différer très sensiblement entre elles.

Cette règle conduit à des résultats conformes aux indications du sens commun, que l'on peut par ce moyen apprécier avec quelque exactitude. Ainsi, dans la question précédente, on trouve que, si la fortune de Paul est de 200^'', il ne doit pas raisonnablement mettre au jeu plus de 9^'^. La même règle conduit encore à répartir le danger sur plusieurs parties d'un bien que l'on attend, plutôt que d'exposer ce bien tout entier au même danger. Il en résulte pareillement qu'au jeu le plus égal, la perte est toujours relativement plus grande que le gain . En sup-

INTRODUCTION. j^f

posant, par exemple, qu'un joueur, ayant une fortune de loo'"'", en expose 5o au jeu de croix ou pile, sa fortune après sa mise au jeu sera réduite à Sy'*", c'est-à-dire que cette dernière somme procurerait au joueur le même avantage moral que l'état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée par sa probabilité. On peut juger par là de l'immoralité des jeux dans lesquels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Ils ne subsistent que par les faux raisonnements et par la cupidité qu'ils fomentent, et qui, portant le peuple à sacrifier son nécessaire à des espérances chimériques dont il est hors d'état d'apprécier l'invraisemblance, sont la source d'une infinité de maux.

Le désavantage des jeux, l'avantage de ne pas exposer au même danger tout le bien qu'on attend, et tous les résultats semblables indiqués par le bon sens subsistent, quelle que soit la fonction de la fortune physique qui, pour chaque individu, exprime sa fortune morale. Il suffit que le rapport de l'accroissement de cette fonction à l'accroissement de la fortune physique diminue à mesure que celle-ci augmente.

Des méthodes analytiques du Calcul des prohabilités.

L'application des principes que nous venons d'exposer aux diverses questions de probabilité exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'Analyse, Ht spécialement à la Théorie des combinaisons et au Calcul des différences finies.

Si l'on forme le produit des binômes, l'unité plus une première lettre, l'unité plus une seconde lettre, l'unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite jusqu'à n lettres; en retranchant l'unité de ce produit développé, on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux, trois à trois, . . . , chaque combinaison ayant l'unité pour coefficient. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises 5 à s, on observera que, si l'on suppose ces lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance n du binôme, un plus la première lettre : ainsi le nombre des combinaisons

xxH INTRODUCTION.

fies n lettres prises s^as sera le coefficient de la puissance s de la première lettre dans le développement de ce binôme : on aura donc ce nombre par la formule connue du binôme.

On aura égard k la situation respective des lettres dans chaque combinaison en observant que, si l'on joint une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang, ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinaisons une troisième lettre, on peut lui donner dans chaque combinaison le premier, le second et le troisième rang, ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres, en tout, six combinaisons. De là il est facile de conclure que le nombre des arrangements dont ^ lettres sont susceptibles est le produit des nombres depuis l'unité jusqu'à s ; il faut donc, pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier parce produit le nombre des combinaisons des n lettres prises ^ à ^, ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient du terme du binôme qui exprime ce nombre.

Imaginons une loterie composée de n numéros, dont r sortent à chaque tirage : on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés dans un tirage. Pour y parvenir, on déterminera le nombre des combinaisons des n numéros pris 5 à 5. Ensuite on déterminera le nombre des combinaisons de r numéros pris semblablement ^ à ^. Le rapport de ce dernier nombre au précédent est évidemment la probabilité que les s numéros donnés seront compris dans les rnuméros qui doivent sortir; ce rapport est donc la probabilité demandée. Ainsi, dans la loterie de France, formée, comme on sait, de 90 numéros dont 5 sortent à chaque tirage, la probabilité de la sortie d'un extrait donné est ^ ou :j^; la loterie devrait donc alors, pour l'égalité du jeu, rendre 1 8 fois la mise. Le nombre total des combinaisons 2 à 2 de 90 numéros est 4oo5, et il en sort 10 à chaque tirage. La probabilité de la sortie d'un ambe donné est donc 5^, et la loterie devrait rendre alors 400 fois et demie la mise; elle devrait la rendre 11 748 fois pour un terne, 5i io38 fois pour un quaterne, et 43949268 fois pour un quine. La loterie est loin de faire aux joueurs ces avantages.

INTRODUCTION. xxiir

Supposons dans une urne a boules blanches et b boules noires, et qu'après en avoir extrait une boule on la remette dans l'urne : on demande la probabilité que, dans le nombre n de tirages, on amènera m boules blanches et /z — m boules noires. Il est clair que le nombre de cas qui peuvent arriver à chaque tirage est a -\- b. Chaque cas du second tirage pouvant se combiner avec tous les cas du premier, le nombre de cas possibles en deux tirages est le carré du binôme a-h b. Dans le développement de ce carré, le carré de «exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux fois une boule blanche; le double produit àea par b exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blanche et une boule noire sont amenées; enfin le carré de b exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux boules noires. En continuant ainsi, on voit généralement que la puissance n du binôme a+b exprime le nombre de tous les cas possibles dans n tirages, et que, dans le développement de cette puissance, le terme multiplié par la puissance m de a exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener m boules blanches et n — m boules noires. En divisant donc ce terme par la puissance entière du binôme, on aura la probabilité d'amener m boules blanches et n — m boules noires. Le rapport des nombres «et a-\-b étant la probabilité d'amener une boule blanche dans un tirage, et le rapport des nombres b Qia-\-b étant la probabilité d'amener une boule noire, si Ton nomme/? et q ces probabilités, la probabilité d'amener m boules blanches dans n tirages sera le terme multiplié par la puissance m dey? dans le développement de la puissance n du binôme p + q : on peut observer que la somme /? -f- ^ est l'unité. Cette propriété remarquable du binôme est très utile dans la théorie des probabilités. ., ..,.jj ;>..j^^.;.. ,

Mais la méthode la plus générale et la plus directe pour résoudre les questions de probabilité consiste à les faire dépendre d'équations aux différences. En comparant les états successifs de la fonction qui exprime la probabilité, lorsque l'on fait croître les variables de leurs différences respectives, la question proposée fournit souvent un rapport très simple entre ces états. Ce rapport est ce que l'on nomme équation aux diffé-

XXIV INTRODUCTION

rences ordinaires ou partielles : ordinaires, lorsqu'il n'y a qu'une variable ; partielles, lorsqu'il y en a plusieurs. Donnons-en quelques exemples.

Trois joueurs, dont les forces sont supposées les mêmes, jouent ensemble aux conditions suivantes. Celui des deux premiers joueurs qui gagne son adversaire joue avec le troisième, et, s'il le gagne, la partie est finie. S'il est vaincu, le vainqueur joue avec l'autre, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres, ce qui termine la partie. On demande la probabilité que la partie sera finie dans un nombre quelconque n de coups. Cherchons d'abord la probabilité qu'elle finira précisément au coup n. Pour cela, le joueur qui gagne doit entrer au jeu au coup n — i et le gagner, ainsi que le coup suivant. Mais si, au lieu de gagner le coup /i — i, il était vaincu par son adversaire, celui-ci venant de gagner l'autre joueur, la partie finirait à ce coup. Ainsi la probabilité qu'un des joueurs entrera au jeu au coup Ai — i et le gagnera est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant pour que la partie se termine au coup Ji, la probabilité de ce dernier cas ne sera qu'un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une fonction du nombre /i; cette fonction est donc égale à la moitié de la même fonction, lorsqu'on y diminue n de l'unité. Cette égalité forme une de ces équations que l'on nomme équations aux différences finies ordinaires.

On peut déterminer facilement, à son moyen, la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plus tôt qu'au second coup, et pour cela il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui a gagné son adversaire gagne au second coup le troisième joueur; la probabilité que la partie finira à ce coup est donc j. De là, en vertu de l'équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie sont { pour le troisième coup, ^ pour le quatrième,..., et généralement { élevé à la puissance n — i pour le n'*=™* coup. La somme de toutes ces puissances de ^ est l'unité moins la dernière de ces puis-

INTRODUCTION. xxv

sances : c'est la probabilité que la partie sera terminée au plus tard dans n coups.

Considérons encore le premier problème un peu difficile que l'on ait résolu sur les probabilités, et que Pascal proposa de résoudre à Fermât. Deux joueurs A et B, dont les adresses sont égales, jouent ensemble avec la condition que celui qui le premier aura vaincu l'autre un nombre donné de fois gagnera la partie, et emportera la somme des mises au jeu; après quelques coups, les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie; on demande de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dépendent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur pour atteindre le nombre donné. Ainsi la probabilité de A est une fonction de ces deux nombres que nous nommerons indices. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change point leur sort, pourvu qu'après ce nouveau coup le partage se fasse toujours proportionnellement aux nouvelles probabilités de gagner la partie), alors, ou A gagnerait ce coup, et dans ce cas le nombre des points qui lui manquent serait diminué d'une unité; ou le joueur B le gagnerait, et dans ce cas le nombre des points manquant à ce dernier joueur deviendrait moindre d'une unité. Mais la probabilité de chacun de ces cas est|; la fonction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction, dans laquelle on diminue de l'unité le premier indice, plus à la moitié de la même fonction dans laquelle le second indice est diminué de l'unité. Cette égalité est une de ces équations que l'on nomme équations aux différences partielles .

On peut déterminer, à son moyen, les probabilités de A en partant des plus petits nombres, et en observant que la probabilité ou la fonction qui l'exprime est égale à l'unité, lorsqu'il ne manque aucun point au joueur A, ou lorsque le premier indice est nul, et que cette fonction devient nulle avec le second indice. En supposant ainsi qu'il ne manque qu'un point au joueur A, on trouve que sa probabilité est |,

OEuvres de L. — VII. 4

XXVI INTRODUCTION

|, |, . . . , suivant qu'il manque à B un point, ou deux, ou trois, etc. Généralement, elle est alors égale à l'unité moins la puissance de {, égale au nombre des points qui manquent à B. On supposera ensuite qu'il manque deux points au joueur A, et l'on trouvera sa probabilité égale à |, ^, ||, . . . , suivant qu'il manque à B un point, ou deux, ou trois, etc. On supposera encore qu'il manque trois points au joueur A, et ainsi de suite.

Cette manière d'obtenir les valeurs successives d'une quantité au moyen de son équation aux différences est longue et pénible. Les géomètres ont cherché des méthodes pour avoir la fonction générale des indices qui satisfait à cette équation, en sorte que l'on n'ait besoin, pour chaque cas particulier, que de substituer dans cette fonction les valeurs correspondantes des indices. Considérons cet objet d'une manièregénérale. Pourcela, concevons une suite de termes disposés surune ligne horizontale, et tels que chacun d'eux dérive des précédents suivant une loi donnée. Supposons cette loi exprimée par une équation entre plusieurs termes consécutifs et leur indice ou le nombre qui indique le rang qu'ils occupent dans la série. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies à un seul indice. L'ordre ou le degré de cette équation est la différence du rang de ses deux termes extrêmes. On peut, à son moyen, déterminer successivement les termes de la série et la continuer indéfiniment ; mais il faut pour cela connaître un nombre de termes de la série égal au degré de l'équation. Ces termes sont les constantes arbitraires de l'expression du terme général de la série, ou de l'intégrale de l'équation aux différences.

Concevons maintenant, au-dessus des termes de la série précédente, une seconde série de termes disposés horizontalement; concevons encore, au-dessus des termes de la seconde série, une troisième série horizontale, et ainsi de suite à l'infini, et supposons les termes de toutes ces séries, liés par une équation générale entre plusieurs termes consécutifs, pris tant dans le sens horizontal que dans le sens vertical, et les nombres qui indiquent leur rang dans les deux sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à deux indices.

INTRODUCTION. xxvii

Concevons pareillement, au-dessus du plan des séries précédentes, un second plan de séries semblables, dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux du premier plan; concevons ensuite, au-dessus de ce second plan, un troisième plan de séries semblables, et ainsi à l'infini; supposons tous les termes de ces séries liés par une équation entre plusieurs termes consécutifs, pris dans les sens de la longueur, de la largeur et de la profondeur, et les trois nombres qui indiquent leur rang dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à trois indices.

Enfin, en considérant la chose, d'une manière abstraite et indépendante des dimensions de l'espace, concevons généralement un système de grandeurs qui soient fonctions d'un nombre quelconque d'indices, et supposons, entre ces grandeurs, leurs différences relatives à ces indices et les indices eux-mêmes, autant d'équations qu'il y a de ces grandeurs : ces équations seront aux différences finies partielles à un nombre quelconque d'indices.

On peut, à leur moyen, déterminer successivement ces grandeurs. Mais de même que l'équation à un seul indice exige pour cela que l'on connaisse un certain nombre de termes de la série, de même l'équation à deux indices exige que l'on connaisse une ou plusieurs lignes de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire d'un des indices. Pareillement, l'équation à trois indices exige que l'on connaisse un ou plusieurs plans de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire de deux indices, ainsi de suite. Dans tous ces cas, on pourra, par des éliminations successives, déterminer un terme quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine étant comprises dans un même système d'équations, toutes les expressions des termes successifs que l'on obtient par ces éliminations doivent être comprises dans une expression générale, fonction des indices qui déterminent le rang du terme. Cette expression est l'intégrale de l'équation proposée aux différences, et sa recherche est l'objet du Calcul intégral.

Taylor est le premier qui, dans son Ouvrage intitulé Methodus incre-

XXVIII INTBODUCTION.

mentorum, ait considéré les équations linéaires aux différences finies. 11 y donne la manière d'intégrer celles du premier ordre, avec un coefficient et un dernier terme, fonctions de l'indice. A la vérité, les relations des termes des progressions arithmétiques et géométriques que l'on a considérées de tout temps sont les cas les plus simples des équations linéaires aux différences; mais on ne les avait pas envisagées sous ce point de vue, l'un de ceux qui, se rattachant à des théories générales, conduisent à ces théories, et sont par là de véritables découvertes.

Vers le même temps, Moivre considéra sous la dénomination de suites récwrentes les équations aux différences finies d'un ordre quelconque, à coefficients constants. Il parvint à les intégrer d'une manière très ingénieuse. Comme il est toujours intéressant de suivre la marche des inventeurs, je vais exposer celle de Moivre, en l'appliquant à une suite récurrente dont la relation entre trois termes consécutifs est donnée. D'abord, il considère la relation entre les termes consécutifs d'une progression géométrique, ou l'équation à deux termes qui l'exprime. En la rapportant aux termes inférieurs d'une unité, il la multiplie dans cet état par un facteur constant, et il retranche le produit de l'équation primitive. Par là, il obtient une équation entre trois termes consécutifs de la progression géométrique. Moivre considère ensuite une seconde progression dont la raison des termes est le facteur même qu'il vient d'employer. Il diminue pareillement d'une unité l'indice des termes de l'équation de cette nouvelle progression ; dans cet état, il la multiplie par la raison des termes de la première progression, et il retranche le produit de l'équation de la seconde progression, ce qui lui donne entre trois termes consécutifs de cette progression une relation entièrement semblable à celle qu'il a trouvée pour la première progression. Puis il observe que, si l'on ajoute terme à terme les deux progressions, la même relation subsiste entre trois quelconques de ces sommes consécutives. Il compare les coefficients de cette relation à ceux de la relation des termes de la suite récurrente proposée, et il trouve, pour déterminer les rapports des deux progressions géométri-

INTRODUCTION. xkix

qiiès, une équation du second degré dont les racines sont ces rapports. Par là, Moivre décompose la suite récurrente en deux progressions géométriques, multipliées chacune par une constante arbitraire, qu'il détermine au moyen des deux premiers termes de la suite récurrente. Ce procédé ingénieux est au fond celui que d'Alembert a depuis employé pour l'intégration des équations linéaires aux différences infiniment petites à coefficients constants, et que Lagrange a transporté aux équations semblables à différences finies.

Ensuite, j'ai considéré les équations linéaires aux différences partielles finies, d'abord sous la dénomination de suites récurro-récurrentes, et après, sous leur dénomination propre. La manière la plus générale et la plus simple d'intégrer toutes ces équations me paraît être celle que j'ai fondée sur la considération des fonctions génératrices, dont voici l'idée.

Si l'on conçoit une fonction A, d'une variable t, développée dans une série ascendante par rapport aux puissances de cette variable, le coefficient de l'une quelconque de ces puissances sera une fonction de l'exposant ou indice de cette puissance. A est ce que je nomme fonction génératrice de ce coefficient ou de la fonction de l'indice.

Maintenant, si l'on multiplie la série A par une fonction linéaire de la même variable t, telle, par exemple, que l'unité plus deux fois cette variable, le produit sera une nouvelle fonction génératrice, dans laquelle le coefficient d'une puissance quelconque de la variable sera égal au coefficient de la même puissance dans A, plus au double du coefficient de la puissance inférieure d'une unité. Ainsi la fonction de l'indice, dans le produit, égalera la fonction de l'indice dans A, plus le double de cette même fonction dans laquelle l'indice est diminué de l'unité. Cette fonction de l'indice dans le développement du produit est ainsi une dérivée de la fonction de l'indice dans A, dérivée que l'on peut exprimer par une caractéristique S placée devant cette dernière fonction. La dérivation indiquée par la caractéristique dépend du multiplicateur de A, que nous désignerons par B et que nous supposerons développé, comme A, par rapport aux puissances de la variable t.

XXX INTRODUCTION

Si l'on multiplie de nouveau par B le produit de A par B, ce qui revient à multiplier A par le carré de B, on formera une troisième fonction génératrice, dans laquelle le coefficient d'une puissance quelconque de t sera une dérivée semblable du coefficient correspondant du produit précédent; on pourra donc l'exprimer par la même caractéristique B, placée devant la dérivée précédente, et alors cette caractéristique sera deux fois écrite devant le coefficient correspondant de la série A. Mais, au lieu de l'écrire ainsi deux fois, on lui donne pour exposant le nombre deux.

En continuant ainsi, on voit généralement que, si l'on multiplie A par la puissance n de B, on aura le coefficient d'une puissance quelconque de la variable t dans le produit en plaçant devant le coefficient correspondant de A la caractéristique S avec n pour exposant.

Supposons que B soit l'unité divisée par t\ alors, dans le produit de A par B, le coefficient d'une puissance de cette variable sera le coefficient d'une puissance supérieure d'une unité dans A, d'où il suit que, dans le produit de A par la puissance n de B, ce coefficient sera celui de la puissance supérieure de n unités dans A.

Désignons par C l'unité divisée par la variable t, moins un; alors, dans le produit de A par C, le coefficient d'une puissance de la variable sera le coefficient de sa puissance supérieure d'une unité dans la série A, moins le coefficient de cette puissance dans la même série ; il sera donc la différence finie de ce dernier coefficient dans lequel on fait varier l'indice de l'unité. Ainsi, dans le produit de A par la puissance n de G, le coefficient sera la difTérence n'^™^ du coefficient correspondant de A.

B étant ici égal à l'unité plus C, la puissance n de B est identiquement égale à la même puissance du binôme un plus C. En multipliant donc par A ces deux puissances, les deux produits seront identiques. Or, dans le produit de A par la puissance n de B, le coefficient d'une puissance quelconque de la variable t est, comme on l'a vu, le coefficient de la puissance supérieure de n unités dans A; il est donc la fonction de l'indice augmenté du nombre n. Dans le produit de A par

INTRODUCTION. xxxi

le développement du binôme un plus C, on aura, par ce qui précède, les coefficients correspondants en écrivant, au lieu des produits de A par les puissances successives de C, les différences successives de la fonction de l'indice dans A, et en multipliant par cette fonction le terme indépendant de C. On aura donc une fonction quelconque de l'indice augmentée de l'indéterminée n, exprimée par les coefficients de la puissance n du binôme un plus un, multipliés respectivement par la fonction elle-même et par ses différences successives, ce qui donne l'interpolation des séries au moyen des différences de leurs termes consécutifs, en considérant l'indéterminée n comme fractionnaire.

L'équation identique B égale C plus un donne l'équation identique C égale B moins un. En élevant à la puissance n les deux membres de cette dernière égalité et multipliant par A ces deux puissances, dans le produit de A par la puissance n de C, le coefficient d'une puissance donnée de la variable t sera la différence finie ji}^^^ du coefficient de la même puissance dans A. Dans le produit de A par le développement de la puissance n du binôme B moins un, le coefficient de la puissance donnée de la variable sera la somme des termes de ce développement multipliés respectivement par les valeurs du coefficient de la même puissance dans A, lorsqu'on fait croître successivement l'indice de ce coefficient des quantités n, n moins un, n moins deux, etc., ce qui donne la différence finie n*^™^ d'une fonction de l'indice, au moyen des valeurs successives de cette fonction.

§ désignant la dérivée du coefficient d'une puissance donnée de la variable t dans A, relative au multiplicateur B, désignons par la caractéristique A la dérivée relative au multiplicateur C. Si dans l'équation B égale G plus un on substitue S au lieu de B, et A au lieu de C, par ce qui précède, en élevant les deux membres de cette équation à la puissance n, il y aura toujours égalité, pourvu que dans chaque terme du développement on place le coefficient de la puissance donnée de la variable dans A, ou la fonction de l'indice, à la suite de chaque puissance des caractéristiques, et que l'on multiplie par cette fonction

XXXII INTRODUCTION

le terme indépendant des caractéristiques. La même chose a lieu dans l'équation C égale B moins un, et encore dans l'équation B moins G égale un. En substituant S et A au lieu de B et de G, et élevant les deux membres de cette dernière équation à la puissance w, en développant ensuite le premier membre, l'égalité subsistera, pourvu que dans chaque terme on place la fonction de l'indice à la suite des puissances des caractéristiques S et A et des produits de ces puissances, et que l'on écrive cette fonction au lieu de l'unité dans le second membre, ce qui donne une expression de cette fonction au moyen de ses valeurs successives et de ses différences.

Si l'on applique les mêmes considérations à d'autres valeurs des multiplicateurs B et C, on est conduit à ce résultat général : quelles que soient les fonctions de la variable t représentées par B et G, on peut, dans le développement de toutes les équations identiques qui peuvent être formées entre elles, substituer, au lieu de ces fonctions, les caractéristiques correspondantes S et A, pourvu que l'on écrive la fonction de l'indice à la suite des puissances ou des produits de puissances des caractéristiques, et que l'on multiplie par cette fonction les termes indépendants des caractéristiques. En effet, il est visible que si, dans un terme quelconque du développement de l'équation entre B et G dont il s'agit, r est la puissance de B et r' celle de G, il faut, pour repasser des fonctions génératrices à leurs coefficients, écrire % au lieu de B, A au lieu de G, et placer le produit des puissances r et r' de ces caractéristiques devant la fonction de l'indice.

On doit observer ici que les équations entre les caractéristiques sont identiques, comme les équations correspondantes entre B et G. Ainsi la fonction de l'indice augmenté de l'indéterminée n par une série de différences est identique avec cette série : elle n'est au fond que cette fonction transformée. Mais c'est dans ces transformations que résident le pouvoir de l'Analyse et ses avantages. Si, par exemple, la nature d'une question conduit à regarder comme nulle la différence troisième d'une fonction, alors la série précédente se termine, et devient la fonction de n qui satisfait à cette condition et qui, par conséquent, est

INTRODUCTION. xxxm

l'intégrale de l'équation que l'on obtient en égalant à zéro la troisième différence de la fonction. Cette intégrale r^rerme, comme constantes arbitraires, la fonction de l'indice et ses différences première et seconde, relatives au cas de n nul. 1^

Concevons maintenant que A soit une fonction de deux variables t et t'y développée dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de puissances de ces variables ; le coefficient du produit de deux puissances quelconques sera une fonction des indices de ces puissances, dont A sera la fonction génératrice.

Multiplions A par une fonction B des deux variables t et t\ développée par rapport aux puissances et aux produits de ces variables, telle, par exemple, que la première variable, plus la seconde, moins deux; le produit sera une nouvelle fonction génératrice, dans laquelle le coefficient du produit de deux puissances quelconques n et n' des mêmes variables sera égal à ce même coefficient dans A, en y diminuant d'une unité l'indice n de la première variable, plus à ce même coefficient dans lequel on diminue d'une unité l'indice n' de la seconde variable, moins le double de ce coefficient. On pourra exprimer ce nouveau coefficient par une caractéristique ^ placée devant le coefficient de A. On verra, comme ci-dessus, que le coefficient correspondant dans le produit de A par une puissance quelconque de B sera exprimé par cette caractéristique toujours placée devant le coefficient de A, et à laquelle on donne pour exposant celui de la puissance de B. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont relatifs aux fonctions d'une seule variable.

On pourra développer d'une manière semblable une fonction quelconque de deux indices augmentés respectivement des indéterminées n et n', dans une série ordonnée par rapport aux puissances d'une caractéristique : montrons-le par un exemple. Pour cela, conservons à B la valeur que nous venons de lui supposer. Dans ce cas, la première variable sera identiquement égale au trinôme deux moins la seconde variable plus B ; la première variable, élevée à la puissance n prise en moins, sera donc égale à ce trinôme élevé à la même puissance. Mul-

OEuvres de L. — \\\. 5

XXXIV INTRODUCTION

tiplions les deux membres de cette égalité par la série A divisée par la puissance n' de la seconde variable, et développons le second membre. En repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients, celui du produit de deux puissances données des variables dans le premier membre sera ce que devient le coefficient du même produit dans A, lorsqu'on augmente ses indices respectivement des indéterminées n et/i'. Dans un terme quelconque du développement du second membre, le coefficient du même produit sera ce que ce terme devient en y substituant, au lieu deB, ^ affecté du même exposant et placé devant le coefficient de A, dans lequel on diminue le second indice, de l'exposant de la seconde variable que l'on supprime. Chaque terme indépendant de B doit être multiplié par le coefficient de A, dans lequel le second indice est pareillement diminué de l'exposant de la seconde variable que l'on supprime encore. On aura ainsi une fonction des indices augmentés respectivement de n et de n\ par une suite de puissances successives de S placées devant la fonction dans laquelle le second indice sera seul variable.

Si la fonction des indices est telle que, affectée de la caractéristique %, elle devienne nulle, alors le second membre se réduit à une suite de termes multipliés par la fonction des indices dont le second varie seul. Cette fonction est le développement du binôme deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins, les termes successifs de ce développement devant être multipliés respectivement par la fonction des indices, dans laquelle on fait croître successivement le second indice des quantités n! , n' moins un, n' moins deux, etc. En considérant donc comme fonction des deux indéterminées n et n' la fonction précédente, dans laquelle les indices sont augmentés de n et de n', cette fonction sera donnée par le développement du binôme deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins, en multipliant respectivement les termes de ce développement par la même fonction dans laquelle on doit faire n nul, et n' successivement égal à n' , n' moins un, ji moins deux, etc. : la fonction de n nul et de n' est une fonction arbitraire de 7i\ qui doit être déterminée par les conditions du problème.

INTRODUCTION. xxxv

Telle est donc l'intégrale de l'équation aux différences partielles, représentée par l'égalité à zéro de S placé devant une fonction de n et de n'y et il est clair que, pour cette égalité, la fonction des indices dans A doit être telle qu'en y diminuant l'indice n de l'unité, en l'ajoutant h cette fonction dans laquelle n! est diminué de l'unité et en retranchant de cette somme le double de la fonction elle-même, le reste soit nul ; ce qui donne la fonction de n et de n' égale à la moitié de cette fonction dans laquelle n est diminué de l'unité, plus à la moitié de la même fonction dans laquelle n' est diminué de l'unité. C'est l'équation aux différences partielles, représentée par la condition de S nul.

Cette équation est celle à laquelle on est conduit par la considération du problème proposé par Pascal à Fermât, et dont nous avons parlé ci-dessus -, n ei n' sont ici les coups qui manquent au premier et au second joueur pour gagner la partie, et la fonction de ces indices est la probabilité qu'elle sera gagnée par le premier joueur. Cette probabilité devient l'unité, lorsque n est nul, et jamais, n étant nul, n' ne peut être zéro ou négatif, en sorte qu'il faut rejeter de l'intégrale précédente tous les termes dans lesquels cela existe. De là il suit que la probabilité du premier joueur pour gagner la partie est égale aux n' premiers termes du binôme deux moins un, élevé à la puissance n prise en moins. Telle est la solution générale de ce problème.

De plus amples développements de la méthode que nous venons d'exposer seraient difficilement entendus sans le secours de l'Analyse. Nous observerons seulement que, A exprimant une fonction de la variable t, développée en série; B étant l'unité divisée par la variable, moins un, et C étant l'unité divisée par la puissance i de la variable, moins un; le produit de A par une puissance quelconque n de B sera la fonction génératrice des différences 7i'^™« des coefficients de la série A, l'indice variant de l'unité; le produit de A par une puissance n' de C sera la fonction génératrice des différences n^^^^ des mêmes coefficients, l'indice variant de i. Ainsi, S et A étant supposés être les caractéristiques correspondantes à B et à C, toutes les équations identiques que l'on peut former entre B et C donneront, en y changeant ces

XXXVI INTRODUCTION

quantités dans leurs caractéristiques, autant d'équations identiques entre ces caractéristiques, pourvu que dans le développement de ces équations on place les puissances et les produits de puissances de ces caractéristiques devant la fonction de l'indice.

Si ce développement donne aux caractéristiques des exposants négatifs, elles indiqueront alors des intégrales finies. En effet, le produit de A par la puissance n àeB étant la fonction génératrice des différences /i'''™^^ des coefficients de A, ces coefficients sont les intégrales pleines (jgg coefficients de la fonction génératrice que forme ce produit; d'où il suit qu'une fonction génératrice, multipliée par B élevé à la puissance n prise en moins, est la fonction génératrice des intégrales ^iènies jgg coefficients de cette fonction. Les puissances négatives de (5, placées devant ces coefficients, indiquent par conséquent des intégrales, ce qui donne la raison de l'analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.

Il est facile de voir que G est égal à la puissance i du binôme un plus B, en retranchant l'unité, de cette puissance. Si l'on élève à la puissance ii les deux membres de cette égalité, elle subsistera toujours, quels que soient n et son signe; en changeant B et C dans leurs caractéristiques ^ et A, et en observant que les caractéristiques négatives expriment des intégrales, on aura par le développement du second membre les différences et les intégrales dans lesquelles l'indice varie d'une quantité quelconque i, par une suite de différences et d'intégrales dans lesquelles l'indice varie de l'unité. Si l'on suppose «infiniment petit, les résultats subsisteront toujours et se simplifieront en rejetant les infiniment petits d'un ordre supérieur à celui que l'on conserve. Ces passages du fini à l'infiniment petit ont l'avantage d'éclairer les points délicats de l'Analyse infinitésimale qui ont été l'objet de grandes discussions parmi les géomètres. C'est ainsi que j'ai démontré la possibilité d'introduire des fonctions discontinues dans les intégrales des équations aux différentielles partielles, pourvu que la discontinuité n'ait lieu que pour les différentielles des fonctions, de l'ordre de ces

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équations. Les résultats transcendants du calcul sont, comme toutes les abstractions de l'entendement, des signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étendue qu'en remontant par l'analyse métaphysique aux idées élémentaires qui y ont conduit, ce qui présente souvent de grandes difficultés; car l'esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant qu'à se replier sur lui-même.

Le passage du fini à l'infiniment petit répand un grand jour sur la métaphysique du Calcul différentiel. On voit clairement par ce passage que ce calcul n'est que la comparaison des coefficients des mêmes puissances des différentielles, dans le développement en série de fonctions identiquement égales des indices augmentés respectivement de différentielles indéterminées. Les quantités que l'on néglige comme infiniment petites d'un ordre supérieur à celui que l'on conserve, et qui semblent par cette omission ôter à ce calcul la rigueur de l'Algèbre, ne sont que des puissances de ces différentielles, supérieures aux puissances dont on compare les coefficients, et qui par là doivent être rejetées de cette comparaison, en sorte que le Calcul différentiel a toute l'exactitude des autres opérations algébriques. Mais dans ses applications à la Géométrie et à la Mécanique, il est indispensable d'introduire le principe des limites. Par exemple, la sous-tangente d'une courbe étant la limite géométrique de la sous-sécante, ou la ligne dont celle-ci approche sans cesse à mesure que les points d'intersection de la sécante avec la courbe se rapprochent, l'expression analytique de la sous-tangente doit être pareillement la limite de l'expression analytique de la sous-sécante; elle est par conséquent égale au premier terme de cette dernière expression développée suivant les puissances de l'intervalle qui sépare les ordonnées des deux points d'intersection.

On peut encore envisager la tangente comme la droite dont l'équation approche le plus de celle de la courbe près du point de contingence. L'ordonnée de cette courbe étant une fonction de l'abscisse, si à partir de ce point on fait croître l'abscisse d'une quantité indéterminée, suivant les puissances de laquelle la fonction soit développée, il est visible que la somme des deux premiers termes de ce développe-

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ment sera l'ordonnée de la droite la plus approchante de la courbe ; elle sera, conséquemment, l'ordonnée de la tangente, et le coefficient de l'indéterminée dans le second terme exprimera le rapport de l'ordonnée à la sous-tangente. Il est facile de prouver par le principe des limites que toute autre droite menée par le point de contingence entrerait dans la courbe près de ce point.

Cette manière singulièrement heureuse de parvenir à l'expression des sous-tangentes est due à Fermât, qui l'a étendue aux courbes transcendantes. Ce grand géomètre exprime par la caractéristique E l'accroissement de l'abscisse, et en ne considérant que la première puissance de cet accroissement, il détermine, exactement comme on le fait par le Calcul différentiel, les sous-tangentes des courbes, leurs points d'inflexion, les maxima et minima de leurs ordonnées, et généralement ceux des fonctions rationnelles. On voit même par sa belle solution du problème de la réfraction de la lumière, insérée dans le Recueil des Lettres de Descartes, qu'il savait étendre sa méthode aux fonctions irrationnelles, en se débarrassant des irrationnalités par l'élévation des radicaux aux puissances. On doit donc regarder Fermât comme le véritable inventeur du Calcul différentiel. Newton a depuis rendu ce Calcul plus analytique dans sa méthode des Fluxions, et il en a simplifié et généralisé les procédés par son beau théorème du binôme. Enfin, presqu'en même temps, Leibnitz a enrichi le Calcul différentiel d'une notation qui, en indiquant le passage du fini à l'infiniment petit, réunit à l'avantage d'exprimer les résultats généraux de ce calcul celui de donner les premières valeurs approchées des différences et des sortîmes des quantités, notation qui s'est adaptée d'elle-même au calcul des différentielles partielles.

On est souvent conduit à des expressions qui contiennent tant de termes et de facteurs que les substitutions numériques y sont impraticables. C'est ce qui a lieu dans les questions de probabilité, lorsque l'on considère un grand nombre d'événements. Cependant il importe alors d'avoir la valeur numérique des formules, pour connaître avec quelle probabilité les résultats que les événements développent en se

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multipliant sont indiqués. Il importe surtout d'avoir la loi suivant laquelle cette probabilité approche sans cesse de la certitude qu'elle finirait par atteindre, si le nombre des événements devenait infini. Pour y parvenir, je considérai que les intégrales définies de différentielles, multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient, par l'intégration, des formules composées d'un grand nombre de termes et de facteurs. Cette remarque me fit naître l'idée de transformer dans de semblables intégrales les expressions compliquées de l'Analyse et les intégrales des équations aux différences. J'ai rempli cet objet, par une méthode qui donne à la fois la fonction comprise sous le signe intégral et les limites de l'intégration. Elle offre cela de remarquable, savoir, que cette fonction est la fonction même génératrice des expressions et des équations proposées, ce qui rattache cette méthode à la théorie des fonctions génératrices, dont elle est ainsi le complément. Il ne s'agissait plus ensuite que de réduire l'intégrale définie en série convergente. C'est ce que j'ai obtenu par un procédé qui fait converger la série avec d'autant plus de rapidité que la formule qu'elle représente est plus compliquée, en sorte qu'il est d'autant plus exact qu'il devient plus nécessaire. Le plus souvent, la série a pour facteur la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre; quelquefois elle dépend d'autres transcendantes, dont le nombre est infini.

Une remarque importante, qui tient à la grande généralité de l'Analyse et qui permet d'étendre cette méthode aux formules et aux équations à différences que la théorie des probabilités présente le plus fréquemment, est que les séries auxquelles on parvient, en supposant réelles et positives les limites des intégrales définies, ont également lieu dans le cas où l'équation qui détermine ces limites n'a que des racines négatives ou imaginaires. Ces passages du positif au négatif et du réel à l'imaginaire, dont j'ai le premier fait usage, m'ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singulières, que j'ai ensuite démontrées directement. On peut donc considérer ces passages comme un moyen de découverte, pareil à l'induction et à l'ana-

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logie, employées depuis longtemps par les géomètres, d'abord avec une extrême réserve, ensuite avec une entière confiance, un grand nombre d'exemples en ayant justifié l'emploi. Cependant il est toujours nécessaire de confirmer par des démonstrations directes les résultats obtenus par ces divers moyens.

J'ai nommé Calcul des fonctions génératrices l'ensemble des méthodes précédentes; ce calcul sert de fondement à l'Ouvrage que j'ai publié sous ce titre : Théorie analytique des Probabilités. Il se rattache à l'idée simple d'indiquer les multiplications répétées d'une quantité par ellemême ou ses puissances entières et positives, en écrivant vers le haut de la lettre qui l'exprime les nombres qui marquent les degrés de ces puissances. Cette notation, employée par Descartes dans sa Géométrie etgénéralement adoptée depuis la publication de cet important Ouvrage, est peu de chose, surtout quand on la compare à la théorie des courbes et des fonctions variables, par laquelle ce grand géomètre a posé les fondements des calculs modernes. Mais la langue de l'Analyse, la plus parfaite de toutes, étant par elle-même un puissant instrument de découvertes, ses notations, lorsqu'elles sont nécessaires et heureusement imaginées,, sont autant de germes de nouveaux calculs. C'est ce que cet exemple rend sensible.

Wallis, qui, dans son Ouvrage intitulé : Arithmetica infinitorum, l'un de ceux qui ont le plus contribué aux progrès de l'Analyse, s'est attaché spécialement à suivre le fil de l'induction et de l'analogie, considéra que, si l'on divise l'exposant d'une lettre par deux, par trois, etc., le quotient sera, suivant la notation cartésienne et lorsque la division est possible, l'exposant de la racine carrée, cubique, etc., de la quantité que représente la lettre élevée à l'exposant dividende. En étendant, par analogie, ce résultat au cas où la division n'est pas possible, il considéra une quantité élevée à un exposant fractionnaire comme la racine du degré indiqué par le dénominateur de cette fraction de la quantité élevée à la puissance indiquée par le numérateur. Il observa ensuite que, suivant la notation cartésienne, la multiplication de deux puissances d'une même lettre revient à ajouter leurs exposants, et que

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leur division revient à soustraire l'exposant de la puissance diviseur de celui de la puissance dividende, lorsque le second de ces exposants surpasse le premier. Wallis étendit ce résultat au cas où le premier exposant égale ou surpasse le second, ce qui rend la dilférence nulle ou négative. Il supposa donc qu'un exposant négatif indique l'unité divisée par la quantité élevée au même exposant pris positivement. Ces remarques le conduisirent à intégrer généralement les différentielles monômes, d'où il conclut les intégrales définies d'un genre particulier de différentielles binômes dont l'exposant est un nombre entier positif. En observant ensuite la loi des nombres qui expriment ces intégrales, une série d'interpolations et d'inductions heureuses, où l'on aperçoit le germe du calcul des intégrales définies, qui a tant exercé les géomètres, et l'une des bases de ma nouvelle Théorie des Probabilités, lui donna le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, exprimé par un produit infini qui, lorsqu'on l'arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus en plus rapprochées, résultat l'un des plus singuliers de l'Analyse. Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les exposants fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l'avait fait avant lui. Newton, si je ne me trompe, employa, le premier, dans ses Lettres à Oldenburg, la notation de ces puissances par des exposants fractionnaires. En comparant par la voie de l'induction, dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposants des puissances du binôme avec les coefficients des termes de son développement dans le cas où cet exposant est entier et positif, il détermina la loi de ces coefficients, et il retendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et négatives. Ces divers résultats, fondés sur la notation de Descartes, montrent son influence sur les progrès de l'Analyse. Elle a encore l'avantage de donner l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes, qui ne sont, en effet, que les exposants d'une grandeur dont les puissances successives, en croissant par degrés infiniment petits, peuvent représenter tous les nombres.

Mais l'extension la plus importante que cette notation ait reçue est

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celle des exposants variables, ce qui constitue le calcul exponentiel, l'une des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposants variables, et par là il a complété le système des éléments dont une fonction finie peut être composée; car toute fonction finie explicite d'une variable se réduit, en dernière analyse, à des grandeurs simples, combinées par voie d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, et élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces éléments sont des fonctions implicites de la variable. C'est ainsi qu'une variable ayant pour logarithme l'exposant de la puissance qui lui est égale dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, le logarithme d'une variable en est une fonction implicite.

Leibnitz imagina de donner à sa caractéristique différentielle les mêmes exposants qu'aux grandeurs; mais alors ces exposants, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne conduisit Leibnitz à l'analogie des puissances positives avec les différentielles et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière dans tous ses développements, et par une suite d'inductions, qui peut être regardée comme l'une des plus belles applications que l'on ait faites de cette méthode, il est parvenu à des formules générales, aussi curieuses qu'utiles, sur les transformations desdifférenceset des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissements finis divers et lorsque ces accroissements sont infiniment petits. Mais il n'en a point donné les démonstrations qu'il jugeait difficiles. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques la notation cartésienne; elle montre avec évidence l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques, en sorte qu'elle peut encore être envisagée comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui concerne les séries et l'intégration des équations aux différences en découle avec une extrême facilité.

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