LIVRE PREMIER

Si l'on nomme u la fonction génératrice de y^^ on aura, en vertu de l'équation précédente,

-^'dt

A, B, C, . . . , H étant des constantes arbitraires, qui dépendent des valeurs de jo> ^0/2» •••»/«-»• En effet, si l'on substitue dans cette équation la valeur précédente de u en série, on voit qu'en vertu de l'équation différentielle proposée, tous les coefficients de la même puissance de t disparaissent lorsque cette puissance est égale ou plus grande que n, et la comparaison des puissances inférieures donne un nombre n d'équations, qui déterminent les constantes A, B, C, ..., au moyen des valeurs Jo, j, , . . • , yn-\ •

L'équation différentielle précédente n'est intégrable généralement que dans le cas où elle est du premier ordre, et alors les coefficients de l'équation aux différences finies en y^ ne renferment que la première puissance de x\ dans ce dernier cas, on peut obtenir la fonction génératrice u par des quadratures.

21. La connaissance des fonctions génératrices des équations différentielles donne l'expression des intégrales de ces équations au moyen de quadratures définies. Reprenons, pour cela, l'équation

u = jo + ji ^ + j2'^-+-. • '-^yxt^-\-yx+\ t-^"^^ -+-- . . + j«r.

Substituons dans ses deux membres c^^v^ au lieu de t^, c étant toujours le nombre dont le logaritbme byperbolique est l'unité, et nommons U ce que devient alors u. En multipliant l'équation par

f,-xr5s,i-\ j^ gj intégrant, on aura

/Urfcjc-'^^V- '=/</,

Si l'on substitue, pour c^^\^-* , sa valeur cosrtj ±:\/ — i sinrcy, et si l'on prend l'intégrale depuis u = — tz jusqu'à ct = 7:, 277 étant la circonférence, le second membre se réduit à 27zy^; on a donc

rx= — f\J dm{cosxTs — v^— i sinarTo);

mais cette formule a l'inconvénient d'introduire des imaginaires dont on peut se débarrasser de la manière suivante. Considérons l'équation

o = afx ■+- ôjor+i + . . . + qr.r+>i

-\- X ( a'xx + b'y'^+^ + . . . + q'Xx+n), et supposons

T étant une fonction de / qu'il s'agit de déterminer, ainsi que les limites de l'intégrale. En substituant pour j^; cette valeur dans l'équation différentielle en y^, et observant que l'on a

ce qui fait disparaître le coefficient variable x, on aura

t(„.-^.....1 En égalant à zéro la partie sous le signe /, on aura