PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I

en faisant donc 6 égal à l'angle droit, ce qui rend l'axe des z' perpendiculaire à celui des z" , on aura C'= A. Les moments d'inertie relatifs à tous les axes situés dans le plan perpendiculaire à l'axe des z" sont donc alors égaux entre eux. Mais il est facile de s'assurer que l'on a dans ce cas, pour le système de l'axe des z" et de deux axes quelconques perpendiculaires entre eux et à cet axe,

^x'y' dm :=^o, S^'z'Wm = o, Sj'z"c/m = o;

car, en désignant par x" et y" les coordonnées d'une molécule dm du corps, rapportées aux deux axes principaux, pris dans le plan perpendiculaire à l'axe des z\ et par rapport auxquels les moments d'inertie sont supposés égaux, nous aurons

S [x'"^ + z"-^)dm = S [x'"" + z"-')dm,

ou simplement

S x"'^ dm = S j""^ dm ; mais, en nommant t l'angle que l'axe des oo' fait avec l'axe des x", on a

^' = .r" ces e + /" sin e,

y' =f" cose — ^''sins; on a donc

Sxy dm =^ Sx" r" dm. [cos"^ s — sin^e) 4- S{y"^ — x'"^] «/m.sinecoss = o.

On trouvera semblablement

Sx'z"dm^^o, Sj'2'Wm = o;

tous les axes perpendiculaires à celui des z" sont donc alors des axes principaux, et, dans ce cas, le solide a une infinité d'axes semblables. Si l'on a à la fois A = B = C, on aura généralement C'= A, c'està-dire que tous les moments d'inertie du solide sont égaux; mais alors on a généralement

Sx'j''dm=: o, Sx'z'dm=:o, Sy'z'dm:~o, quelle que soit la position du plan des x' et des j', en sorte que tous

OE livres de L. — \. 12

les axes sont des axes principaux. C'est le cas de la sphère : nous verrons dans la suite que cette propriété convient à une infinité d'autres solides dont nous donnerons l'équation générale.

28. Les quantités/?, q, r, que nous avons introduites dans les équations (G) du n*' 26, ont cela de remarquable, qu'elles déterminent la position de l'axe réel et instantané de rotation du corps, par rapport aux axes principaux. En effet, on a, relativement aux points situés dans

l'axe de rotation,

dx'-=o, df' = o, dz' ^= o.

En différentiant les valeurs de ^'.y', z' du n° 26, et en faisant sin<]; — o

» après les différentiations, ce qui est permis, puisque l'on peut fixera

volonté la position de l'axe des x' sur le plan des ce' et des y', on aura

dx'=^x"[d^ cos9 sinç — dcf sinç) -i-x"{ddi cosO ces 9 — rfcp coscp) -r- z"d^ s'mO -- o,

dy =^ x" [d(f cosB coscf — dO sinOsincf — d^cosc^)

-I- j"(fl?4'sin<p — (/(pcosôsiiKp — rf0sin9cos<p) -\- z"dQcosO = 0,

dz' = — oc" [dd CCS 6 sin <p -+- d<f sin 9 cos 9) — /" [dd ces 9 ces 9 — 6^9 sin 0 sin 9 — z"d9 sin 0

Si l'on multiplie la première de ces équations par —sin 9, la seconde par cos6cos<p, et la troisième par — sinOcos9, on aura, en les ajoutant,

o =zpx" — qz".

Si l'on multiplie la première des mêmes équations par COS9, la seconde par cosOsinç, et la troisième par — sinOsin9, on aura, en les ajoutant,

o =z py" — rz" .

Enfin, si l'on multiplie la seconde des mêmes équations par sinO, et la troisième par cosO, on aura, en les ajoutant,

o =: qy" — rx" .

Cette dernière équation résulte évidemment des deux précédentes; ainsi les trois équations dœ' = o, dy' = 0^ dz' :=:= o se réduisent à ces deux