LIVRE PREMIER

Soit

V(3 ) — J- LS 1 63 a^ -\ ^ xb^ic + ab] a^- '

on aura

= if < V^-*'-*-'^ Y^^'+^) y(a;'+.r)

Or l'équation donne

I , c + ab

partant

t^t'^' 1 V^-^'+'Vl \ V(-^'-^2) /j \2 V(-''+-^^ (\ \-^'

c + ab\i )

c + abYi\t ^1 ' "''^~ (c-hab]-'\t

Pour repasser maintenant des fonctions génératrices aux coefficients, nous observerons : 1° que le coefficient de i^z" dans yjTr^^^ifxyx'^ 2" que

ce même coefficient, dans un terme quelconque, tel que ui-, — ^j

ou M^"" [ T^ — I y , est br 'A'" ( Ç^) » la caractéristique 'A des différences

se rapportant à la variabilité de x', et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations; 3°. que ce coefficient dans

// (- — a\ est «'A'' [•^~-] > la caractéristique A se rapportant à la variabilité de œ, et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations; on aura donc, avec ces conditions,

y^, ^.,= Yb-^"A^' (^'\^Y(*^b^'-^ 'A-'-' ^^'W...-i-V(^')jo,o

c + ab \ «•*" / [c ->r ab]'^ \ a-^

c'est l'intégrale complète de l'équation (h) aux différences partielles. Il est clair que cette intégrale suppose que l'on connaît le premier rang horizontal et le premier rang vertical de la Table (Q) du n** 14.

17. L'expression précédente de ja:,a;' offi'e cela de remarquable, savoir que les caractéristiques A et 'A des différences finies ont pour exposants les variables x dix'. En voici un autre exemple. Considérons l'équation aux différences partielles

■ o = A«jx,x' + - A«-' 'Axx,x'+ -X A«-2 'Afx.x' + . . . ,

la caractéristique A se rapportant à la variable ^dont l'unité est la différence, et la caractéristique 'A se rapportant à la variable x' dont a est la différence. L'équation génératrice correspondante sera, par le numéro précédent,

I \« a il \"-' / I \ b (i \n-2 / I \2