AUX DEUX PRÉCÉDENTES DE M. DE FERMAT

(Lettre 49-)

Du 21 aont i658.

Monsieur ,

Je me trouve aujourd'hui plus empêché àrépondre que je n'étois la dernière fois; aussi avez-vous

changé de condition , et de juge que vous étiez vous êtes devenu partie. Quand je n'avois qu'à défendre devant vous la cause de M. Descartes contre votre sceptique , je ne me promettois pas un succès moins favorable que celui que j'ai eu ; j'avois une bonne cause à défendre , des subtilités à éclaircir, et un juge clairvoyant pour m'entendreet prononcer. Mais quand je vous considère descendu de votre siège pour vous porter vousmême partie contre celui que je défends, le respect que je vous dois en quelque état que vous paroissiez, la grande estime que j'ai toujours conçue de vous et qui s'augmente en moi à mesure que vous vous faites davantage çonnoître, et le peu d'usage que J'ai dans la matière que nous agitons à comparaison de celui que vous vous y êtes acquis , tout cela m'étonne et fait que je ne sais encore quelle issue me promettre de tout ce démêlé. Je vous dirai pourtant d'abord que si je voulois agir avec moins de franchise que ne m'oblige l'honnête procédé que vous gardez avec moi, je pouii^rois user d'une exception qui paroîtroit peut-être assez légitime et recevable , en vous accordant tout ce que vous dites, et prétendant que tout cela ne fait rien contre M. Descartes, et ne combat en» aucune façon sa doctrine touchant la réflexion et la réfraction.

Car je veux que la balle de la figure de la page 1 9

de la Dioptrique , selon la supposition que vous faites dans votre première lettre , se trouve empên chée (comme vous dites safas doute agréablement) à trouver quelque issue pour prendre sa route, et je veux même que le passe-port que vous lui avez donné par avance en votre seconde, de peur que nous n'eussions pas assez de crédit pour lui en obtenir un , et même que la route que vous avez eu la bonté de lui marquer en cet endroit lui fât si aisée et si commode qu'elle ne fît point de difficulté de la suivre, que pourroit-on conclure de là contre M. Descartes ? lequel n'ayant apporté en ce lieu-là les exemples de la balle que pour expliquer certains effets particuliers de la lumière, à savoir celui de la réflexion qui se fait toujours à angles égaux, et celui de la réfraction qui se fait toujoursde la même sorte dans un même milieu, et qui change selon la proportion qui est ejilre le milieu d'où elle sort et celui où elle entre, ce qui fait que tantôt elle s'approche et tantôt elle s'éloigne de la perpendiculaire ; qui , dis-je , n'a eu aucune occasion d'expliquer le cas que vous proposez pourcequ'il n'a aucun rapport à son dessein.

Il n'y en avoit que trois qui y pussent servir, et il les a tous trois expliqués , et à mon avis d'une manière si claire et si simple, qu'il n'y a que ceux qui veulent trop subtiliser qui y puissent trouver de la difficulté.

Le premier cas, qui explique la réflexion, est celui d'une balle qui , étant poussée suivant la ligne AB , rencontre de biais dans son chemin un corps dux, impénétrable et inébranlable. Qu'y at-il de plus simple et de plus clair que cette balle , qui ne perd rien de sa vitesse, doit rejaillir à angles égaux , c'est-à-dire remonter aussi vite qu'elle est descendue , et avancer autant qu'elle faisoit vers le côté où ce corps dur n'est point du tout opposé ?

LéC second , qui se rapporte à la réfraction lorsqu'elle s'éloigne de la perpendiculaire , est celui de la même balle qui, étant poussée comme dessus , rencontre aussi de biais un autre milieu dans lequel elle pénètre , et qui lui fait perdre une partie de sa vitesse. Quoi de plus clair et de plus simple que de dire que cette balle ne pouvant plus aller si vite qu'elle faisoit auparavant doit pourtant conserver toute la détermination qu'elle avoit à avancer vers le côté à laquelle ce milieu n'est aucunement opposé, et à quoi la perte qu'elle a soufferte en sa vitesse ne résiste point et se peut accommoder. Pourquoi vouloir obliger cette balle à faire plus qu'elle ne doit, puisque la nature ne fait rien en vain?

Enfin, le troisième cas, qui se rapporte à la réfraction lorsqu'elle s'approche de la perpendiculaire , et le seul qui restoit à M. Descartes à éclair-

cir, s'explique heureusement par la même balle qui, étant poussée comme auparavant, rencontre aussi de biais dans son chemin un autre milieu dans lequel elle pénètre avec une égale facilité de tous côtés , et qui augmente sa vitesse d'une certaine quantité. Que peut-on penser de plus simple et de plus naturel que de dire que cette balle de^ vaut aller plus vite qu elle ne faisoit auparavant n'avance pourtant pas davantage , selon cette détermination à laquelle ce corps par qui sa vitesse a été augmentée n'est point du tout opposé.

Le cas que vous proposez outre cela dans votre première lettre est superflu , et ne peut servir à expliquer aucun de ces phénomènes de la lumière, et par conséquent il n'est ici d'aucune considération ; et quelque inconvénient qui en pût suivre , cela ne pourroit préjudicier à ce que M. Descartes a auparavant prouvé , et par quoi il a expliqué si intelligiblement tes effets merveilleux de la lumière, qui ne laisseroient pas d'être vrais, et tels qu'il les a démontrés , quand yotre supposition seroit difficile à expliquer par ses principes, ce que je ne désespère pourtant pas de faire; et quand elle se devroit expliquer suivant les vôtres, ce que je n'estime pas.

Mais pourceque c'est en ceci que consiste toute notre dispute , il faut que j'éclaircisse une fois pour toutes un point qui vous semble n'avoir pas été

prouvé par M. Descartes , à cause que sa preuve n'est pas purement géométrique , mais qu'elle est en partie fondée sur quelques principes de la nature si clairs qu'ils ne demandent aucune explication. Ces principes sont, premièrement, que chaque chose demeure en l'état qu'elle est pendant que rien ne la change; secondement , que , lorsque deux corps se rencontrent qui ont en eux des modes incompatibles , il se doit véritablement faire quelque changement en ces modes pour les rendre compatibles, mais que ce changement est toujours le moindre qui puisse être; troisièmement, qu'un corps ne peut résister ou causer du changement dans un autre qu'en tant qu'il lui est opposé.

Ainsi donc , si une balle se meut d'A vers B , dans la figure de la page 1 5 , avec une certaine vitesse, elle coiltinuera toujours d'aller avec la même vitesse dans la même ligne si rien ne la change. Mais si vous lui opposez le corps dur , impénétrable et inébranlable CEE , pourceque les modes de ces deux corps , l'un qui tend de B vers D , et l'autre qui s'oppose à cette route , sont incompatibles , mais qui ne s'oppose point à sa vitesse , il faut qu'il arrive du changement en l'un de ces modes, mais le moindre qui puisse être; c'est pourquoi la balle changera de détermination et gardera sa vitesse; et d'autant que le corps CBE n'est opposé qu'à l'une des deux déterminations ,

dont il est vrai que celle de la balle est composée eu égard au corps CBE sur lequel elle tombe , à savoir, à celle qui la faisoit descendre, et non point à celle de gauche.à droite , ce corps ne peut apporter de changement qu'à celle-là, et non point à l'autre, à laquelle il n'est point opposé; c'est pourquoi il oblige la balle de remonter, et la laisse continuer à s'avancer vers la droite comme elle faisoit auparavant; à quoi il ne change rien, le mode de son corps n'ayant rien d'incompatible et d'opposé à celui-là. Il ne faut plus ajouter à ce raisonnement que ce qui appartient à la géométrie , et la preuve sera achevée. Si vous n'appelez pas cela une preuve démonstrative , je ne sais plus de quelles raisons il faudra se servir pour en composer une ; mais pour moi je me contente de pareilles démonstrations. Or le même raisonnement que je viens de faire se peut accommoder à la figure de la page 1 7 et à celle de la page 19, et à tous les cas qui se peuvent proposer, et je n'y vois rien de différent que les différentes siippositions ; à savoir, que le corps CBE tantôt est dur et tantôt liquide, tantôt pénétrable et tantôt impénétrable; que la vitesse tantôt diminue, tantôt augmente, et tantôt demeure la même ; et que la balle tantôt continue de descendre, et tantôt est obligée de remonter , et même que tantôt on peut opposer un corps au cours de la balle , et tantôt non.

Examinons maintenant ces cas Tun après l'autre suivant ces principes , et voyons ce qui doit arriver ; et je m'assure que Ton ne trouvera point que la chose doive aller comme vous dites, mais bien comme dit M. Descartes , et cela répondra en même temps à toutes vos nouvelles difficultés.

Premièrement, vous dites fort bien, au commen* cément de votre seconde lettre, que si l'on suppose que la balle qui va dans la ligne droite AB diminue sa vitesse de moitié en arrivant au point B , elle ira toujours en ligne droite vers D si elle continue d'aller dans le même milieu et que le plan CBE ne lui soit point opposé ; avec cette dififérence seulement, qu'elle emploiera depuis B jusquesà D le double du temps qu'elle avoit mis auparavant depuis A jusques à B , et cela à cause qu'un corps doit toujours demeurer dans le même état où il est, ou auquel on suppose qu'il soit, si rien ne le change. Or, n'y ayant rien qui change en la balle que la vitesse , ni rien par quoi la détermination doive être altérée plus d'un côté que d'un autre , tout cela fait qu'elle doit continuer dans la même ligne, et aller seulement moins vite selon cette détermination ; de même que lorsqu'un corps tombe perpendiculairement de l'air dans l'eau , il continue d'aller suivant la ligne de sa chute , et va seulement d'autant moins vite que sa vitesse est diminuée à la rencontre de l'eau.

Si pourtant j'eusse été d'humeur à vouloir chicaner (ce qui ne m'arrivera jamais lorsque j'aurai affaire à une personne d'honneur et de mérite comme vous) , j'aurois pu nier que le cas que vous proposez fat concevable et admissible , à savoir qu'un mobile, sans changer de milieu, puisse tout d'un coup passer d'une vitesse à une autre sans passer par les degrés qui sont entre deux ; ce que vous dites vous-même être contraire aux lois inviolables de la pure géométrie , et qui même est contraire à cette loi de la nature, qui est que chaque corps continue toujours de demeurer dans le même état autant qu'il se peut , et que jamais il ne le change que par la rencontre des autres. Le moyen donc de concevoir qu'un corps puisse tout d'un coup, étant arrivé au point B, perdre la moitié de sa vitesse lorsqu'il ne rencontre rien qui la lui puisse faire perdre? Mais je veux bien vous accorder toutes vos suppositions, et ne vous rien nier que ce qui ne se pourra absolument admettre à moins de renverser toutes les loi^ de la nature et toutes les notions claires et simples qui sont en nous.

Passons à votre seconde supposition, qui est, à mon gré , une des plus adroites que l'on pût faire en ce genre , et dont sans doute j'aurois eu peine à apercevoir la subtilité, n'étoit qu'étant accoutumé à suivre des voies fort simples dans mes rai-

sonnements je me défie de tout ce que je vois qui s'en écarte.

Vous supposez après cela que la balle perdant, comme auparavant, la moitié de sa vitesse au point B, le plan CBE impénétrable se trouve entre deux , et empêche que la balle ne passe au-dessous ; et vous dites que la balle réfléchira aussi bien à angles égaux que si la vitesse ou le mouvement demeuroit le même ; et certainement je confesse que vous le prouvez d'une manière la plus ingénieuse qu'il est possible; mais permettezmoi aussi de vous dire qu'elle est captieuse, et souffrez que je vous fasse voir en quoi je pense que vous vous êtes mépris.

Quand, en l'exemple ci-dessus, je suis demeuré d'accord que la balle, perdant au point B la moitié de sa vitesse, ne laissoit pas de continuer son chemin suivant la ligne BD, avec cette seule différence, qu'elle alloit de moitié moins vite, c'a été parceque, ne changeant point de milieu, et aucun plan ne lui 'étant opposé , on ne pouvoit pas dire que la détermination de la balle suivant la ligne AB fut composée de deux déterminations, non plus que lorsqu'une balle tombe perpendiculairement sur un plan. Mais ici, où vous supposez que le planCBE lui est opposé , il est certain qu'à son égard la détermination de la balle sur la route AB est composée de deux autres, l'une qui la fait descendre

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vers lui , et l'autre qui la fait avancer vers la droite ou horizontalement, et que ce plan s'oppose à cellelà et non point à celle-ci.

Maintenant de deux choses l'une , ou vous supposez qu'après que la balle est venue avec deux degrés de vitesse depuis A jusques à B étant au point B elle rencontre le plan CBE qui lui fait perdre la moitié de sa vitesse, ou bien vous supposez que, sans que ce plan y contribue, ayant perdu la moitié de sa vitesse au point B, elle rencontre le plan CBE; et si j'ai bien compris le sens de votre seconde lettre, c'est principalement à ce dernier cas qu'elle se rapporte. (Mais remarquez encore ici en passant que je vous accorde plus que je ne devrois ; car le moyen de concevoir qu'une balle perde la moitié de sa vitesse au point B sans la rencontre d'aucun corps qui la liii fasse perdre. )

Au premier cas il est aisé de voir qu'il ne faut (comme vous avez fait dans votre première lettre) que transférer le raisonnement de la figure de la page 17, au-dessus du plan, et dire que, puisque la balle ne perd rien du tout de la détermination qu'elle avoit à avancer vers la droite, elle doit (toutes les autres conditions étant gardées) arriver au point O, ainsi que vous avez fort bien remarqué. C'est pourquoi je n'aurois garde de dire, comme vous faites, pourquoi de grâce le raisonnement de M. Descartes conclura- t-il au-dessous s'il ne con-

dut pas au-dessus? Ce qui est une démonstration en un cas deviendra-t-il un paralogisme en l'autre? Non sans doute , Tun et l'autre conclut également bien.

Au second cas, la balle peut suivre la route que vous avez marquée dans votre seconde lettre, et réfléchir toujours à angles égaux, de quelque manière et en quelque proportion que la vitesse ou le mouvement change au point B ; mais non pas à la vérité par la raison que vous dites : car la même proportion ne doit pas être gardée par une balle qui , rencontrant de biais un plan impénétrable, est obligée de réfléchir, que celle qui est gardée par une autre balle que Ton suppose n'en point rencontrer ;. à cause qu'une balle qui ne rencontre aucun plan n'a qu'une seule détermination, elle ne va ni à gauche ni à droite , au lieu qu'une balle qui tombe de biais sur un plan y va toujours avec deux déterminations, à l'une desquelles ce plan est opposé, et à l'autre non; et cette circonstance en doit changer l'efifet, selon les principes ci-devant posés.

Mais voici comme la balle peut suivre la route que vous avez marquée , et réfléchir à angles ^aux : à savoir, il faut supposer que la balle étant au point B, et ayant perdu la moitié de sa vitesse (ou telle autre quantité qu'il vous plaira), commence là à suivre la route qu'elle suivroit si elle avoit

commencé à ce point-là à se mouvoir avec la vitesse qui lui reste; or il est constant que si, sans avoir égard à la ligne AB qu'elle a parcourue avec deux degrés de vitesse , elle commençoit à se mouvoir en B avec la vitesse qu'on suppose qui lui reste, et suivant la direction qu'elle a véritablement au point B, elle iroit vers D avec un degré de vitesse, et y arriveroit en deux fois autant de temps qu'il lui en a fallu pour venir d'A en B si rien ne s'opposoit à son mouvement. Et si au lieu de lui opposer le plan CBE au point B on le lui opposoît au point D, il est évident, par ce que nous avons dit ci-dessus, que ce plan l'empêchant seulement de passer outre et non point d'avancer vers la droite, et ne diminuant ni n'augmentant la vitesse avec laquelle elle seroit venue vers lui depuis B, elle rejailliroit vers G, et feroit ui^ angle de réflexion DK égal à celui d'incidence BDL , lequel se trouveroit égal à celui de la première incidence ABC. Qr est-il qu'il doit arriver au point B le même changement en la détermination de la balle que celui qui arriveroit au point D si le plan CBE lui étoit opposé en ce pointlà , puisque dès le point B la balle a toute la même vitesse et la même détermination qu'elle. auroit au point D après avoir parcouru la ligne CD; et partant, la balle, selon votre supposition, doit au point B rejaillir suivant un angle égal à celui d'incidence : non point , comme-j'ai dit , par la raison

que vous dites; car il n'est pas vrai que l'int^position du plan CBE n'empêchant que l'une des parties dont la détermination est composée , celle de gauche à droite reste la même qu'elle étoit quand la balle n'avoit aucun plan qui lui fut opposé; car, en ce dernier cas^ la balle n'avoit qu'une détermination, et l'on ne peut pas dire qu'elle avançoit vers la droite. C'est pourquoi la conclusion que vous en tirez n'est pas non plus véritable. Donc^ dites-vousj la balle a dû avancer autant audessus vers la droite qu'elle eût fait au-dessous si le plan n'eût pas empêché sa route ; et comme lorsqu'elle seroit au point D au-dessous elle aiuroit avancé en deux moments vers la droite depuis B jusques en B, de même aussi pour avancer en deux moments autant au-dessus vers la droite elle doit aller au point F qui est autant avancé vers la droite que le point D, et qui coupe le cercle au-dessus en même proportion que D le coupe au-dessous > et fait un angle de réflexion égal à celui d'incidence; car toute cette proportion de gauche à droite que vous dites devoir être gardée au-dessus comme elle eût été au-dessous si le plan CBE n'eût pas empêché sa route n'est qu'une proportion imaginaire, puisqu'au-dessous, quand il n'y a aucun plan interposé, la balle n'a aucune direction vers la droite, cette direction ou détermination vers la droite étant toujours relative au pian qu'on lui in-

terpôse. Et par exemple, si le plan CBE lui eût été opposé d'un autre sens , comme en cette figure % où seroit tout votre raisonnement vers la droite; mais cela*doit arriver dans votre supposition même, et dans toute autre, par la raison que j'ai dite, qui est conforme aux lois de la nature et aux principes ci-devant établis.

Pour éclaircir ceci encore davantage, supposons pour troisième cas , comme a fait M. Descartes à la page 1 9 de la Dioptrique, que la balle ayant été premièrement poussée d'A vers B rencontre au point B le plan CBE qui augmente la force de son mouvement ou sa vitesse d'un tijBrs , en sorte qu'elle puisse faire par après autant de chemin en deux moments qu'elle en faisoit en trois auparavant; et il suit manifestement qu'elle doit rejaillir en F , puisque la détermination vers la droite ne peut être augmentée par le plan CBÇ à laquelle il n'est aucunement opposé, et non pas en K, comme elledevrpit faire si votre raisonnement étoit véritable, mais qui ne le peut-être puisqu'il est contraire aux lois de la nature, et même contre l'expérience, qui nous montre que la réflexion d'une bs^lle, et celle des autres semblables corps qui ne sont pas parfaitement durs, ou qui tombent sur d'autres qui affaiblissent leur mouvement, ne se fait jamais à angles égaux; ainsi les balles les plus molles ne rebondissent pas

" Figure 45.

si haut , ni ne font pas des an^es de réflexion si grands, que celles qui sont plus dures.

Et remarquez que, puisqu'il est naturellement aisé de concevoir que pour faire que la réflexion se fasse à angles égaux le mouvement ne doit en aucune façon être augm^ité ni diminué par la rencontre du plan , il semble que la raison nous doive aussi naturellement porter à croire que lorsque ce plan l'augmente ou la diminue l'angle (le réflexion doit être à proportion ou plus grand ou plus petit que celui d'incidence , et non pas qu'il doive être toujours égal , comme il suit de votre raisonnement , qui pour cela vous doit être suspect quoiqu'il soit très ingénieux.

Mais, medirez-vous, que deviendra donc la balle dans la supposition que j'ai faite à la fin de ma première lettre à l'occasion de la figure de la page 19; car c'est ici le point de la difficulté, et enfin il la faut tirer de ce point fatal où elle paroît malheureusement engagée : c'elst aussi ce que je prétends faire maintenant à l'honneur de M. Descartes , et sans faire changer de biais à sa logique , en me servant , dans le cas que vous proposez ici , du même raisonnement dont je me suis déjà servi quand j'ai passé à votre seconde supposition.

Si donc la balle étant arrivée au point B rencontre de biais le plan dur, impénétrable et in-

ébranlablè CB£ , et qu'elle perde à ce point Bune telle partie de sa vitesse que la ligne FE, étant tirée comme aux exemples précédents, soit hors du cercle AD ; je dis que , ou vous entendez que le plan CBE contribue à la perte de sa vitesse , ou vous entendez qu'il n'y contribue rien. S'il n'y contribue rien, on ne peut pas concevoir autre chose sinon que la balle, après avoir perdu les deux tiers de sa vitesse , et ayant dans cet état une direction déterminée à aller versD en un certain temps à proportion de la force ou de la vitesse qui lui reste, et par conséquent d'avancer aussi selon cette force d'une certaine quantité vers la droite à l'égard du plan CBË qu'on lui oppose , lequel pourtant n'est point opposé à cette direction vers la droite , elle doit rejaillir étant au point B comme elle feroit au point D , ainsi que j'ai dit ci-dessus. Et voilà la route que je lui aurois marquée ,. qui se trouve conforme à la vôtre , mais par ime autre raison qui ne m'oblige point à changer de logique.

Mais remarquez que cette supposition même est impossible, qu'une balle perde les deux tiers de sa vitesse sans la rencontre d'aucun corps qui la lui fasse perdre.

Que si maintenant le corps CBE contribue à la perte delà vitesse, cela ne se peut faire en supposant le corps CBE parfaitement dur , impénétrable et inébranlable; car le mouvement de la

balle ne peut être diminué par la rencontre d'un corps qu'en tant que la balle lui transfère de son mouvement ; et si elle lui en transfère , cela ne se peut faire que du sens auquel le corps CBE lui est opposé , et par conséquent elle ne lui peut transférer de son mouvement que selon cette partie de sa direction qui la fait tendre vers lui ; et jamais la rencontre du corps CBE ( que l'on doit supposer parfaitement uni ) ne peut diminuer sa direction vers la droite ou parallèle : or il est aisé de conclure que si la balle au point B a transféré au corps CBE tout le mouvement qui la faisoit tendre en bas , elle doit continuer son mouvement parallèle , et rouler sur lui en avançant autant vers la droite qu'elle faisoit auparavant.

Que si nonobstant cela vous voulez, contre toute raison , faire cette supposition impossible , qu'elle perde une telle partie de sa vitesse au point B qu'elle ne puisse plus avancer autant vers la droite qu'elle faisoit auparavant, et par conséquent qu'elle ait aussi perdu une partie du mouvement qui la faisoit avancer vers la droite, alors je vous dirai qu'elle roulera sur le diamètre avec la vitesse qui lui reste, tout de même que lorsque vous suppose55 que sans rencontrer aucun plan elle vient à perdre de sa vitesse elle doit continuer son chemin dans la même ligne droite qu'elle avoit commencé à parcourir. Et ainsi il arrivera la même

chose à cette balle que si , ayant été mue avec une certaine vitesse le long du plan CBE, il arrivoit qu'étant au point B (par une supposition im^ possible et sans aucune cause ) elle vînt à perdre ume partie de sa vitesse, elle continuerott son chemin sur le même plan avec .la vitesse qui lui resteroit.

Mais remarquez que pour trouver quelque chose de défectueux aux raisonnements de M. Descartes il en faut venir à des suppositions impossibles, et partait ce ne seroit pas merveille quand, d'une impossibilité posée , il s'ensuivroit une absur-r dite.

Par tout ce que dessus , il paroît que ce que vous dites dans votre seconde lettre tombe de soi^ même , et n'a pas besoin de réponse ; à savoir, que si M. Descartes eût pris garde qu'en quelque ma-^ nière que la vitesse change , c'est-à-dire augmente ou diminue au point B , la réflexion ne laisse pas de se faire à angles égaux; il n'eût pas été en peine , ni ses amis non plus , de tirer la balle du f^oint B où ils l'ont vue malheureusement engagée dans' l'exemple, de ma dernière lettre ; il n'eût pas sou-r tenu que la vitesse venant à changer au point B la balle ne laisse pas d'avancer vers la droite autant qu'elle faisoit auparavant ; et n'eût pas déduit d'un fondement non seulement incertain, mais encore fauiç , s^ proportion des réfractions. Tout

cela, dis-je , n'étant plus appuyé d'aucunes raisons valables, se détruit de soi-même, aussi bien que ce que TOUS ajoutez à la fin de la même lettre , à savoir que le second milieu se pouvant, comme j'ai dit, ouvrir avec une égale facilité de tous côtés pour faire passage à la balle , et que la balle ayant toujours ime même aisance à pénétrer le second milieu en toutes sortes d'inclinations , il doit suivre, dites-vous , dans l'application du raisonnement de M. Descartes , qu'en toute sorte de cas la réflexion se fera à angles égaux ,^ et que la pénétration se fera de même en tous les cas en ligne droite , le mouvement de dessous en ligne droite suivant les mêmes lois , et répondant justement au mouvement de dessus à angles égaux. Car si je me suis assez bien fait entendre , vous devez maintenant tirer d'autres conclusions que celles-là des principes de M. Descartes, et devez aussi, si je ne me trompe moi-même , avoir reconnu Terreur du raisonnement duquel vous les aviez tirées. Et partant ne dites plus que le mouvement de la balle et la réfraction ne se ressemblent que par la comparaison imaginaire de M. Descartes ; car c'est peut-être la plus juste et la plus claire que l'on puisse apporter pour l'expliquer ; mais pour cela il faut considérer la balle sans pesanteur , sans grosseur , sans figure et sans changement en sa vitesse dans toutes les lignes qu'elle parcourt; toutes lesquelles choses

peuvent causer une infinité de variétés dans la réflexion et la réfraction d'une balle ; mais pourcequ'elles n'ont point lieu en l'action de la lumière , à laquelle se doit rapporter tout ce qu'il dit , M. Descartes ne les a point considérée dans le mouvement de cette balle dont il parle ; et principalement il n'a point considéré c^te circonstance , que je vous prie de remarquer , qui est la plus commune, et qui peut donner le plus, d'occasion de douter de ce qu'a dit M. Descartes; c'est à savoir, que d'autant que le milieu que parcourt une balle lui ôte pour l'ordinaire à tous moments une partie de sa vitesse par le transport qu'elle lui en fait , de là arrive qu'une balle peut avoir perdu au point delà réflexion la moitié, par exemple, de la vitesse qu'elle avoît au commencement , qu'elle ne laissera pas de réfléchir à angles égaux, à cause qu'au moment qu'elle vient à toucher le plan la vitesse a déjà été diminuée par le milieu qu'elle a parcouru , et que la direction qu'elle a alors ne laisse pas de la détenniner d'aller suivant la même ligne où sa première direction la portoit, quand elle est sortie de la main ou de dessus la raquette , pourvu que sa pesanteur ou sa grosseur ou sa figure n'aient rien changé en cela. Et ce que je dis de la vitesse quand le milieu la diminue se doit aussi entendre quand elle est augmentée à tous moments par sa pesanteur ;

comme lorsqu'anef balle tombe le long d'un plan incliné, elle rejaillira aussi alors à angles égaux, encore que sa vitesse se trouve augmentée au point de la réflexion, et cela par la même raison, à savoir, que cette augmentation ne lui vient pas du plan , mais qu'elle Tavoit avant que de le rencontrer. Et ainsi vous voyez combien les principes de M. Descartes sont fermes, et ses raisonnements bien suivis. Ce qui montre que la véritable raison des réfractions se doit tirer du mouvement et des déterminations composées , en les exaptiînant comme M. Descartes a fait; et sans mentir M. Descartes étoit un homme de trop bon sem , et qui prenoit garde de trop près au?: choses , pour tomber dans des fautes ou visibles ou grossières ; et il me semble qu'il nous a donné sujet d'avoir assez bonne opinion de lui- pour croire plutôt que nous nous méprenons en ne comprenant pas son sens et ses raisons que non pas de croire qu'il se soit trompé , cm moins quand l'erreur où nous croyons qu'il soit tombé est apparente et grossière. A quoi j'ajouterai seulement que, puisque les diverses expériences qu'a faites ici M. Petit (que vous connoissez ) en toutes sortes de corps transparents s'accordent toutes avec la proportion que M. Descartes a trouvée, il est à croire que les raisons qui la lui ont fait trouver sont véritables; car le moyen d'arriver en t^nt de différents cas si

justement au vrai par un même raisonnement, si ce raisonnement étoit faux.

Que si après tout cela vous ne voulez pas admettre les conclusions que j'ai tirées des principes que M. Desfcartes a établis , recevez au moins pour vraie la conclusion de cette lettre, et croyez que, si mes raisonnements sont fautifs, les protestations de mon cœur sont sincères quand je vous assure que je veux être , etc.

LETTRE DE M. DE FERMAT

A M. DE LA CHAMBRE, TOUCHANT LA DIOPTRIQUE. (Lettre 5o.)

A Toulouse, le mois d'août 1657.

Monsieur,

Je n'avois garde de vous obéir lorsque vous m'ordonniez de recevoir votre livre sans le lire ; le présent que vous m'en avez fait est une marque trop précieuse de lamitié dont vous m'honorez ; mais sa lecture m'a fait concevoir l'idée de cette amitié comme un bien qui mérite d'être conservé avec soin , avec respect et avec estime. Et, pour vous le faire voir, je ne vous parlerai point de vos autres

spéculations de physique, c|uotqti^elles soient pleines d'un raisonnement très solide et très subtil ; il me suffira de vous entretenir un peu sur la matière de la réflexion et de la réfiraction ; quand ce ne seroit que pour réparer par cette lettre la perte d'un discours que je vous avc»s adressé, il y a déjà quelques années, sur ce même sujet , et que j'ai su n'être point venu en vos mains. Ce qui m'y confirme est que j'entre par là dans quelque société d'opinion avec vous ; et j'ose même vous assurer par avance que si vous souffrez que je joigne un peu de ma géométrie à votre physique nous ferons un travail à frais communs qui nous mettra d'abord en défense contre M. Descartes et tous ses amis.

Je reconnois premièrement avec vous la vérité de ce principe, que la nature agit toujours par les voies les plus courtes. Vous en déduisez très bien l'égalité des angles de réflexion et d'incidence ; et l'objection de ceux qui disent que les deux lignes qui conduisent la vue ou la lumière dans le miroir concave sont très souvent les plus longues n'est point considérable , si vous supposez seulement , comme un autre principe indisputable , que tout ce qui appuie ou qui fait ferme sur une ligne courbe , de quelque nature qu'elle soit , est censé appuyer ou faire ferme sur une droite qui touche la courbe au point où la rencontre se fait ; ce qui

peut être prouvé par une raison de physique aidée d'une autre de géométrie. Le principe de physique eât que la nature fait ses mouvements par ks voies les plus simples ; or la ligne droite étant plus simple que la circulaire ni que pas une autre courbe, il faut croire que le mouvement du rayon qui tombe sur la courbe se rapporte plutôt à la droite qui touche la courbe qu'à la courbe même. Premièrement, parceque cette droite de l'attouchement est plus simple que la courbe ; secondement ( et c'est ce qui s'emprunte de la géométrie ), parceque aucune droite ne peut tomber entre la cpurbe et la touchante, par un principe d'Ëuclide; de sorte que le mouvement est justement le même sur la droite qui touche que sur la courbe qui est touchée. Et cela supposé, on ne peut jamais dire que les deux droites qui conduisent la lumière. ou le rayon soient quelquefois les plus longues aux miroirs concaves , parcequ'en ce cas même elles se trouvent les plus courtes de toutes celles qui peuvent se réfléchir sur la droite qui touche la courbe ; et par conséquent il ne faut ni supposer que la nature agisse par contrainte en ce cas , ni conclure qu'elle suive une autre manière de mouvement que celle qu'elle pratique aux miroirs plans et en toute autre espèce de miroirs; de sorte que voilà votre principe pleinement établi pour la réflexion.

Mais puisqu'il a servi à la réflexion, pourronsnous en tirer quelque usage pour la réfraction ? il me semfcle que la chose est aisée , et qu'un peu de géométrie nous pourra tirer d'affaire. Je ne m'étendrai point sur la réfutation de la démonstration de M. Descartes ; je la lui ai autrefois contestée, à lui, dis-je, viventi atque sentientij comme disoit Martial, mais il ne me satisfit jamais. L'usage de ces mouvements composés est une matière bien délicate, et qui ne doit être traitée et employée qu'avec une très grande précaution. Je les compare à quelques uns de vos remèdes , qui servent de poison s'ils ne sont bien et dûment préparés. Il me suffît donc de dire en cet endroit que M. Descartes n'a rien prouvé , et que je suis de votre sentiment en ce que vous rejetez le sien»

Mais il faut passer plus outre, et trouver la raison de la réfraction dans notre principe commun , qui est que la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus aisées. Il semble d'abord que la chose ne peut point réussir, et que vous vous êtes fait vous-même une çbjection qui paroît invincible; car puisque dans la page 3i5 de votre livre les deux lignes CB, BA qui contiennent l'angle d'incidence et celui de réfraction sont plus longues que la droite ADC qui leur sert de base dans le triangle ABC, le rayon de C en A, qui contient un chemin plus court que celui des deux lignes

CB, BA% devroit, au sens de notre principe, être la seule et véritable routé de la nature, ce qui pourtant est contraire à l'expérience. Mais on peut se défaire aisément de cette difficulté en supposant avec vous , et avec tous ceux qui ont traité de cette matière, que la résistance des milieux est dififérente , et qu'il y a toujours une raison ou proportion certaine entre ces deux résistances, lorsque les deux milieux sont d'une consistance certaine et qu'ils sont uniformes entre eux.

Ne vous étonnez pas de ce que je parle de résistance, après que vous avez décidé que le mouvement de la lumière se fait en un instant, et que la réfraction n'est causée que par l'antipathie naturelle qui est entre la lumière et la matière; car, soit que vous m'accordiez que le mouvement de la lumière sans aucune succession peut être contesté, et que votre preuve n'est pas entièrement démonstrative ; soit qu'il faille passer par votre décision , à savoir que la lumière fuit l'abondance de la matière, qui lui est ennemie, je trouve, même en ce dernier cas, que puisque la lumière fuit la matière, et qu'on ne fuit que ce qui fait peine et qui résiste, on peut , sans s'éloigner de votre sentiment , établir de la résistance où vous établissez de la fuite et de l'aversion.

Soit donc, par exemple, en votre figure le rayon CB qui change de milieu au point B , où il se rompt

» Fignre 45.

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pour se rendre au point A ; si ces deux milieux étoientlesmémes, la résistance au passage du rayon parla ligne CB seroit à la résistance au passage du rayon par la ligne BA comme la ligne CB à la ligne BA; car les milieux étant les mêmes, la résistance au passage seroit la même en chacun d'eux, et par conséquent elle garderoit la raison des espaces parcourus; d*où il suit que les milieux étant différents^ et la résistance par conséquent différente, on ne peut plus çlire que la résistance au passage du rayon par la ligne CB soit à la résistance au passage du rayon par la tigne BA comme la ligne CB à la ligne B A ; mais en ce cas .la résistance par la ligne CB sera à la résistance par la ligne BA comme CB à une autre ligne dont la raison à la ligne BA exprimera celle des deux résistances différentes» Comme si la résistance par le milieu A est double de la résistance par le milieu C , la résistance par CB sera à la résistance par BA comme la ligne CB au double de la ligne BA ; et si la résistance par le milieu C est double de la résistance par le milieu A, la résistance par CB sera à la résistance par BA comme la Hgne CB à la moitié de la ligne BA; de sorte qu'en ces deux cas les deux résistances par CB et par BA étant joiiites , pourront être exprimées, ou par la ligne CB jointe à la moitié de la ligne AB, ou par la ligne CB jointe au double deBA.

Vous voyez déjà sans doute la conclusion de ce raisonnement, car soient donnés par exemple les deux points C et A, en deus: milieux différents, séparés par la ligne DB, et qui soient de telle nature que la résistance de l'un soit double de celle de l'autre, il faut chercher le point B auquel le rayon qui va de C en A, ou d'A en C, soit coupé ou rompu.

S^ nous supposonsque la chose est déjàfaite et que la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus aisées, la résistance par CB, jointe à la résistance par BA , contiendra la somme des deux résistances, et cette somme, pour satisfaire au principe, doit être la moindre de toutes celles qui se peuvent rencontrer en quelque autre point que ce soit de la ligne DB; or ces deux résistances jointes sont en ce cas, comme nous avons prouvé, représentées, ou par la ligne CB jointe à la moitié de BA , ou par la même ligne CB jointe au double de BA.

La question se réduit donc à ce problème de géométrie: étant donnés les deux points C et A, et la droite DB, trouver un point, dans la droite DB, auquel si vous conduisez les droites CB et BA, la somme de CB et de la moitié de BA contienne la moindre de toutes les sommes pareillement prises, ou bien que la somme de CB et du double de BA contienne la moindre de toutes les sommes pareillement prises, et le point B, qui sera trouvé par la

construction de ce problème, sera le point où se fera la réfraction.

Vous voyez par là qu'il faut que le rayon se coupe et se rompe lorsque les milieux sont diflférents, car bien que la somme des deux lignes CB et BA soit toujours plus grande que la somme des deux lignes CD et DA, ou que la toute CA, néanmoins la ligne CB, jointe à la moitié ou au double de BA , peut être plus courte que la ligne CD jointe à la moitié ou au double de DA.

Je vous avoue que ce problème n'est pas des plus aisés; mais puisque la nature le fait en toutes les réfractions pour ne se départir pas de sa façon d'agir ordinaire, pourquoi ne pourrons-nous pas l'entreprendre?

Je vous garantis par avance que j'en ferai la solution quand il vous plaira, et que j'en tirerai même des conséquences qui établiront solidement ' la vérité de notre opinion. J'en déduirai d'abord que le rayon perpendiculaire ne se rompt point ; que la lumière se rompt dès la première surface sans plus changer le biais qu'elle a pris; que le rayon rompu s'approche quelquefois de la perpendiculaire, et qu'il s'en éloigne quelque autrefois, à mesure qu'il passe d'un milieu rare dans un plus dense, ou au contraire, et en un mot que cette opinion s'accorde exactement avec toutes les apparences ; de sorte que si elle n'est pas vraie , on

j^eut dire ce (|ue disoit Galilée en un sujet différent, que la nature semble nous l'avoir inspirée, per pigliarsi gioco di nostri ghiribizzi.

Mais j'ai tort de ne songer pas que le sujet de cette lettre ne devoit être qu'un remercîment. Je vous conjure, monsieur , d'excuser sa longueur , quand ce ne seroit que par l'intérêt que vous y ave^ , et de la recevoir en tout cas comme un témoignage de l'estime que j'ai pour votre savoir, et du respect avec lequel je suis, etc.

LETTRE DE M. DE FERMAT