I. iGa I 8. 1G9 I 81 . ixT. 1 128. 2S

à chacun desquels il v a un nombre moindre que iGi.

l'^t, pour trouver les triangles, je me sers des rarines des doubles (|uarrés, car elles sont les racines des quarrcs qui composent l'hypii- (énuse. Ainsi ii 17, on aura 2 et 3, racines des doubles quarrés 8, 18 ; mais, quand il y en a (jualre, comme à iGi, je prends les extrêmes, savoir 9, 8, et celles du milieu, 2, i r, qui donneront les triangles : 17, 1 W, I 'i>, et \\, 1 17, 12).

iG>.

iGy.

l'dur avoir le coté pair du triangle, il faut prendre le double tlu (luit des racines susdites des doubles quarrés : ainsi le double [lar 8 est i 'l'i. et b' double de 2 par 1 1 est 4'i-

Mais pourlecr)té impair, on prend le produit des racines des({n simples : ainsi i par 17 donne 17, et 9 par i3 donne i 17, le |)re [xuir le triangle 17, l'i'i, l'i"), le second pour 1 '(• '17» i^^-

prode 9

arrés ■mier

7- Vous voyez si j'ai eu raison de dire que les uomhres susdits sont la dilTérence de deux couples quand ils sont premiers, et de quatre couples lorsqu'ils sont divisibles par deux nombres premiers. Mais ce (|ui le montrera encore mieux est la façon de trouver tous les couples dont un des dits nombres est la différence : car, selon ma méthode, il est nécessaire d'avoir ces deux couples qui font comme deux souches.

hACmple : On me demande tous les quarrés et doubles quartes dont -j est la différence. Je cherche les deux couples utiles à chacun desquels il y a un nombre moindre que 7; j'aurai i, 8 et 9, 2. Je prends leurs racines et en fais deux colonnes séparées comme on voit ici :

Quarrés. Doubles c|uarrés

Ouarrc's. Douli'.es quarrés.

et mets en cha(|ue colonne les racines des (juarrés d'un coté et celles des doubles quarrés de l'autre. J'ai donc d'un coté 1,2; pour avoir les racines des couples suivans, je prends la somme de 1, 2, qui est .3, pour la racine du double quarré, et la somme des racines des deux doubles quarrés prochains pour la racine du quarré. Ainsi la somme de 1 , 2 est 3, et celle de 3, 2 est .^ : j'ai donc .5 et 3. Pour le Iroisième couple, la somme de 5, 3 est 8, celle de 8 et 3 est 11. On poursuit ainsi autant qu'on veut, et l'autre colonne qui commence par 3, i, se fait de môme.

A chaque colonne la rangée de main droite, dont les nombres sont pairs et impairs alternativement, contient les racines des doubles quarrés, lesquels sont plus grands que les quarrés, lorsque la racine du double quarré est paire, comme i, 2 et 1 1, 8; mais le double quarré est moindre quand sa racine est impaire, ce qui a lieu lorsque le moindre quarré des deux qui composent l'hypoténuse du triangle dont la dite